一元一次方程应用考试题型大全.docx
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一元一次方程应用考试题型大全
一元一次方程应用考试题型大全
列方程解应用题是初中数学的重要内容之一，其核心思想就是将等量关系从情景中剥离出来，把实际问题转化成方程或方程组，从而解决问题。
列方程解应用题的一般步骤（解题思路）
（1）审——审题：
认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．
（2）设——设出未知数：
根据提问，巧设未知数．
（3）列——列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．
（4）解——解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．
（5）答——检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）
一、工程问题
【典例探究】
例1将一批数据输入电脑，甲独做需要50分钟完成，乙独做需要30分钟完成，现在甲独做30分钟，剩下的部分由甲、乙合做，问甲、乙两人合做的时间是多少？
解析：
首先设甲乙合作的时间是𝑥分钟，根据题意可得等量关系：
甲工作（30+𝑥）分钟的工作量+乙工作𝑥分钟的工作量=1，根据等量关系，列出方程，再解方程即可．
设甲乙合作的时间是分钟，由题意得：
+=1
解得：
=7.5，
答：
甲乙合作的时间是7.5分钟．
【方法突破】
工程问题是典型的a=bc型数量关系，可以知二求一，三个基本量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间
需要注意的是：
工作总量往往在题目条件中并不会直接给出，我们可以设工作总量为单位1。
二、积分问题（比赛计分问题）
比赛积分：
胜场数＋负场数+平场数＝比赛场次;
比赛中总得分=胜场得分＋负场得分+平场得分
知识竞赛：
对题的题数＋错题的题数+不做题的题数＝知识竞赛总题数
对题得分＋错题得分+不做题得分＝知识竞赛总得分
【典例探究】
例1某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：
每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。
已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了道题。
解：
设这个人选对了𝑥道题目，则选错了（45-𝑥）道题，于是
3𝑥-（45-𝑥）=103
4𝑥=148
解得𝑥=37
则45-𝑥=8
答：
这个人选错了8道题.
例2某校高一年级有12个班．在学校组织的高一年级篮球比赛中，规定每两个班之间只进行一场比赛，每场比赛都要分出胜负，每班胜一场得2分，负一场得1分．某班要想在全部比赛中得18分，那么这个班的胜负场数应分别是多少？
因为共有12个班，且规定每两个班之间只进行一场比赛，所以这个班应该比赛11场，设胜了𝑥场，那么负了（11-𝑥）场，根据得分为18分可列方程求解．
【解析】
设胜了𝑥场，那么负了（11-𝑥）场．
2𝑥+1•（11-𝑥）=18
𝑥=7
11-7=4
那么这个班的胜负场数应分别是7和4．
【方法突破】
比赛积分问题的关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有：
每队的胜场数＋负场数+平场数＝这个队比赛场次;
得分总数+失分总数＝总积分;
失分常用负数表示，有些时候平场不计分，另外如果设场数或者题数为𝑥，那么𝑥最后的取值必须为正整数。
三、顺逆流（风）问题
【典例探究】
例1某轮船的静水速度为v千米/时，水流速度为m千米/时，则这艘轮船在两码头间往返一次顺流与逆流的时间比是（）
A．B．
C．D．
解析：
顺水速度为：
（v+m）千米/时，逆水速度为：
（v-m）千米/时．在行程问题中，时间=路程÷速度，分别求出顺流的速度和逆流的速度，然后求出比值即可．题干信息中并没有提到路程，但是我们可知两码头之间的距离是个定值，
故设两码头之间的路程为S，
则顺流行驶时间，逆流行驶时间为
则往返一次顺流与逆流的时间比为．
故选B．
【方法突破】
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系．即顺水逆水问题常用等量关系：
顺水路程=逆水路程．
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
四、调配问题
【典例探究】
例1某厂一车间有64人，二车间有56人．现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半．问需从第一车间调多少人到第二车间？
解析：
如果设从一车间调出的人数为𝑥，那么有如下数量关系
原有人数
现有人数
一车间
64
64-𝑥
二车间
56
56+𝑥
故调出后各车间人数相等关系为：
2×一车间现有人数＝二车间现有人数
设需从第一车间调𝑥人到第二车间，根据题意得：
2（64-𝑥）=56+𝑥，
解得𝑥=24；
答：
需从第一车间调24人到第二车间．
例2甲仓库储粮35吨，乙仓库储粮19吨，现调粮食15吨，应分配给两仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍？
解析：
若设应分给甲仓库粮食𝑥吨，则数量关系如下表
原有粮食吨数现有粮食吨数
甲仓库6464-𝑥
乙仓库5656+𝑥
故相等关系为：
甲仓库现有粮食的重量＝2×乙仓库现有粮食的重量
解：
设应分给甲仓库粮食𝑥吨，则应分给乙仓库粮食（15－𝑥）吨。
依题意得
解得𝑥＝11
则15－𝑥＝4
答：
应分给甲仓库11吨粮食，分给乙仓库4吨粮食。
五、连比条件巧设𝑥
【典例探究】
例1.一个三角形三边长之比为2：
3：
4，周长为36cm，求此三角形的三边长．
解析：
设三边长分别为2𝑥，3𝑥，4𝑥，根据周长为36cm，可得出方程，解出即可．
设三边长分别为2𝑥，3𝑥，4𝑥，
由题意得，2𝑥+3𝑥+4𝑥=36，
解得：
𝑥=4．
故三边长为：
8cm，12cm，16cm．
例2.三个数的比是5：
12：
13，这三个数的和为180，则最大数比最小数大（）
A．48B．42
C．36D．30
解析:
此题可设每一份为𝑥，则三个数分别表示为5𝑥、12𝑥、13𝑥，根据三个数的和为180，列方程求解即可．
设每一份为𝑥，则三个数分别表示为5𝑥、12𝑥、13𝑥，
依题意得：
5𝑥+12𝑥+13𝑥=180，
解得𝑥=6
则5𝑥=30，13𝑥=78，78-30=48
故选A．
【方法突破】
比例分配问题的一般思路为：
设其中一份为𝑥，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：
各部分之和=总量。
六、配套问题（配套物品之间的数量关系）
配套问题是一种常见的应用题类型，其量与量间的关系类似于工程问题，如在零配件问题中其特殊的等量关系是各种零件的数量比等于一套组合件中各种零配件的数量比。
【典例探究】
例1包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问每天如何安排工人生产圆形和长方形铁片能合理地将铁片配套？
解法1：
可设安排𝑥人生产长方形铁片，则生产圆形铁片的人数为（42-𝑥）人，根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶可列出关于𝑥的方程，求解即可．
设安排𝑥人生产长方形铁片，则生产圆形铁片的人数为（42-𝑥）人，由题意得：
120（42-𝑥）=2×80𝑥，
去括号，得5040-120𝑥=160𝑥，
移项、合并得280𝑥=5040，
系数化为1，得𝑥=18，
42-18=24（人）；
答：
安排24人生产圆形铁片，18人生产长方形铁片能合理地将铁片配套．
解法2：
若安排𝑥人生产长方形铁片，y人生产圆形铁片，根据共有42名工人，可知𝑥+y=42.再根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套可知2×80𝑥=120y，列出二元一次方程组求解。
设安排𝑥人生产长方形铁片，y人生产圆形铁片，则有
解得
答：
安排24人生产圆形铁片，18人生产长方形铁片能合理地将铁片配套．
【方法突破】
解法1和解法2看似不同，实际内在联系紧密，不难发现如果用代入法解方程组，①用𝑥表示y，带入②后，就能得到解法1的原方程。
因此这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系，核心等量关系是生产总量相等（掌握配套问题的等量关系是解题的关键）。
七、日历问题
a+8）=（a+1）+（a+7）=2a+8，
∴a+d=b+c．
故答案为：
a+d=b+c．
【方法突破】
以日历为载体的方程问题，关键是要熟悉日历中隐含的数字规律：
例如横向三个连续数字之间相差1，纵向三个连续数字之间相差7，由此可引申出下表的数量关系：
𝑥-7-1𝑥-7𝑥-7+1
𝑥-1𝑥𝑥+1
𝑥+7-1𝑥+7𝑥+7+1
这9个数的平均数正是正中间数，即平均数为𝑥。
八、利润及打折问题
【典例探究】
例1：
（2016•荆州）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元
C．80元D．60元
分析：
设该商品的进价为𝑥元/件，根据“售价=进价+利润”即可列出关于𝑥的一元一次方程，解方程即可得出结论．
解：
设该商品的进价为𝑥元/件，
依题意得：
（𝑥+20）=200×0.5，
解得：
𝑥=80．
∴该商品的进价为80元/件．[来源:
Z𝑥𝑥k.Com]
故选C．
例2（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）
A．562.5元B．875元
C．550元D．750元
分析：
由利润率算出成本，设标价为𝑥元，则根据“按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元”可以得到𝑥的值；然后计算打九折销售该电器一件所获得的利润．
解答：
解：
设标价为𝑥元，成本为y元，由利润率定义得
500÷y=20%，y=2500（元）．
𝑥×0.8﹣2500=500，
解得：
𝑥=3750．
则3750×0.9﹣2500=875（元）．
故选：
B．
【方法突破】
商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售总利润＝（销售价－成本价）×销售量
单件商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价
商品打几折出售，就是按原标价的十分之几出售，即商品售价=商品标价×折扣率
九、利率和增长率问题
【典例探究】
例1（2016•安徽）2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元，则a、b之间满足的关系式为（ ）
A．b=a（1+8.9%+9.5%）
B．b=a（1+8.9%×9.5%）
C．b=a（1+8.9%）（1+9.5%）
D．b=a（1+8.9%）2（1+9.5%）
分析：
根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，求出2014年我省财政收入，再根据出2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，
即可得出a、b之间的关系式．
解：
∵2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，
∴2014年我省财政收入为a（1+8.9%）亿元，
∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，
∴2015年我省财政收为b=a（1+8.9%）（1+9.5%）；
故选C．
例2小明去银行存入本金1000元，作为一年期的定期储蓄，到期后小明税后共取了1018元，已知利息税的利率为20%，则一年期储蓄的利率为（）
A．2.25%B．4.5%
C．22.5%D．45%
解析：
设一年期储蓄的利率为𝑥，根据税后钱数列方程即可．
设一年期储蓄的利率为𝑥，根据题意列方程得：
1000+1000𝑥（1-20%）=1018，
解得𝑥=0.0225，
∴一年期储蓄的利率为2.25%，故选A．
【方法突破】
1.增长率通常用百分数表示。
增长量=基础数量×增长率
现有数量=基础数量+增长量=基础数量+基础数量×增长率=基础数量×（1+增长率）
2．顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.
利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
十、方案选择问题
（1）
【典例探究】
例1某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
解：
按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
设购A种电视机𝑥台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-𝑥）台，可得方程
1500𝑥+2100（50-𝑥）=90000
即5𝑥+7（50-𝑥）=300
2𝑥=50
𝑥=25
50-𝑥=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-𝑥）台，
可得方程1500𝑥+2500（50-𝑥）=90000
3𝑥+5（50-𝑥）=180
𝑥=35
50-𝑥=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．
可得方程2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：
一是购A，B两种电视机各25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择
（1）中的方案①，可获利
150×25+200×25=8750（元）
若选择
（1）中的方案②，可获利
150×35+250×15=9000（元）
9000>8750
故为了获利最多，选择第二种方案．
【方法突破】
这类问题根据题意分别列出不同的方案的代数式，再通过计算比较结果，即可得到满足题意的方案，需要注意的是要留意题目中的方案要求，常见的是要求利润最大，但是有时也有要求消库存最多或者最节约成本，要注意审题，不可犯惯性错误。
十一、方案选择问题
（2）
解方案选择问题的一般方法：
（1）将题中可变化的一个量设为未知数𝑥，并用含𝑥的代数式表示有关的其他量；
（2）列方程求出特殊情况下（两种方案值相等）未知数的值；
（3）再研究特殊情况之外的未知数的值产生的结果，并比较这些结果（用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解得值，分别代入两种方案中计算，比较两种方案的优劣后下结论。
）；
（4）由比较出的结果决定采用什么方案。
【典例探究】
例1某班准备购置一些乒乓球和乒乓球拍，班主任李老师安排小明和小强分别到甲、乙两家商店咨询了同样品牌的乒乓球和乒乓球拍的价格，下面是小明、小强和李老师的对话．
小明：
甲商店乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，每买一副乒乓球拍可以赠送一盒乒乓球．
小强：
乙商店乒乓球和乒乓球拍的定价与甲商店一样，但乙商店可以全部按定价的九折优惠．
李老师：
我们班需要乒乓球拍5副，乒乓球不少于5盒．
根据以上对话回答下列问题：
（1）当购置的乒乓球为多少盒时，甲、乙两家商店所需费用一样多？
（2）若需要购置30盒乒乓球，你认为到哪家商店购买更合算？
（要求有计算过程）
【解析】
（1）根据题意可设当购买乒乓球𝑥盒时，两种优惠办法付款一样，列出一元一次方程解答即可．
（2）求出当购买30盒乒乓球时，甲、乙两家商店各需要多少元，据此即可解答．
（1）设当购买乒乓球𝑥盒时，
甲店：
30×5+5×（𝑥-5）=5𝑥+125，
乙店：
90%（30×5+5𝑥）=4.5𝑥+135，
由题意可知：
5𝑥+125=4.5𝑥+135，
解得：
𝑥=20；即当购买乒乓球20盒时，甲、乙两家商店所需费用一样多．
（2）当购买30盒乒乓球时，
去甲店购买要5×30+125=275（元），
去乙店购买要4.5×30+135=270（元），
所以去乙店购买合算．
【方法突破】
解决最佳选择问题的一般步骤：
1、运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况；
2、用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解得值，分别代入两种方案中计算，比较两种方案的优劣后下结论。
十二、分配问题
【典例探究】
例1．学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
解：
设房间数为𝑥个，则有学生8𝑥+12人，于是
8𝑥+12=9（𝑥-2）
解得𝑥=30
则8𝑥+12=252
答：
房间数为30个，学生252人。
例2某工人原计划在限定的时间内加工一批零件，如果每小时加工10个零件，就可以超额完成3个；如果每小时加工11个零件，就可以提前1小时完成．问这批零件有多少个？
按原计划需多少小时完成？
解析：
先设原计划规定的期限为𝑥小时，由“如果每小时做10个零件，就可以超额完成3个零件”，可知零件的总数是10𝑥-3，再由“每小时做11个零件，就可以提前1小时完成任务”，可知零件的总数是11𝑥-11，由此可得出一个等量关系式10𝑥-3=11𝑥-11，解答出来即可．
设规定的期限为𝑥小时，由题意可得：
10𝑥-3=11𝑥-11，
10𝑥-11𝑥=3-11，
-𝑥=-8，
𝑥=8．
零件的总数是：
10𝑥-3=10×8-3=77．
答：
这批零件有77个，按原计划需8小时完成．
【方法突破】
这类分配问题中往往有两个不变量，一般为参与分配的人数和被分配的物品数量，抓住这两个不变量，用不同的代数式表示不同的分配方式，然后利用总数相等建立等量关系，问题也就迎刃而解了。
十三、有规律的相邻数问题
【典例探究】
例1一组数列1、4、7、10、…，其中有三个相邻的数的和为66，求这三个数．
解析：
观察数列易得这个数列后面的数比它前面的数大3，设第一个数为𝑥，表示出其余两数，根据3个数相加等于66，列出方程，解方程即可．
设第一个数为𝑥，则第二个数为𝑥+3，第三个数为𝑥+6，
依题意有：
𝑥+𝑥+3+𝑥+6=66，
解得𝑥=19．
答：
这三个数分别为：
19、22、25．
例2有一列数，按一定规律排成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的和是3072，则这三个数中最小的数是．
解析：
观察数列不难发现后一个数是前一个数的-2倍，然后设最小的数是𝑥，表示出另两个数，再列出方程求解即可．
∵-2=1×（-2），
4=（-2）×（-2），
-8=4×（-2），
16=（-8）×（-2），
-32=16×（-2），…，
∴设第一个数是𝑥，则后面两个数分别为-2𝑥，4𝑥，
由题意得，𝑥-2𝑥+4𝑥=3072，
解得𝑥=1024，
即这三个数是1024，-2048,4096．
故最小的数为-2048．
【方法突破】
（1）首先我们要熟悉数字问题中一些常用的表示：
例如n可以表示任意整数，那么三个连续的整数可以表示为n-1，n，n+1或者n，n+1，n+2等形式；偶数常用2n表示,奇数常用2n+1或2n-1表示。
（2）如果所给的数列是有一定规律的数列，我们关键要找到这列数字的规律，然后用相应的代数式表示出相邻数，再列方程求解。
一元一次方程应用题专题练习
一、年龄问题
年龄问题重要原则为：
①任何两人年龄差不变；②任何两人年龄之间的倍数关系是变化的；③每过一年，所有的人都长了一岁。
1.小明今年6年，他爷爷今年72岁，问多少年之后小明年龄是他爷爷年龄的
倍？
解：
设𝑥年后小明的年龄是爷爷的
倍，根据题意得方程为：
二、数字问题
2.一个两位数它的个位数字比十位数字大3，那么这个两位数可以表示为什么？
如果把个位数字和十位数字对调，新的两位数可以表示为什么？
（添表格并完成解答过程）
个位
十位
表示为
原数
对调后的新数
解：
设这个数的十位数字是𝑥，根据题意得
解方程得：
答
3.两个连续奇数的和为156，求这两个奇数，设最小的数为𝑥，列方程得
4.一个五位数最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数比原来的数的3倍多489，求原数。
5.将连续的奇数1，3，5，7，9…，排成如下的数表：
（1）十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？
（2）若将十字框上下左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于315吗？
若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由.
三、日历时钟问题
6、你能在日历中圈出2×2的一个正方形,使得圈出的4个数之和是77吗?
如果能,求出这四天分别是几号?
如果不能，请说明理由.
7、在6点和7点间，时钟分针和时针重合？
四、几何等量变化问题（等周长变化，等体积变化）
常用公式：
三角行面积=，正方形面积
圆的面积，梯形面积
矩形面积柱体体积
椎体体积球体体积
8、已知一个用铁丝折成的长方形，它的长为9cm，宽为6cm，把它重新折成一个宽为5cm的长方形，
则新的长方形的宽是多少？
设新长方形长为𝑥cm，列方程为
9、将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm2，问量筒中水面升高了多少cm？
10、如图所示，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一，相当于小长方形面积的四分之一，阴影部分的面积为224cm2，求重叠部分面积。
11、如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中。
（1）问倒完后，第二个容器水面的高度是多少？
（2）如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？
五、打折销售：
公式：
利润=售出价-进货价（成本价）利润率=
12、一只钢笔原价30元，现打8折出售，现售价是元；如果这支钢笔的成本价为12元，那么不打折前商家每支可以获利元，打折之后，商家每支还可以获利元
13、一件服装标价200元，①按标价的8折销售，仍可获利20元，该服装的进价是元；
②按标价的8折销售，仍可获利10%，该服装的标价是元
15、一件商品在进价基础上提价20%后，又以9折销售，获利20元，则进价是______元.
设进价𝑥元，根据题意列方程得
16、服装店将某种服装按成本提高40%标价，又以八折优惠卖出，每件仍获利15元，则每件的成本为_________．
17、某件商品9折降价销售后每件商品售价为
元,则该商品每件原价为________。
18、一种药物涨价25%的价格是50元，那么涨价前的价格𝑥满足的方程是____________。
18、某商品的销售价格每件900元，为了参加
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