初二数学经典难题带答案及解析.docx

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初二数学经典难题带答案及解析

初二数学经典难题

一、解答题〔共10小题，满分100分〕

1．〔10分〕已知：

如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：

△PBC是正三角形．〔初二〕

2．〔10分〕已知：

如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：

∠DEN=∠F．

3．〔10分〕如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：

点P到AB的距离是AB的一半．

4．〔10分〕设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．

求证：

∠PAB=∠PCB．

5．〔10分〕P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

6．〔10分〕一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．

7．〔10分〕〔2009•XX〕如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M〔﹣2，﹣1〕，且P〔﹣1，﹣2〕为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

〔1〕写出正比例函数和反比例函数的关系式；

〔2〕当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？

如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

〔3〕如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

8．〔10分〕〔2008•XX〕如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点〔P与A、C不重合〕，点E在线段BC上，且PE=PB．

〔1〕求证：

①PE=PD；②PE⊥PD；

〔2〕设AP=x，△PBE的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值X围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

9．〔10分〕〔2010•XX〕如图，直线y=k1x+b与反比例函数

〔x＞0〕的图象交于A〔1，6〕，B〔a，3〕两点．

〔1〕求k1、k2的值．

〔2〕直接写出

时x的取值X围；

〔3〕如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．

10．〔10分〕〔2007•XX〕如图，已知直线y=

x与双曲线

交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

〔1〕求k的值；

〔2〕若双曲线

上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

〔3〕过原点O的另一条直线l交双曲线

于P，Q两点〔P点在第一象限〕，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

初二数学经典难题

参考答案与试题解析

一、解答题〔共10小题，满分100分〕

1．〔10分〕已知：

如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：

△PBC是正三角形．〔初二〕

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。

专题：

证明题。

分析：

在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．

解答：

证明：

∵正方形ABCD，

∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，

∵∠PAD=∠PDA=15°，

∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，

在正方形内做△DGC与△ADP全等，

∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，

∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，

∴△PDG为等边三角形〔有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形〕，

∴DP=DG=PG，

∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，

∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，

在△DGC和△PGC中

，

∴△DGC≌△PGC，

∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，

同理PB=AB=DC=PC，

∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，

∴△PBC是正三角形．

点评：

本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．

2．〔10分〕已知：

如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：

∠DEN=∠F．

考点：

三角形中位线定理。

专题：

证明题。

分析：

连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM=

BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：

∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F．

解答：

证明：

连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．

∵N是CD的中点，且NG∥AD，

∴NG=

AD，G是AC的中点，

又∴M是AB的中点，

∴MG∥BC，且MG=

BC．

∵AD=BC，

∴NG=GM，

△GNM为等腰三角形，

∴∠GNM=∠GMN，

∵GM∥BF，

∴∠GMF=∠F，

∵GN∥AD，

∴∠GNM=∠DEN，

∴∠DEN=∠F．

点评：

此题主要考查平行线性质，以与三角形中位线定理，关键是证明△GNM为等腰三角形．

3．〔10分〕如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：

点P到AB的距离是AB的一半．

考点：

梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=

〔ER+FS〕，易证Rt△AER≌Rt△CAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．

解答：

解：

分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS，

∵P是EF的中点，∴Q为RS的中点，

∴PQ为梯形EFSR的中位线，

∴PQ=

〔ER+FS〕，

∵AE=AC〔正方形的边长相等〕，∠AER=∠CAT〔同角的余角相等〕，∠R=∠ATC=90°，

∴Rt△AER≌Rt△CAT〔AAS〕，

同理Rt△BFS≌Rt△CBT，

∴ER=AT，FS=BT，

∴ER+FS=AT+BT=AB，

∴PQ=

AB．

点评：

此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以与正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键．

4．〔10分〕设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．

求证：

∠PAB=∠PCB．

考点：

四点共圆；平行四边形的性质。

专题：

证明题。

分析：

根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用AD∥EP，AD∥BC，进而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，

得出AEBP共圆，即可得出答案．

解答：

证明：

作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，

∵AD∥EP，AD∥BC．

∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形，

∴AE∥DP，BE∥PC，

∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，

∴AEBP共圆〔一边所对两角相等〕．

∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，

∴∠PAB=∠PCB．

点评：

此题主要考查了四点共圆的性质以与平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键．

5．〔10分〕P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．

考点：

正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。

专题：

综合题。

分析：

把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC，根据勾股定理得到PE=2

a，再根据勾股定理逆定理证明△PEC是直角三角形，从而得到∠BEC=135°，过点C作CF⊥BE于点F，△CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长．

解答：

解：

如图所示，把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC，

∴△APB≌△CEB，

∴BE=PB=2a，

∴PE=

=2

a，

在△PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，

∴△PEC是直角三角形，

∴∠PEC=90°，

∴∠BEC=45°+90°=135°，

过点C作CF⊥BE于点F，

则△CEF是等腰直角三角形，

∴CF=EF=

CE=

a，

在Rt△BFC中，BC=

=

=

a，

即正方形的边长为

a．

点评：

本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以与逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

6．〔10分〕一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．

考点：

分式方程的应用。

分析：

设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分可列方程求解．

解答：

解：

设小水管进水速度为x立方米/分，则大水管进水速度为4x立方米/分．由题意得：

解之得：

经检验得：

是原方程解．

∴小口径水管速度为

立方米/分，大口径水管速度为

立方米/分．

点评：

本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解．

7．〔10分〕〔2009•XX〕如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M〔﹣2，﹣1〕，且P〔﹣1，﹣2〕为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

〔1〕写出正比例函数和反比例函数的关系式；

〔2〕当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？

如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

〔3〕如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

考点：

反比例函数综合题。

专题：

压轴题。

分析：

〔1〕正比例函数和反比例函数的图象都经过点M〔﹣2，﹣1〕，设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；

〔2〕因为P〔﹣1，﹣2〕为双曲线Y=

上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为1，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；

〔3〕因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P〔﹣1，﹣2〕是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．

解答：

解：

〔1〕设正比例函数解析式为y=kx，

将点M〔﹣2，﹣1〕坐标代入得k=

，所以正比例函数解析式为y=

x，

同样可得，反比例函数解析式为

；

〔2〕当点Q在直线OM上运动时，

设点Q的坐标为Q〔m，

m〕，

于是S△