数学安徽省示范高中皖江八校届高三第八次联考数学理试题 含答案.docx

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数学安徽省示范高中皖江八校届高三第八次联考数学理试题含答案

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合,,若,则（）

A．B．C．D．

2.已知是的共轭复数,且,则的虚部是（）

A．B．C．D．

3.已知等差数列的前项和为,且,则（）

A．B．C．D．

4.如下图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是（）

A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.

C.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.

D．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.

5.已知双曲线,四点，中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（）

A．B．C.D．

6.执行如下图所示的程序框图,则输出的结果为（）

A．B．C.D．

7.已知满足时,的最大值为,则直线过定点（）

A．B．C.D．

8.2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.全食伴随有蓝月亮和红月亮,全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结東,一市民准备在19:

55至21：

56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（）

A．B．C.D．

9.设点在的内部,且有,则的面积与的面积之比为（）

A．B．C.D．

10.函数,若在区间上是单调函数,且则的值为（）

A．B．或C.D．或

11.某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（）

A．B．C.D．

12.已知函数,若存在,使得关于的方程有解,其中为自然对数的底数则实数的取值范围是（）

A．B．

C.D．

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在横线上.

13.的值为．

14.已知则．

15.是抛物线上一点,是抛物线的焦点,为坐标原点着是抛物线的准线与轴的交点,则．

16.设为数列的前项和,已知,对任意,都有,则的最小值为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的制定区域内.

17.在锐角中,

（I）求角；

（Ⅱ）若,求的取值范围.

18.如图,在几何体中,平面底面,四边形是正方形,是的中点,且,.

（I）证明:

；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

19.2017年5月,来自“一带一路”沿线的国青年评选出了中国的“新四大发明”:

高铁、扫码支付、共享单车和网购.为发展业务,某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内个人口超过万的超大城市和个人口低于万的小城市随机抽取若干个进行统计,若一次抽取个城市,全是小城市的概率为.

（I）求的值;

（Ⅱ）若一次抽取个城市,则:

①假设取出小城市的个数为,求的分布列和期望;

②取出个城市是同一类城市求全为超大城市的概率.

20.已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为的面积为，过点的动直线被椭圆所截得的线段长度的最小值为.

（I）求椭圆的方程;

（Ⅱ）是椭圆上异于顶点的一点,且直线是线段延长线上一点,且，的半径为是的两条切线,切点分别为,求的最大值,并求出取得最大值时直线的斜率.

21.已知函数

（I）若,函数的极大值为,求实数的值；

（Ⅱ）若对任意的在上恒成立,求实数的取值范围.

请考生从第22、23题中任选一题做答,井用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂，按本选考题的首题进行评分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系中,直线,圆,以坐标原点为极点,轴的正半

轴为极轴建立极坐标系.

（I）求的极坐标方程;

（Ⅱ）若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为,求的面积.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知函数

（I）若不等式的解集为，求实数的值;

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:

BDCDC6-10:

11、12：

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.【解析】（Ⅰ）由

且

（Ⅱ）

又

，

18.【解析】（Ⅰ）如图1所示，连接交于点，连接.

∵四边形是正方形，∴是的中点

又已知是的中点，∴

又∵且，∴

即四边形是平行四边形，∴，

∵，∴

（Ⅱ）如图2所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，

令，

则，，

∴，，，

设平面的法向量为，则由，，

可得：

，可令，则，

∴平面的一个法向量

设直线与平面所成角为，则.

19.【解析】（Ⅰ）共个城市，取出个的方法总数是，其中全是小城市的情况有，

故全是小城市的概率是，

∴，∴，故.

（Ⅱ）①.

；；；

；.

故的分布列为

3.0

.

②若4球全是超大城市，共有种情况；若4球全是小城市，共有种情况；

故全为超大城市的概率为.

20.【解析】（Ⅰ）由已知，可得.又由，可得，解得

设椭圆方程：

，

当直线斜率不存在时，线段长为；

当直线斜率存在时，设方程：

，

由，得，从而

，…4分

易知当时，的最小值为，从而，因此，椭圆的方程为：

.

（Ⅱ）由第（Ⅰ）问知，，而的半径，

又直线的方程为，由，得，

因此，

由题意可知，要求的最大值，即求的最小值

而

，令，则，

因此,

当且仅当，即时等号成立，此时，

所以，因此，所以的最大值为.

综上所述，的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.

21.【解析】（Ⅰ）由题意，

.

①当时，，令，得；，得，

所以在单调递增，单调递减.所以的极大值为，不合题意.

②当时，，令，得；，得或，

所以在单调递增，，单调递减.

所以的极大值为，得.综上所述.

（Ⅱ）令，，当时，，

则对恒成立等价于，

即，对恒成立.

①当时，，，，此时，不合题意.

②当时，令，，

则，其中，，

令，则在区间上单调递增，

时，，

所以对，，从而在上单调递增，

所以对任意，，即不等式在上恒成立.

时，由，及在区间上单调递增，

所以存在唯一的使得，且时，.

从而时，，所以在区间上单调递减，

则时，，即，不符合题意.

综上所述，.

22.【解析】（Ⅰ）因为，，所以的极坐标方程为，即，

的极坐标方程为.

（Ⅱ）代入，

得，解得.

代入，得，解得.故的面积为.

23.【解析】（Ⅰ），由条件得，

得或，

∴，即或.

（Ⅱ）原不等式等价于恒成立，

而，

∴，则恒成立，

∵，∴，等号成立当且仅当时成立.