3数数与计数2.docx
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3数数与计数2
第三讲数数与计数
（二）
例1数一数，图3－1中共有多少点？
解：
（1）方法1：
如图3－2所示从上往下一层一层数：
第一层1个
第二层2个
第三层3个
第四层4个
第五层5个
第六层6个
第七层7个
第八层8个
第九层9个
第十层10个
第十一层9个
第十二层8个
第十三层7个
第十四层6个
第十五层5个
第十六层4个
第十七层3个
第十八层2个
第十九层1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）
=55+45=100（利用已学过的知识计算）.
（2）方法2：
如图3－3所示：
从上往下，沿折线数
第一层1个
第二层3个
第三层5个
第四层7个
第五层9个
第六层11个
第七层13个
第八层15个
第九层17个
第十层19个
总数：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.
（3）方法3：
把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.
想一想：
①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：
1=1×1
1+2+1=2×2
1+2+3+2+1=3×3
1+2+3+4+3+2+1=4×4
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.
同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：
1+3=2×2
1+3+5=3×3
1+3+5+7=4×4
1+3+5+7+9=5×5
1+3+5+7+9+11=6×6
1+3+5+7+9+11+13=7×7
1+3+5+7+9+11+13+15=8×8
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10
还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.
例2数一数，图3－5中有多少条线段？
解：
（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：
ABACADAEAF5条.
以B点为共同左端点的线段有：
BCBDBEBF4条.
以C点为共同左端点的线段有：
CDCECF3条.
以D点为共同左端点的线段有：
DEDF2条.
以E点为共同左端点的线段有：
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.
总数5+4+3+2+1=15（条）.
想一想：
①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：
总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：
还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.
②上面的事实也可以这样说：
如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数线段总条数
还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.
例3数一数，图3－9中共有多少个锐角？
解：
（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.
所以，以OA边为公共边的锐角有：
∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，
∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有：
∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.
以OC边为公共边的锐角有：
∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有：
∠DOE，∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有：
∠EOF只1个.
锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.
②用图示法更为直观明了：
如图3－10所示，锐角总数为：
5+4+3+2+1=15（个）.
想一想：
①由例3可知：
由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：
（见图3－11～15）
两条射线1个角（见图3－11）
三条射线2+1个角（见图3－12）
四条射线3+2+1个角（见图3－13）
五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）
六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）
总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1.
②同样，也可以这样想：
如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数.
③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.
习题三
1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？
2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个棋孔？
3.数一数，图3－18中有多少条线段？
4.数一数，图3－19中有多少锐角？
5.数一数，图3－20中有多少个三角形？
6.数一数，图3－21中有多少正方形？
习题三解答
1.解：
方法1：
从左往右一摞一摞地数，再相加求和：
10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10
=135（本）.
方法2：
把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.
长方形中的书10×11=110
三角形中的书1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
总数：
110+25=135（本）.
2.解：
因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.
仔细观察可知，图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，2，3，4，所以棋孔总数是：
（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）×3=91+10×3=121（个）.
3.解：
方法1：
按图3－22所示方法数（图中只画出了一部分）
线段总数：
7+6+5+4+3+2+1=28（条）.
方法2：
基本线段共7条，所以线段总数是：
7+6+5+4+3+2+1=28（条）.
4.解：
按图3－23的方法数：
角的总数：
7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
5.解：
方法1：
（1）三角形是由三条边构成的图形.
以OA边为左公共边构成的三角形有：
△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF，△OAG，△OAH，共7个；
以OB边为左公共边构成的三角形有：
△OBC，△OBD，△OBE，△OBF，△OBG，△OBH，共6个；
以OC边为左公共边构成的三角形有：
△OCD，△OCE，△OCF，△OCG，△OCH，共5个；
以OD边为左公共边构成的三角形有：
△ODE，△ODF，△ODG，△ODH，共4个；
以OE边为左公共边构成的三角形有：
△OEF，△OEG，△OEH，共3个；
以OF边为左公共边构成的三角形有：
△OFG，△OFH，共2个；
以OG边和OH，GH两边构成的三角形仅有：
△OGH1个；
三角形总数：
7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
（2）方法2：
显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形，而基本线段是7条，所以三角形总数为：
7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
6.解：
最小的正方形有25个，
由4个小正方形组成的正方形16个；
由9个小正方形组成的正方形9个；
由16个小正方形组成的正方形4个；
由25个小正方形组成的正方形1个；
正方形总数：
25+16+9+4+1=55个.
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