复变函数教案.docx

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复变函数教案

《复变函数》教案

第一次课………………复数

第二次课………………复平面上的点集

第三次课………………复变函数复球面与无穷远点

第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程

第五次课………………初等解析函数

第六次课………………初等多值函数

第七次课………………复积分的概念及其简单性质

第八次课………………柯西积分定理

第九次课………………柯西积分公式及其推论

第十次课………………解析函数与调和函数的关系

第十一次课……………复级数的基本性质

第十二次课……………幂级数

第十三次课……………解析函数的泰勒展式

第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理

第十五次课……………解析函数的洛朗展开式

第十六次课……………解析函数的孤立奇点

第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚纯函数的概念

第十八次课……………留数

第十九次课……………用留数计算实积分

第二十次课……………辐角原理及其应用

第二十一次课…………解析变换的特性

第二十二次课…………分式线性变换

第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理

第二十四次课…………总复习

第一次课：

复数

一．教学目的：

1．掌握复数的四则运算及共轭运算；

2．熟练掌握复数的各种表示法；

3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。

二．教学重点：

复数的三角表示和复数的乘方与开方。

三．教学难点：

用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。

四．教学方法：

启发式、讨论式

五．教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等。

六．教学过程：

[引言]：

（约10分钟）

简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。

●复数的基本概念（约5分钟）

1．虚数单位。

2．实部与虚部。

3．共轭复数。

●复数的四则运算（约20分钟）

1．复数的加、减、乘和除法运算。

2．复数运算的性质。

举例并让学生穿插进行练习。

●复数的几何表示（约20分钟）

1．复平面。

2．复数的模与幅角。

3．复数模的三角不等式。

利用几何图形直观地解释。

●复数的三角表示（约25分钟）

1．复数的三角表示

2．用复数的三角表示作乘除法。

3．复数的乘方与开方

举例并让学生穿插进行练习。

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习内容（约5分钟）

第二次课：

复平面上的点集

一.教学目的：

１．了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念；

２．理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念。

二.教学重点：

正确理解区域、单连通域与多连通域、简单曲线等概念

三.教学难点：

求复平面上曲线的复方程。

四．教学方法：

启发式、讨论式

五．教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简述上节课内容，引出本课题的内容。

●开集与闭集（约20分钟）

1．介绍邻域的概念及几何图形

2．平面点集（开集、闭集、内点、边界点、有界集、无界集等）

3．区域

举例并让学生穿插进行练习。

●平面曲线（约20分钟）

1.平面曲线的复值函数表示

2.简单曲线及简单闭曲线。

3.若当曲线定理。

4.单连通区域和多连通区域

举例并让学生穿插进行练习。

●无穷大与复球面（约35分钟）

1．扩充的复数系统及其四则运算。

2．扩充复平面

3．复球面

七．课程小结　（约5分钟）

八．布置作业和预习内容（约5分钟）

第三次课：

复变函数

复球面与无穷远点

一．教学目的：

1．理解复变函数以及映射的概念；

2．了解复变函数与而二元实函数的关系；

3．了解复变函数的极限与连续的概念、性质；

4．熟悉复变函数数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区别与联系；

5．理解复变函数的导数以及解析函数的概念；

6．掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。

7．熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程。

8、了解复球面与复平面的关系；

9.了解无穷远点与复球面上的哪一点相对应；

10.理解广义极限与广义连续的概念。

二．教学重点：

复变函数以及映射的概念，解析函数的概念；函数解析性的判别。

三．教学难点：

复变函数的极限存在性判别和用导数定义求复函数的导数

四．教学方法：

启发式、讨论式

五．教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

复习上节课内容，引出复变函数的概念。

●复变函数的概念（约15分钟）

主要讲解单值函数与多值函数的概念，特别详解多值函数概念。

通过例题的讲解使学生对之掌握。

●复变函数的极限与连续性（约20分钟）

1．复变函数的极限与连续概念

2．复变函数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区联系

3．有界闭区域的复连续函数性质

举例并让学生穿插进行练习。

●复变函数的导数（约5分钟）

介绍复函数的可导、可微等概念，通过讲解例题帮助学生理解

●解析函数的概念与求导法则（约10分钟）

1．解析函数的概念

2．求导的四则运算

3．复合函数的求导法则

●函数解析的一个充要条件（约15分钟）

以推理的方式给出函数解析的一个充要条件：

柯西-黎曼方程；通过讲解常数函数的部分充分条件加深学生对该充要条件的理解

●复球面（约5分钟）

●扩充复平面的几个概念（约5分钟）

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习内容（约5分钟）

第四次课：

解析函数的概念与柯西-黎曼方程

一．教学目的：

1、了解复数域中函数可导、解析与连续的定义；

2、理解可导、解析与连续的关系；

3、充分掌握解析函数的运算法则、C-R条件及有关定理与公式；

4、深刻理解解析函数的等价刻画定理的内容及涵义。

二．教学重点：

C-R条件及有关定理与公式

三．教学难点：

解析函数的等价刻画定理的内容及涵义

四．教学方法：

启发式、讨论式

五．教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简单回顾上节课内容，引入本课题内容

●复变函数的导数与微分（约10分钟）

给出调和函数的概念，证明解析函数的虚部和实部都是调和函数

●共轭调和函数（约10分钟）

给出共轭调和函数的概念，引出函数解析的另外一个充要条件

●解析函数及其简单性质（约25分钟）

●柯西-黎曼条件（约35分钟）

1.证明定理

2.可微的充要条件

3.可微的充分条件

课程小结（约5分钟）

七．布置作业和预习

第五次课：

初等解析函数

一．教学目的：

1、了解复正、余弦函数的有关性质；

2、了解正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性；

3、理解指数函数

的常见性质；

4、充分掌握整幂函数及有理函数的解析性；

二．教学重点：

指数函数

的常见性质

三．教学难点：

正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性

四．教学方法：

启发式、讨论式

五．教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简单回顾上节课内容，引入本课题内容

●指数函数及其性质（约25分钟）

●三角函数与双曲函数及其性质（约25分钟）

通过讲解例题让学生掌握共轭调和函数的求法；

八．课程小结（约5分钟）

九．布置作业和预习

第六次课：

初等多值函数

一．教学目的：

1、了解幂函数w=

、指数函数

的单叶性区域；

2、了解根式函数

、对数函数

与幂函数、指数函数的关系

3、了解具有多个支点的多值函数；

二．教学重点：

幂函数w=

、指数函数

的单叶性区域

三．教学难点：

分出根式函数与对数函数的单值解析分支

四．教学方法：

启发式、讨论式

五．教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简单回顾上节课内容，引入本课题内容

●根式函数及其性质（约15分钟）

●对数函数（约10分钟）

●一般幂函数与一般指数函数（约15分钟）

●具有多个有限支点的情形（约20分钟）

●反三角函数与反双曲函数（约10分钟）

一十．课程小结（约5分钟）

一十一．布置作业和预习

第七次课：

复积分的概念及其简单性质

一．教学目的：

1．了解复积分定义，熟练掌握复积分的基本性质

2．掌握复积分计算的一般方法。

二．教学重点：

1。

复积分的定义和一般计算方法；

2．复积分的基本性质。

三．教学难点：

1。

利用复积分的定义求复函数的积分

2．利用复积分的性质5来估计给定函数复积分的上界

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简单回顾上节课内容，由实变函数的线积分概念引入复变函数的线积分

●复积分的定义与计算（约40分钟）

1.复积分的定义

2.定理3.1的证明，该定理是将复积分与实变函数中线积分联系到一起，提供了计算复积分的另外一条途径。

3．例题讲解。

该部分讲解课本P57-58的例3.1-3.3，为了让学生掌握计算方法，例题的讲解速度适中，以引导式教学为主。

要向学生指出：

例3.1中的积分与路径有关而其余与路径无关，为后面教学做铺垫。

●复积分的基本性质（约35分钟）

1.向学生介绍复积分的五个基本性质，性质5的证明要求在黑板上写出，其余可要学生自己完成

2.例题讲解：

例3.4、3.5，其中例3.5的后半部分可以要求学生在完成。

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习（约5分钟）

第八次课：

柯西积分定理

一．教学目的：

1．理解柯西定理，掌握复合闭路原理

2．了解变上限函数的性质

3．复不定积分与原函数的概念

4．牛顿莱布尼茨公式。

二．教学重点：

1．柯西定理

2．牛顿莱布尼茨公式类似的解析函数的复积分公式

三．教学难点：

1．柯西定理的推广形式

2．原函数概念的引入

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简单回顾上课题的内容：

由上单元的例题（积分与路径的关联性）引出本课主题。

●柯西定理（约20分钟）

1．定理3.2：

设函数

在单连通区域

内解析，则

在

内沿任意一条简单闭曲线

的积分为零

2．定理3.2：

设函数

在单连通区域

内解析，则

在

内沿任意一条简单闭曲线

的积分与路径无关

通过例题3.6的讲解巩固对定理的理解，同时对上单元例题从理论上加以解释。

●多连通域上的柯西定理（约30分钟）

1．闭路变形原理（定理3.4）

2．复合闭路定理

该部分的定理提供了一套将在任意曲线上的复积分转化为在特殊曲线上的积分有效方法，通过讲解例题帮助学生理解这两个定理的作用

●实函数定积分的推广（约30分钟）

1．复变函数的原函数概念的引入

２．牛顿莱布尼茨公式类似的解析函数的复积分公式

通过例题讲解，让学生掌握该定理的方法并要求学生作题。

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习

第九次课：

柯西积分公式及其推论

一．教学目的：

1．熟练掌握柯西积分公式

2．熟练掌握高阶导数公式。

二．教学重点：

柯西积分公式及其一系列的应用

三．教学难点：

1．最大模原理

2．解析函数的高阶导数公式

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简述上次课主要内容，归纳现有的求复积分的所有方法，引入本课题的内容

●柯西积分公式（约35分钟）

这部分内容的理论证明可简单讲解，着重通过例题的讲解让学生掌握柯西积分公式在各种情形下的使用，并要求学生在课堂练习

●平均值公式（约5分钟）

●最大模原理及其两个推论（约15分钟）

该部分的证明学生不易在短时间理解，可以让学生课前重点预习，在课堂上给出总体思路，最主要通过例题让学生掌握他们的应用

●高阶导数公式（约25分钟）

该部分的重点放在公式的应用上，通过例题的讲解完成

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习

第十次课：

解析函数与调和函数的关系

二．教学目的：

1、理解调和函数以及共轭调和函数的的定义；

2、充分理解解析函数与调和函数的关系；

3、切实掌握从已知解析函数的实部或虚部求出虚部或实部的方法。

二．教学重点：

解析函数与调和函数的关系；

三．教学难点：

从已知解析函数的实部或虚部求出虚部或实部的方法

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简述上次课主要内容，引入本课题的内容

●调和函数的定义（约15分钟）

●共轭调和函数的定义及其性质（约15分钟）

●定理3.19（约25分钟）

●例题讲解（约25分钟）

九．课程小结（约5分钟）

一十．布置作业和预习

第十一次课：

复级数的基本性质

一．教学目的：

1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；

2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法；

3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义；

4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则；

5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。

6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。

二．教学重点：

复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；

三．教学难点：

复函数级数的内闭一致收敛性。

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简述上一章主要内容，帮助学生找出该章内容的主线，引入本课题的内容

●复数序列（约15分钟）

1．复数序列的极限概念

2．复数序列收敛的充要条件

3．收敛的复数序列的性质

●复数项级数（约25分钟）

1．复数项级数部分和、和、收敛等概念

2．复数项级数收敛的判别条件

3．复数项级数各项模的收敛与该级数收敛的关系

举例并让学生穿插进行练习

●复变函数项级数（约40分钟）

1．复变函数项级数

举例并让学生穿插进行练习

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习

第十二次课：

幂级数

一．教学目的：

1、理解幂级数的收敛性；

2、充分理解幂级数的收敛半径、收敛域的意义；

3、切实掌握幂级数和函数的解析性。

二．教学重点：

幂级数和函数的解析性；

三．教学难点：

幂级数和函数的解析性。

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简述上一章主要内容，帮助学生找出该章内容的主线，引入本课题的内容

●幂级数的敛散性（约15分钟）

●收敛半径的求法,柯西-阿达马公式（约25分钟）

举例并让学生穿插进行练习

●幂级数和的解析性（约40分钟）

举例并让学生穿插进行练习

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习

第十三次课：

解析函数的泰勒展式

一．教学目的：

1、掌握泰勒定理、泰勒系数公式及解析函数的等价刻画命题；

2、充分理解幂级数的和函数在收敛圆周上的状况；

3、了解幂级数的四则运算及其幂级数的各种展开法。

二．教学重点：

泰勒定理、泰勒系数公式及解析函数的等价刻画命题

三．教学难点：

幂级数的各种展开法

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简述上次课主要内容，回顾实变函数相应部分的内容，引出解析函数的泰勒级数和洛朗级数。

●泰勒定理（约25分钟）

●幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况（约15分钟）

●一些初等函数的泰勒展式（约40分钟）

举例并让学生穿插进行练习，求给定解析函数的泰勒级数是重点

七．课程小结（约5分钟）

要求学生明白“将函数展开成级数”的意思，要注意以下几点：

1．将函数展开成什么级数？

是泰勒级数还是洛朗级数？

2．在那些区域展开？

区域不同展开式不同

3．能不能展开？

怎样展开？

八．布置作业和预习

第十四次课：

解析函数零点的孤立性及惟一性定理

一．教学目的：

1、了解解析函数零点的概念及其有零点的解析函数的表达式

2、充分理解解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理；

3、充分掌握解析函数的最大模原理。

二．教学重点：

解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理

三．教学难点：

最大模原理

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等.

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简述上次课主要内容，回顾实变函数相应部分的内容

●解析函数零点的孤立性（约25分钟）

●惟一性定理（约15分钟）

●最大模原理（约40分钟）

举例并让学生穿插进行练习

九．课程小结（约5分钟）

一十．布置作业和预习

第十五次课：

解析函数的洛朗展开式

一．教学目的：

1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质；

2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；

3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数

二．教学重点：

掌握洛朗级数的展开方法。

三．教学难点：

掌握洛朗级数的展开方法。

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等.

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简述上次课主要内容，回顾实变函数相应部分的内容

●双边幂级数的定义（约5分钟）

●解析函数的洛朗展式（约25分钟）

●洛朗级数与泰勒级数的关系（约10分钟）

●解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式（约40分钟）

举例并让学生穿插进行练习

一十一．课程小结（约5分钟）

一十二．布置作业和预习

第十六次课：

解析函数的孤立奇点

一．教学目的：

1、掌握孤立奇点的三种类型；

2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理；

3、归纳奇点的所有情况；

4、充分理解关于本性奇点的两大定理。

二．教学重点：

孤立奇点的三种类型

三．教学难点：

孤立奇点的三种类型的判定定理

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等.

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简述上次课主要内容，复习上次课内容。

●孤立奇点的三种类型（约15分钟）

●可去奇点及其判别（约15分钟）

●施瓦茨引理（约10分钟）

●极点及其判别（约20分钟）

举例并让学生穿插进行练习

●施瓦茨引理（约5分钟）

●本质奇点（约10分钟）

●皮卡定理（约5分钟）

举例并让学生穿插进行练习

一十三．课程小结（约5分钟）

一十四．布置作业和预习

第十七次课：

孤立奇点在无穷远点的性质

整函数与亚纯函数的概念

一．教学目的：

1、充分了解解析函数在无穷远点邻域的性态；

2、掌握孤立奇点

类型的判定定理；

3、了解整函数的概念与分类；

4、了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系；

二．教学重点：

充分了解解析函数在无穷远点邻域的性态

整函数与亚纯函数

三．教学难点：

孤立奇点

类型的判定定理

亚纯函数的概念及其与有理函数的关系

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学、黑板、粉笔等.

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

复习上次课内容，简述上次课主要内容。

●解析函数在无穷远点的性质（约40分钟）

●整函数的概念与举例（约25分钟）

●亚纯函数的概念与举例（约15分钟）

一十五．课程小结（约5分钟）

一十六．布置作业和预习

第十八次课：

留数

一．教学目的：

1、掌握函数在有限点残数的概念及残数定理；

2、充分掌握函数在有限点残数的概念及残数

的求法

3、理解在

处残数的概念及计算方法；

4、了解含点

区域的残数定理。

二．教学重点：

函数在有限点残数的概念及残数定理及残数

的求法

三．教学难点：

残数

的求法

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学与黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约5分钟）

简述上次课主要内容，回顾柯西定理和柯西积分公式，引出本课题的内容

●留数的定义及留数定理（约40分钟）

1．留数的概念，举例，并让学生练习。

2．留数定理，指出留数定理与柯西定理、柯西积分公式的关系。

●留数的求法（约30分钟）

3．函数在极点处的留数，举例，学生练习。

●函数在无穷远点的留数（约10分钟）

4．函数在无穷远点的留数，举例，学生练习。

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习

第十九次课：

用留数计算实积分

一．教学目的：

１．熟练掌握应用留数计算

、

及

型积分。

2．了解应用留数定理计算实积分的围道积分法。

二．教学重点：

1．形如

的积分

2．形如

的积分

三．教学难点：

计算实积分的围道积分法

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学与黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约10分钟）

简述上次课主要内容，引出本课题的内容

●应用留数计算形如

的积分（35分钟）

该部分知识主要以举例和学生练习方式进行，其中学生练习的时间占大半

●应用留数计算形如

的积分（约40分钟）

该部分知识主要以举例和学生练习方式进行，其中学生练习的时间占大半

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习

第二十次课：

辐角原理及其应用

一．教学目的：

1、掌握作为残数定理直接应用的零点与极点个数定理

2、理解辐角原理及其应用；

3、充分掌握Rouche定理及其应用；

二．教学重点：

三．残数定理直接应用的零点与极点个数定理

三．教学难点：

Rouche定理及其应用

四．教学方法：

启发式、讨论式

五。

教学用具：

多媒体教学与黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：

（约10分钟）

简述上次课主要内容，引出本课题的内容

●对数原理（约40分钟）

该部分知识主要以举例和学生练习方式进行，其中学生练习的时间占大半

●辐角原理（约30分钟）

该部分知识主要以举例和学生练习方式进行，其中学生练习的时间占大半

●儒歇定理（约10分钟）

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习

第二十一次课：

解析变换的特性

一．教学目的：

1、理解并掌握解析变换的保域性

2、充分理解解析变换的保角性——导数的几何意义；

3、充分掌握单叶解析函数的有关重要性质；

4、充分理解单叶解析变换的保形性。

二．教学重点：

单叶解析函数的有关重要性质

三．教学难点