家教资料个人整理高一数学人教新课标A版函数及其表示方法教案 3.docx
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家教资料个人整理高一数学人教新课标A版函数及其表示方法教案3
函数及其表示方法
一、目标认知
学习目标：
（1）会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
（2）能正确认识和使用函数的三种表示法：
解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情
境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．
重点:
函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．
难点:
对函数符号
的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？
分段函数解析式的求法．
二、知识要点梳理
知识点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：
y=f（x），x
A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x
A}叫做函数的值域.
2．构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
；
；
.
知识点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：
简明，给自变量求函数值.
图象法：
用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：
直观形象，反应变化趋势.
列表法：
列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：
不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
知识点三、映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：
A→B.
象与原象：
如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.
注意：
（1）A中的每一个元素都有象，且唯一；
（2）B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
（3）a的象记为f（a）.
2.函数：
设A、B是两个非空数集，若f：
A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f（x）.
注意：
（1）函数一定是映射，映射不一定是函数；
（2）函数三要素：
定义域、值域、对应法则；
（3）B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
（4）原象集合=定义域，值域=象集合.
三、规律方法指导
1.函数定义域的求法
（1）当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
2.如何确定象与原象
对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.
3.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；
配方法：
对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：
将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：
通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
经典例题透析
类型一、函数概念
1.下列各组函数是否表示同一个函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
思路点拨：
对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
解：
（1）
，
对应关系不同，因此是不同的函数；
（2）
的定义域不同，因此是不同的函数；
（3）
的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；
（4）
定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.
总结升华：
函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则
，其中核心是对应法则
，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
（1）定义域不同，两个函数也就不同；
（2）对应法则不同，两个函数也是不同的.
（3）即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
2.求下列函数的定义域（用区间表示）.
（1）
；
（2）
； （3）
.
思路点拨：
由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.
解：
（1）
的定义域为x2-2≠0，
；
（2）
；
（3）
.
总结升华：
使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.
3.已知函数f（x）=3x2+5x-2，求f（3），
，f（a），f（a+1）.
思路点拨：
由函数f（x）符号的含义，f（3）表示在x=3时，f（x）表达式的函数值.
解：
f（3）=3×32+5×3-2=27+15-2=40；
；
；
.
类型二、映射与函数
5.下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?
如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?
（1）A=R，B=R，对应法则f：
取倒数；
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：
作三角形的外接圆；
（3）A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：
作圆的内接三角形．
思路点拨：
根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．
解：
（1）不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为
A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；
（2）是映射，集合A中的任意一个元素（三角形），在集合B中都有唯一的元素（该三角形的外接圆）与
之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；
（3）不是映射，集合A中的任意一个元素（圆），在集合B中有无穷多个元素（该圆的内接三角形有无
数个）与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：
以该圆上某定点为顶点作正
三角形便可成为映射．
总结升华：
将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．
6.已知A=R，B={（x，y）|x，y
R}，f：
A→B是从集合A到集合B的映射，f：
x→（x+1，x2+1），求A中的元素
的象，B中元素
的原象.
解：
∴A中元素
的象为
故
.
类型三、函数的表示方法
7.求函数的解析式
（1）若f（2x-1）=x2，求f（x）；
（2）若f（x+1）=2x2+1，求f（x）.
思路点拨：
求函数的表达式可由两种途径.
解：
（1）∵f（2x-1）=x2，∴令t=2x-1，则
；
（2）f（x+1）=2x2+1，由对应法则特征可得：
f（x）=2（x-1）2+1
即：
f（x）=2x2-4x+3.
总结升华：
求函数解析式常用方法：
（1）换元法；
（2）配凑法；（3）定义法；（4）待定系数法等.注意：
用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.
8.作出下列函数的图象.
（1）
；
（2）
；
（3）
； （4）
.
思路点拨：
（1）直接画出图象上孤立的点；
（2）（3）先去掉绝对值符号化为分段函数.
解：
（1）
，∴图象为一条直线上5个孤立的点；
（2）
为分段函数，图象是两条射线；
（3）
为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；
（4）图象是抛物线.
所作函数图象分别如图所示：
类型四、分段函数
9.已知
，求f（0），f[f（-1）]的值.
思路点拨：
分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.
解：
f（0）=2×02+1=1
f[f（-1）]=f[2×（-1）+3]=f
（1）=2×12+1=3.
10.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
解：
设票价为y元，里程为x公里，
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
学习成果测评
基础达标
一、选择题
1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）
⑴
，
；
⑵
，
；
⑶
，
；
⑷
，
；
⑸
，
．
A．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸
2．函数y=
的定义域是（ ）
A．-1≤x≤1 B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1}
3．函数
的值域是（）
A．（-∞，
）∪（
，+∞） B．（-∞，
）∪（
，+∞）
C．R D．（-∞，
）∪（
，+∞）
4．下列从集合A到集合B的对应中：
①A=R，B=（0，+∞），f:
x→y=x2；
②
③
④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:
x→y=x2+1；
⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:
x→y=|x|
其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知映射f:
A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是（）
A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象 B．B中元素可以有两个原象
C．A中的任何元素有且只能有唯一的象 D．A与B必须是非空的数集
6．点（x，y）在映射f下的象是（2x-y，2x+y），求点（4，6）在f下的原象（）
A．（
，1） B．（1，3） C．（2，6） D．（-1，-3）
7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是（）
A．y=
B．y=
C．y=
x D．y=
x2
8．下列图象能够成为某个函数图象的是（）
9．函数
的图象与直线
的公共点数目是（）
A．
B．
C．
或
D．
或
10．已知集合
，且
，使
中元素
和
中的元素
对应，则
的值分别为（）
A．
B．
C．
D．
11．已知
，若
，则
的值是（）
A．
B．
或
C．
，
或
D．
12．为了得到函数
的图象，可以把函数
的图象适当平移，这个平移是（）
A．沿
轴向右平移
个单位 B．沿
轴向右平移
个单位
C．沿
轴向左平移
个单位 D．沿
轴向左平移
个单位
二、填空题
1．设函数
则实数
的取值范围是_______________．
2．函数
的定义域_______________．
3．函数f（x）=3x-5在区间
上的值域是_________．
4．若二次函数
的图象与x轴交于
，且函数的最大值为
，则这个二次函数的表达式是_______________．
5．函数
的定义域是_____________________．
6．函数
的最小值是_________________．
三、解答题
1．求函数
的定义域．
2．求函数
的值域．
3．根据下列条件，求函数的解析式：
（1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））=4x-1，求f（x）；
（2）已知f（x）是二次函数，且f
（2）=-3，f（-2）=-7,f（0）=-3，求f（x）；
（3）已知f（x-3）=x2+2x+1，求f（x+3）；
（4）已知
；
（5）已知f（x）的定义域为R，且2f（x）+f（-x）=3x+1，求f（x）.
1、选择题
1．C．
（1）定义域不同；
（2）定义域不同；（3）对应法则不同；（4）定义域相同，且对应法则相同；（5）定义域不同．
2．D．由题意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或x≥1，∴x=±1，选D．
3．B．法一：
由y=
，∴x=
∴y≠
，应选B．法2：
4．C．提示：
①④⑤不是，均不满足“A中任意”的限制条件．
5．D．提示：
映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间．
6．A．设（4，6）在f下的原象是（x，y），则
，解之得x=
，y=1，应选A．
7．C．∵0≤x≤4，∴0≤
x≤
=2
，应选C． 8．C．
9．C．有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于
仅有一个函数值．
10．D．按照对应法则
，
而
，∴
．
11．D．该分段函数的三段各自的值域为
，而
∴
∴
．
12．D．平移前的“
”，平移后的“
”，用“
”代替了“
”，
即
，左移．
二、填空题
1．
. 当
，这是矛盾的；当
.
2．
.提示：
.
3．
.
4．
.
设
，对称轴
，当
时，
.
5．
.
.
6．
.
．
三、解答题
1．解：
∵
，∴定义域为
2．解：
∵
∴
，∴值域为
3．解：
（1）
.提示：
利用待定系数法；
（2）
.提示：
利用待定系数法；
（3）f（x+3）=x2+14x+49.提示：
利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，
于是f（x-3）=x2+2x+1变为f（t）=（t+3）2+2（t+3）+1=（t+4）2，故f（x+3）=[（x+3）+4]2；
（4）f（x）=x2+2.提示：
整体代换，设
（5）
.提示：
利用方程，用-x替换2f（x）+f（-x）=3x+1中所有的x得到一个新的式子
2f（-x）+f（x）=-3x+1，于是有
，联立得
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