新人教八年级数学上册第十三章轴对称导学案.docx

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新人教八年级数学上册第十三章轴对称导学案

13.1轴对称

（1）

一、学习目标：

1．理解轴对称图形及轴对称的定义，认识轴对称与全等的关系，了解轴对称图形与轴对称的联系与区别。

2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，发展学生的观察、归纳、想象能力。

3．激情投入，快乐学习，感受对称美。

二、重点难点

重点：

对轴对称图形与轴对称概念的理解

难点：

轴对称图形与轴对称的联系与区别

三、合作探究（同学合作，教师引导）

1、在一张半透明的纸上画△ABC，使AB＝AC,作BC上的高AD，沿直线AD折叠，直线两旁的部分重合吗？

轴对称图形的定义：

叫做轴对称图形，这条直线叫做它的

2、在一张半透明的纸上建立一个平面直角坐标系，并描出点A（-1，3）、B（-2，-4）、C（-3，-1）、

A1（1，3）、B1（2，-4）、C1（3，-1），画出△ABC和△A1B1C1，沿y轴折叠，这两个三角形重合吗？

轴对称的定义：

那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做，折叠后重合的点是对应点，叫做。

3、第2中的△ABC和△A1B1C1全等吗？

把其中的△A1B1C1向下平移一个单位，得到△A2B2C2，△ABC和△A2B2C2全等吗？

折一折，△ABC和△A2B2C2成轴对称吗？

轴对称与全等的关系：

两个图形成轴对称，则它们一定；两个图形全等，

成轴对称。

4、你能说说轴对称图形与轴对称的区别和联系吗？

区别：

联系：

四、精讲精练

例1下列图案中，不是轴对称图形的是（）

例2、下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（）

A.

B.

C.

D.

例3、仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形

_________

例4、在镜中看到的一串数字是“

”，则这串数字是。

例5、下列图形中对称轴最多的是（）

A、圆B、正方形C、等腰三角形D、线段

练习

1、在实际生活中，轴对称无处不在，请你用给定的图形“○○，△△，————”（两个圆，两个三角形，两条线段）为构件，尽可能多地构思独特且有实际生活意义的成轴对称的一对图形，并写出一两句诙谐、贴切的解说词。

如：

2、如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，

则所得图形大致是（）

3、写出10个“轴对称”的汉字，如“十、中”。

5、课堂小结：

轴对称图形及轴对称的定义

13.1轴对称

（2）导学案

一、学习目标：

1、了解线段的垂直平分线的定义，了解轴对称的性质及轴对称图形的性质，掌握垂直平分线的性质，了解线段垂直平分线的画法。

2、发展学生观察、归纳及推理能力。

3、极度热情，全力以赴，享受成功。

二、重点难点

垂直平分线的性质

三、合作探究（同学合作，教师引导）

1、如图1，△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，点A的对应点是，y轴经过线段AA1的中点吗？

y轴垂直线段AA1吗？

线段的垂直平分线的定义：

，叫做这条线段的垂直平分线。

2、在图1中，y轴是线段CC1和BB1的垂直平分线吗？

轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的。

类似地，轴对称图形的性质：

轴对称图形的对称轴，是的垂直平分线。

3、1）在一张半透明的纸上画线段AB，用量角器和刻度尺画线段AB的垂直平分线CD，在CD上任取一点P，连结PA、PB,量一量PA、PB的长，你有什么发现？

沿直线CD对折，线段PA、PB重合吗？

垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段的距离相等。

你能证明这个性质吗？

2）、在一张纸上线段AB及点P1、P2，使P1A=P1B,P2A=P2B,再画线段AB的垂直平分线CD，你又有什么发现？

垂直平分线的性质：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

你能证明这个性质吗？

4、有一条线段AB，怎样用直尺和圆规作出它的垂直平分线？

你能说说其道理吗？

四、精讲精练

作出下列图形的对称轴。

例2、如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，求线段MN的长。

例3、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,

交AB于点D，AE=5cm，△CBD的周长为24cm，

求△ABC的周长。

精练：

某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.

（1）你能确定仓库应该建在什么位置吗？

在所给的图形中画出你的设计方案；

（2）阐述你设计的理由.

五、课堂小结：

垂直平分线的定义，轴对称的性质及轴对称图形的性质

13.2．1作轴对称图形

一、学习目标：

1、能作轴对称图形，能应用轴对称进行简单的图案设计，能用轴对称的知识解决相应的数学问题。

2、通过独立思考、交流讨论、展示质疑，发展学生的观察、归纳、想象及推理能力。

3、极度热情、享受成功、感受数学就在身边。

二、重点难点

重点：

作轴对称图形

难点：

用轴对称知识解决相应的数学问题。

三、合作探究（同学合作，教师引导）

1、复习回顾：

线段公理；垂直平分线的性质。

2、自己动手在一张半透明的纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么?

改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么?

归纳：

（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的　　　、________完全相同；　　

（2）新图形上的任意一点，都是原图形上某一点关于直线l的__________；

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴__________。

3、把图1补成关于直线l对称的图形

四、精讲精练

例1、如图2，如何在直线l上找一点P，使线段PA与PB的和最小？

练习：

1、把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形。

2、把图中实线部分补成以虚线l为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽的图案。

例2、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。

修在河边什么地方，可使所用水管最短？

试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。

练习1.城北中学八⑵班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先到AO桌面上拿桔子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。

2.开展你的想象，从一个或几个图形出发，利用轴对称或与平移进行组合，设计出一个图案，并与同学进行交流。

5、课堂小结：

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

13.2.2用坐标表示轴对称

一、学习目标：

1、掌握一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律，并能利用这种坐标的变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形。

2、培养学生探索问题的能力,发展学生数形结合的思维意识。

3、激情参与，阳光展示。

二、重点难点

重点：

1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．

2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．

难点：

用坐标表示轴对称．

三、合作探究（同学合作，教师引导）

1．如图一

（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？

（2）已知右边圆脸右眼B的坐标为（4，3），左眼A的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点C的坐标为（4，1），左端点D的坐标为（2，1）．

请根据图形写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标

A1____________;B1______________;C1_____________;D1_____________

（3）A与A1、B与B1、C与C1、D与D1分别关于_________对称。

四、精讲精练

例1、将一个点的纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到的点与原来的点的位置关系是；

将一个点的横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到的点与原来的点的位置关系是。

例2、已知点A（m+2，3）、B（-5，n+6）关于y轴对称，则m=，n=

例3、若点P（a，3）和P1（2，b）关于x轴对称，则方程ax+b=0的解为。

例4、已知点A（2m+1，m-3）关于y轴的对称点在第四象限，则m的取值范围是。

例5、若∣3a-2∣+（b+3）2=0,点A（a，b）关于x轴对称的点为B，点B关于y轴对称的点为C，则点C的坐标是。

例6、

（1）请画出

关于

轴对称的

（其中

分别是

的对应点，不写画法）；

（2）直接写出

三点的坐标．

（3）△ABC的面积为

练习：

o

1、如图，每个小正方形的边长都是1，分别作出

△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=–1

（记为n）对称的图形。

它们的对应点的坐标之间

分别有什么关系？

2、若点P（a，b）、Q（c，d）两点关于直线x=2对称，则a、c间的关系是，b、d间的关系是；

若点P（a，b）、Q（c，d）两点关于直线y=–2对称，则a、c间的关系是，b、d间的关系是。

五、课堂小结：

1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）

2、对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形。

13.3.1等腰三角形

（1）

一、学习目标：

1、巩固等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质，并能灵活应用等腰三角形的性质解决一些实际问题。

2、通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。

3、激情投入，收获成功。

二、重点难点

学习重点：

等腰三角形性质的探索及应用

学习难点：

等腰三角形性质的应用

三、合作探究（同学合作，教师引导）

1、复习回顾：

.三角形全等的判定方法

.有两条边相等的三角形，叫叫做等腰三角形,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角

2、用剪刀按照49页介绍的方法，剪出一个等腰三角形，想一想，它是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

3、将2中的等腰三角形沿对称轴对折，找出重合的线段和角，由此你发现了等腰三角形的哪些性质？

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

你能证明这两个性质吗？

4、填空：

如图1，在△ABC中

∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=，⊥。

∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=，⊥.

∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAD=，BD=.

四、精讲精练

例1、如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.

求△ABC各角的度数。

.

例2、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：

4，则这个等腰三角形顶角的度数为。

例3、如图3，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，

且AD=AE.

求证：

BD=CE

练习：

1、如图4，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点M

求证：

CM=DM

2、等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40o，则底角为。

3、如图5，在△ABC中，AB=AC，∠A=30o，BF=CE，BD=CF，

求∠DFE的度数。

五、课堂小结：

腰三角形的哪些性质？

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

13.3.1等腰三角形

（2）

一、学习目标：

1、掌握等腰三角形的判定方法，并能灵活运用解决实际问题；

2、通过独立思考，交流讨论，发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力；

3、极度热情，高度责任，享受学习的快乐；

二、重点难点

学习重点：

等腰三角形的判定方法

学习难点：

等腰三角形的判定和性质的区别，等腰三角形的判定的应用。

使用说明：

先由学生自学课本51页练习以后至53页练习，经历自主探索总结的过程，然后独立认真完成学案，用红笔标记出疑点与盲点，以备上课时展示和质疑。

三、合作探究（同学合作，教师引导）

1、复习回顾：

等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定

2、用直尺和量角器画△ABC，使∠B=∠C，再用刻度尺量一量线段AB、AC的长，你有什么发现？

猜想：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等。

3、你能验证2中的猜想吗？

已知：

如图在△ABC中，∠B=∠C

求证：

AB=AC

等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等（简写成：

等角对等边”）。

4、等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？

区别：

联系：

四、精讲精练

例1.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，

求证：

OA=OB

例2.求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

精练：

1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36O，D、E是BC上的两点，

且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中的等腰三角形共有（）个。

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F

求证：

EF=EB+FC.

5、课堂小结：

等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等（简写成：

等角对等边）

补充练习：

如图：

E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE。

求证：

△ABC是等腰三角形（提示：

过点D作AE的平行线）。

13.3.2等边三角形（3）

一、学习目标：

1.掌握含30o角的直角三角形的性质，并能灵活运用这一性质解决实际问题。

2.培养学生的推理能力和数学语言表达能力．

3.感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲。

二、重点难点：

重点：

含30°角的直角三角形的性质定理的证明与运用．

难点：

含30°角的直角三角形的性质定理的证明。

三、合作探究

1.复习回顾：

等边三角形的性质与判定

2.问题：

用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由．

3.由2你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

你能用不同于课本上的方法证明你的结论吗？

4.由3，我们得到下面的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

5.填空：

如右图，在△ABC中，

∵∠C=90o，∠A=30o

∴BC=

（）

四精讲精练

例1、如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？

例2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，则腰上的高为。

精练：

1.已知：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，

∠A=30°．

求证：

BD=

AB．

2.如图，　△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，

且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F

求证:

BP=2PF

五、课堂小结

直角三角形中，30度叫所对直角边等于斜边的一半

六、作业

1、如图：

等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P

（1）.运动几秒后，△ADE为直角三角形？

（2）.求证：

在运动过程中，点P始终为线段DE的

中点。

（提示：

过点D作AF的平行线）