00 全国大学生数学数学建模竞赛参考答案.docx
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00全国大学生数学数学建模竞赛参考答案
2003-2009全国大学生数学建模竞赛试题及参考答案
2010-7-19
2005A题:
长江水质的评价和预测2
2005A题评阅要点4
2005B题：
DVD在线租赁6
2005B题评阅要点8
2006A题:
出版社的资源配置10
2006A题评阅要点11
2006B题:
艾滋病疗法的评价及疗效的预测14
2006B题评阅要点15
2007A题：
中国人口增长预测18
2007A题评阅要点19
2007B题：
乘公交，看奥运22
2007B题评阅要点23
2008A题数码相机定位26
2008A题评阅要点28
2008B题高等教育学费标准探讨29
2008B题评阅要点30
2009A题制动器试验台的控制方法分析31
2009A题评阅要点34
2009B题眼科病床的合理安排38
2009B题评阅要点40
2005A题:
长江水质的评价和预测
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。
专家们呼吁：
“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。
”
长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。
2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。
为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。
附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。
通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。
一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。
反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。
事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2 （单位：
1/天）。
附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。
下面的附表是国标（GB3838-2002）给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
请你们研究下列问题：
（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?
（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。
（4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？
（5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。
附表:
《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值单位：
mg/L
序
号
分类
标准值
项目
Ⅰ类
Ⅱ类
Ⅲ类
Ⅳ类
Ⅴ类
劣Ⅴ类
1
溶解氧（DO） ≥
7.5
（或饱和率90%）
6
5
3
2
0
2
高锰酸盐指数（CODMn）≤
2
4
6
10
15
∞
3
氨氮（NH3-N） ≤
0.15
0.5
1.0
1.5
2.0
∞
4
PH值（无量纲）
6---9
（注：
附件１~4位于压缩文件A2005Data.rar中,可从
2005A题评阅要点
[说明]根据各赛区的建议，从2004年起全国组委会不再提供赛题参考解答，只给评阅要点。
本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
总体思路根据问题的实际背景，首先依据17个观测点水质数据对相应地区的水质情况做定量分析评价；依据这些地点的相对地理位置、水流量和水质数据，利用简化的一维水质模型推算出相应的排污量，从而可以确定出长江的主要污染源所在的地区；根据长江过去10年的总体水质检测数据，对未来长江干流水质发展趋势进行预测，并对可能控制水质的条件进行研究。
问题
（1）按照国家标准地表水的评价指标主要是附表中的4项，而水质有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ共6个类别，每一类对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别标准就算是高类别的水质。
由于各项指标在各类别中的标准值（区间）差别很大，评价时要先对各项指标的数据做标准化处理。
其次，由于不同类别的水质有很大的差别，同一类别水质的污染物含量也有一定的范围，所以做综合评价时要考虑这些指标的类别差异和同类别内的数量差异。
最后，根据附件3的数据计算出17个观测点28个月的水质综合指标后，还要进行综合排序。
问题
（2）一个江段的水质污染来自本地区的排污和上游的污水，问题（１）得到的水质排序最差的地区不一定是污染源最严重的地区。
用长江干流上的7个观测站点将长江分为6个江段，逐段计算各江段的排污量，找出主要污染源所在的区域。
首先研究每个江段中污染物浓度C（mg/L）的变化规律。
由于题目中给出了污染物的降解系数，附件3给出了每个月的污染物浓度、流量、流速等数据，若忽略污染物的局部扩散（研究的是总体污染），在考虑固定时段（月）的污染物浓度时，可利用一般一维水质模型的近似解
，
（其中x为江段长度，u为流速，对每一江段u是常数，k为污染物的降解系数）。
根据污染物浓度和流量计算各江段的单位时间排污量时，困难在于不知道一个江段内诸多支流及排污口的位置和排污量，无法精确计算各江段的总排污量。
解决问题的一个办法是，考虑到当所有排污点都集中在江段起点时，对该江段的水质影响最大，而当所有排污点都集中在江段终点时，对该江段的水质影响最小，由此可以计算一个江段内可能的最大排污量和最小排污量。
这样，每一江段的每一个月都可以得到一个排污量区间，可以再用对月取平均及对区间取中点的方法得到每一江段单位时间的平均排污量。
最后，由于附件3给出了各江段的距离，所以可用每一江段单位时间、单位距离的平均排污量作为可比性指标来确定主要污染源所在江段。
问题（3）附件４给出了过去10年长江流域总体水质污染状况数据，可以认为反映污染状况的各类水质比例主要与当年（或者还与去年）总排污量和总流量有关，从而建立可饮用水（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类水）的比例与排污量和流量的回归模型。
为了用这个模型预测未来可饮用水比例，先要预测未来的排污量和流量。
由附件４的数据可以看出，排污量增长很快，而流量变化不大。
可以用灰色预测或拟合等方法得到排污量与时间的关系，而流量可以简单地用取过去10年的平均值等办法处理。
最后，用上面两个模型计算未来可饮用水的比例，会得到污染状况将十分严重的结论。
问题（4）在问题（３）模型的基础上可以直接计算。
问题（5）开放性问题（略）。
说明：
所给数据基本上都来自于相关部门的真实数据，有些可能用不到（甚至不准确或有误），如果认为不够可以自己去查找（如认为有误可修正），可以充分利用自己认为有用的数据来解决问题。
2005B题：
DVD在线租赁
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？
请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
表1对1000个会员调查的部分结果
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
表2现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）
DVD编号
D001
D002
D003
D004
…
DVD现有数量
10
40
15
20
…
会员在线订单
C0001
6
0
0
0
…
C0002
0
0
0
0
…
C0003
0
0
0
3
…
C0004
0
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
注：
D001~D100表示100种DVD,C0001~C1000表示1000个会员,会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。
（注：
表2数据位于文件B2005Table2.xls中,可从
2005B题评阅要点
命题思路本题是根据某DVD在线租赁网站经理提出的实际问题简化改编而成的。
问题初看起来似乎很容易理解而且并不复杂，但考虑到DVD在线租赁业务中存在的各种不确定性和多阶段特征，建立好的数学模型并不容易。
赛题
（1）、
（2）问考虑的是该问题的两个子问题（购买和分发），第（3）问则同时考虑购买和分发，第（4）问要求参赛队自己提出和求解问题。
对题目的理解不同、假设不同，得到的模型和结果可能很不相同，因此本题应特别注意假设的合理性及所建立的模型与假设之间的一致性。
问题
（1）网站购买DVD的最优数量
对表1的一种理解是根据表1得到某DVD被选中的概率（记为
），设网站的会员总数量为
，在
比较大的情况下，则该DVD的总需求可用正态分布N（np,npq）近似（
），据此可在一定的置信水平下得到有需求会员人数的上限M。
设该DVD购买x张，当x
M/2时，一种简单的近似方法是认为1个月该DVD的可用张数是1.6x张，要保证一个月至少P%有需求的会员能得到满足,即1.6x
M*P%，可求得最小的x；当x综合两种情况可得到近似结果。
采用数值模拟（仿真）也是一种方法。
[注]对表1可以存在其他理解方式，例如认为表中给出的某DVD的需求只是初始时段（一个月或半个月）的需求，并进一步假设以后时段的需求持续不变或按某种规律变化。
可相应地考虑三个月的问题。
问题
（2）网站分发DVD
用
分别表示当前需要分发的会员订单数量和DVD种类，用
表示第
种DVD的现有数量，用
表示表格文件中给出的订单矩阵。
用
变量
表示是否选择第
种DVD分配给第
位会员，用
变量yi表示第
位用户是否得到DVD。
一种容易想到的方法是累加会员满意度，使其最大化。
会员
得到第
种DVD的满意度sij可以自行定义。
一种0-1线性规划模型为：
，
，
（也可根据对题目的不同理解将等号换成小于等于号），
，
。
[注]本题（尤其B题）数据量较大，但很容易用Lingo软件算出最后结果。
如果将模型松弛成线性规划求解再舍入到0-1解，应该验证解的可行性和估计解的误差。
如果模型正确但因软件限制影响到计算结果，可酌情处理。
如果采用启发式算法求解问题，应该说明算法的效率和效果。
进行敏感性分析也是值得鼓励的。
此外，建立网络优化的模型也是可能的。
问题（3）购买和分发同时考虑
一种近似方法是在一定的假设下把问题分解成刚刚考虑过的购买和分发两个子问题。
考虑到一个月内可能一个会员要发货两次，这又是一个多阶段的决策问题，建立随机决策模型并寻找最优决策是可能的，但由于后一阶段决策时需要考虑前一阶段哪些会员归还了哪些DVD，因此难度较大。
采用数值模拟（仿真）也是一种方法。
问题（4）其他问题（D题没有这一问）
要求同学自己思考、提出问题，并解决问题。
这也是本题的重要组成部分，可供同学充分发挥其创造性，特别是提出问题的能力，主要依据论文中提出的问题的实用和理论价值以及建模思路评判论文的优劣。
2006A题:
出版社的资源配置
出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。
某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。
事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。
资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。
资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。
由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。
本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。
[附录]
附件1：
问卷调查表；
附件2：
问卷调查数据（五年）；
附件3：
各课程计划及实际销售数据表（5年）；
附件4：
各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）；
附件5：
9个分社人力资源细目。
2006A题评阅要点
本题考察的重点是：
从决策问题的海量的、不完全的、甚至错漏（带有噪音、错误、异型）的数据中分析出决策的逻辑结构和提取有用的数据（附录中许多数据是没有用的！
）以及依赖数据信息，进而构建数学模型的能力。
本题的资源优化配置模型是规划问题，其中也包括一些预测模型。
因此，理解并且实现优化问题的基础结构是取得基本分值的必要条件。
1、目标函数的构成成分
主要包括销售额表达式（注意如果作者利用了附录数据说明中的假设，则赢利与销售额等价），可以以课程为单位，也可以以学科为单位；包括由市场信息产生的对于不同课程的调控因子（竞争力系数）；由于数据说明中的提示，也应该包括每个课程的申报需求量的“计划准确性因子”（学生用词会不同）。
当然，前两点更重要些。
2、约束条件构成
对于出版社来说，所谓产能主要是人力资源，即策划、编辑和版面设计人员的分布形成主要约束；此外，书号总量（500）也应该作为约束条件；同时，在数据说明中指出的“满足申请书号量的一半”也应该以约束方式表达。
3、规划变量
可以以每个课程的书号数量，也可以以学科的书号数作为变量，但是得到的结果会有所不同。
实现以上三点，对于问题的理解是比较全面的，应该得到基本分值。
进一步提高的分值来源于实现上述三点的具体模型的考虑和建模水平。
1）如果注意到数据说明中提示的，同一课程的教材在价格和销售量的同一性，销售额表达式是比较容易表示的：
构造每个课程的、用书号数表达的销售额，然后将所有书号的销售额的表达式累加，形成总社的销售额的基本表达式，这是目标函数的主体部分。
2）市场信息产生的对于不同课程的调控因子（也称竞争力系数）的表示，是一个信息不足情况下的决策模型。
主要是满意度和市场占有率的恰当表示和计算（由附件2），以及两个指标的联合形成竞争力系数问题，这里既可以使用拟合模型，也可以使用各种多因素分析模型等等，方法不同。
对这个问题解决的优劣，可以导致明显的评分差别。
其中应该特别注意需求信息是否重复使用的问题，也就是说，如果在构造销售额表达式时已经使用了课程的销售数据，则不同课程的支持强度的不同，主要由市场竞争力参数表达。
3）在优化问题中，应该恰当地表示“计划准确性因子”，数据给出的计划销量和实际销量之比应该是比较合适的表示。
4）加上前述约束条件构成适当的规划问题。
比较好的实现以上四点，应该得到80%的分值。
最后剩余分值是：
计算出结果，创造性，论文表述和格式。
[注1]以下给出建模所需信息和附录数据表的关系：
在问卷调查表的调查目的中提示了满意度和市场占有率是竞争力的主要组成，也提示了数据依据（附录1）；课程级销售额以及销售额与利润的等价性关系（附录3），满意度和市场占有份额由问卷调查数据表检索计算产生（附录2），各个课程的需求的书号数（附录4）和“计划准确性因子”（附录3），人力资源（附录5）。
其中附录1只是让学生了解市场调查的方法。
[注2]学生会提出附录5和4之间在书号数与人力资源上的差别，事实上人力资源和分配到的书号数没有直接的单一因果联系（如临时雇用人员、临时增加书号等）。
附录4的书号总和的计算错误是实际数据的错误，但是与解题无关（学生采用哪组数据应该都是可以的）。
附件：
对问题更详细的分析过程（供参考）
本题背景是：
某出版社总社汇总各个分社提交的出版需求计划，然后根据市场信息、在总社产能允许的条件下，将给定数量的书号进行分配，以期在此分配方案下，出版的图书产生最好的经济效益。
由于企业的生产是市场导向的，因此市场信息是对分社计划进行调整的主要依据，同时要考虑产能的限制。
这是一个资源配置的决策问题，因此需要分析决策的信息依据以及决策的逻辑过程。
1、决策的总体结构
市场信息决策部门分社计划信息
决策结果
各个分社提出的出版需求计划是决策的基础，而市场信息是调整分社计划达到效益最大化的主要调节依据。
在以上总体结构下，需要将各个分社的计划信息和市场信息的信息产生结构分析清楚。
2、分社计划信息
在附录4中给出了各个分社06年申请的书号计划数，即分社所属课程的计划数的列表。
该出版社中，分社是按学科划分的，学科之下又有若干课程，问题的决策对象可以分两级：
课程级以及学科级。
也就是说，可以以课程作为基本分配对象，学科数据可以通过汇总得到；也可以先将数据汇总到学科，然后以学科作为配置单位。
两种方法计算结果会有所不同。
3、市场信息
相关的市场信息主要包括两个方面：
需求信息和竞争力信息，包括它们的变化趋势。
3．1需求信息。
课程级的销售额是决策的目标函数的基础组分（附录4中提示了销售额与盈利的等价性）。
在根据课程级的需求计划计算销售额时，需要用过去五年该课程的实际销售量去预测当年的销售量。
这样就已经考虑了市场的需求信息，因此在总社的进一步分析中不必要重复使用这类市场信息。
另一方面，由于分社有夸大需求的倾向（附录4提示），将课程级的计划销售量与实际销售量之比作为“计划准确性系数”，在课程级的销售额中作为权重是恰当的考虑。
3．2竞争力信息。
企业在战略决策中的主要原则是：
重点支持竞争力强、竞争力发展趋势强的产品（题目中已经提示）。
虽然企业也要关注现实竞争力不强、但有潜力的产品，但这不是主要的决策原则，这是一个恰当的简化。
竞争力因素很多，但是对于本题，由于只给出了两方面的数据（A.对教材的课程级的满意度，B.该出版社的课程级的市场占有率），因此也只有用这两个数据产生对于各个课程的不同的竞争力系数，这是总社的主要调控手段，应体现在规划问题的目标函数中。
4、建模过程
如何从给定数据中提取需要的每项市场信息，是本题建模的关键之一。
4．1市场需求信息。
这里主要是课程级的需求量预测。
从历年的销售数据，即已经出版过的同课程的历年销售数据，可得到目标函数的主要表达式：
[（课程级销量*平均书价）/当年的该课程的获得书号数]=该课程的书号的平均销售额
4．2产品满意度。
在问卷调查中的本出版社的满意度（课程级）的均值除以所有出版社的满意值的均值，可以作为该课程的满意度，这里“度”是率的含意。
4．3市场份额占有率。
在问卷调查的统计中已经给出了关于课程与出版社市场份额分布表，而通过五年的市场份额分布表可以回归出预测的市场份额占有率。
4．4竞争力系数。
以上两点可以产生单一的竞争力系数（通过模型方法）加入到目标函数中，例如，可以从五年的历史数据拟合得到加权系数，再进行加权求和等，方法各异。
由以上4点以及考虑到3.1中的“计划准确性系数”，可以构成规划的目标函数。
4．5约束条件：
该社的产能即人力资源的约束，书号总量的限制以及至少满足申请数一半的要求（附录4），即可得到规划问题的完整表示。
5、决策的逻辑结构
总社决策
通过以上分析我们可以用以下信息流转图表示决策问题的结构：
2006B题:
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV）引起的。
这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。
人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。
许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。
现在得到了美
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