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二项分布和超几何分布含答案

超几何分布和二项分布

一、两者的定义是不同的

1超几何分布的定义

2独立重复试验与二项分布的定义

(1)独立重复试验.

(2)二项分布.

本质区别

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,而二项分布描述的是放回抽样问题.

(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.

二、两者之间是有联系的

人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题:

例1某批n件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验,问:

(1)当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件产品的概率各是多少?

(2)根据

(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?

【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外,本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系:

第一,n次试验中,某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时,X服从二项分布;当这n次试验是不放回摸球问题,事件A为摸到某种特性(如某种颜色)的球时,X服从超几何分布

第二,在不放回n次摸球试验中,摸到某种颜色的次数X服从超几何分布,但是当袋子中的球的数目N很大时,X的分布列近似于二项分布,并且随着N的增加,这种近似的精度也增加.

从以上分析可以看出两者之间的联系:

当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下,计算得到的概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布.

例2袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取一个球,求

(1)又放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;

(2)无放回地抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.

[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:

“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解,而不能按照超几何分布去处理.

【正解】

(1)同上;

从以上解题过程中我们还发现,错解中的期望值与正解中的期望值相等,好多学生都觉得不可思议,怎么会出现相同的结果呢?

其实这还是由于前面解释过的原因,超几何分布与二项分布是有联系的,看它们的期望公式:

综上可知,当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。

①用独立重复试验要求独立(互不影响)而且重复(前后概率都相同)

②如果是任取,是一把取出来,还是分多次取出来,前后两次会造成影响么?

概率会相同么?

有没有顺序?

答题模板

模板一离散型随机变量的期望和方差

建设答题模板

求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤:

第一步:

确定随机变量的所有可能取值.

第二步:

求每一个可能值对应的概率.

第三步:

列出离散型随机变量的分布列.

第四步:

利用公式求出均值和方差.

第五步:

反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.

模板二离散型随机变量的决策问题

(2008年高考理科二卷)(18)(本大题满分12分)

购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为

.

(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p;

(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:

元).

18.解:

各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是

,记投保的10000人中出险的人数为

,则

(Ⅰ)记

表示事件:

保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金,则

发生当且仅当

,2分

.5分

(Ⅱ)该险种总收入为

元,支出是赔偿金总额与成本的和.

支出

盈利

盈利的期望为

,9分

知,

(元).

故每位投保人应交纳的最低保费为15元.12分

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