上海市六年级数学第二学期同步课程春季班第19讲长方体的再认识教师版.docx
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上海市六年级数学第二学期同步课程春季班第19讲长方体的再认识教师版
上海市六年级数学第二学期同步课程
长方体的再认识是初中数学六年级下学期第4章的内容．通过本章的学习，同学们需要掌握长方体的表示方法、长方体直观图的画法，理清长方体中棱与棱的位置关系、棱与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，并要学会如何检验直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行、平面与平面是否垂直、平面与平面是否平行的方法．难点是相关的长方体的表面积和体积的计算．
1、长方体的元素
长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．
2、长方体的元素特征
（1）长方体的每个面都是长方形．
（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．
（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．
3、正方体是特殊的长方体
【例1】填空：
（1）长方体有______个顶点；
（2）长方体有______个面，每个面都是______，相对的两个面的面积______；
（3）长方体共有______条棱，按棱的长短可分为______组，每组棱的长度相等，每组
有______条棱．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】
（1）8；
（2）6；长方形；相等；（3）十二；三；四．
【总结】考查长方体的相关元素的概念．
【例2】判断：
（1）若长方体的十二条棱都相等，这个长方体就是正方体；（）
（2）桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；（）
（3）长方体共有6个面；（）
（4）长方体的六个面，至少有四个面的形状、大小相同；（）
（5）平面就是水平面；（）
（6）水平面是平面．（）
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】
（1）正确；
（2）错误：
桌面所在的平面是无穷无尽的，但是桌面的面积是固定的；
（3）正确；（4）错误，长方体至少有两个面形状大小相同；
（5）错误：
平面不一定是水平面（6）正确：
水平面就是一个平面．
【总结】考查长方体的元素，注意进行辨析．
【例3】在长方体ABCD–EFGH中，与棱EF相等的棱是（）
A．棱AB、棱CD、棱GHB．棱AB、棱AE、棱BF
C．棱GH、棱EH、棱FGD．棱BC、棱CG、棱GF
【难度】★
【答案】A
【解析】画图即可观察出，与一条棱相等的棱共有三条，分别是棱AB、棱CD、棱GH．
【总结】考查长方体的棱的概念．
【例4】用一根长为100厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为5厘米，6厘米和7厘米的长
方体架子，应该如何截取？
材料够吗？
【难度】★★
【答案】够，还剩28cm材料剩余．
【解析】由题意，若按照棱长分别为5cm、6cm、7cm来做的话，可以做一个长方体架子，
用掉（5+6+7）×4=72cm材料，还有28cm材料剩余．
【总结】考查长方体的总棱长的和的概念．
【例5】棱长总和是24厘米的正方体，它的表面积为______，体积为______．
【难度】★★
【答案】24平方厘米；8立方厘米．
【解析】由题意可知正方体的棱长为：
24÷12=2cm，故表面积为：
2×2×6=24平方厘米，
体积为：
2×2×2=8立方厘米．
【总结】考查正方体的表面积与体积的计算．
【例6】长方体的长、宽、高之比为2:
1:
1，棱长总和是80厘米，把这个长方体截成两正
方体时，表面积增加了_____．
【难度】★★
【答案】50平方厘米．
【解析】设长为2x，宽为x，高为x，则有：
（2x+x+x）×4=80，解得：
x=5，
所以长方体的长为：
5×2=10cm；宽为5×1=5cm；高为5×1=5cm，
当长方体被截成两个正方体时，即增加了两个面，
则增加的面积为：
5×5×2=50平方厘米．
【总结】考查正方体的表面积问题，注意切割后表面积的变化．
【例7】要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大
的纸？
最多需要多大的纸？
【难度】★★★
【答案】最少107平方厘米，最多127平方厘米．
【解析】要使得需要的纸最少：
即使得无盖的那一面面积最大，此时需要：
（3×5+3×7）×2+5×7=107平方厘米；
要使得需要的纸最大：
即使得无盖的那一面面积最小，此时需要：
（3×7+5×7）×2+3×5=127平方厘米．
【总结】考查长方体的表面积的运算，注意对无盖的理解．
【例8】一根长为36分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的
长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积．
【难度】★★★
【答案】12立方分米或立方分米15或24立方分米．
【解析】由题意可得，长宽高的和为36÷4=9，由题意有以下三种情况：
①长、宽、高分别为：
1、2、6，此时体积为：
12立方分米
②长、宽、高分别为：
1、3、5，此时体积为：
15立方分米
③长、宽、高分别为：
2、3、4，此时体积为：
24立方分米
【总结】考查长方体的体积，注意分类讨论．
1、长方体的直观图画法：
斜二侧画法
水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：
第一步：
画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，
．（如图1所示）
第二步：
过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）
第三步：
顺次联结E、F、G、H．（如图3所示）
第四步：
将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）
图4表示的长方体通常表示为ABCD-EFGH．它的六个面通常表示为：
平面ABCD、平
面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：
棱AB、棱AE、棱EF等．
【例9】图中长方体正确表示为（）
A．长方体ABCDB．长方体EFGH
C．长方体ABD．长方体ABCD-EFGH
【难度】★
【答案】D
【解析】长方体的表示方法必须表示出每一个点，并且按照一定的顺序来表示．
【总结】考查长方体的表示方法．
【例10】要补全一个长方体的直观图，至少需要知道_____条棱，这几条棱应该分别是
____________．
【难度】★
【答案】3；长、宽、高．
【解析】知道长、宽、高，便能画出长方体的直观图．
【总结】考查长方体的画法．
【例11】画一个棱长分别是2厘米、3厘米、4厘米的长方体．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】①画平行四边形ABCD，使AB等于4，AD等于长方体宽的二分之一，即1.5，
作
（如图1所示）；
②过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长
度都等于长方体的高（如图2）；
③顺次联结E、F、G、H，（如图3所示）；
④将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4）
图4即为所求的长方体ABCD-EFGH．
【总结】考查长方体的斜二测画法，注意对画图语言的准确表示．
【例12】画一个棱长总和为36厘米的正方体．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】由题可确定正方体棱长为36÷12=3cm，根据斜二测画法要求即可．
【总结】考查长方体的画法．
【例13】补画下列各图，使它成为长方体（虚线部分表示被遮住的部分）．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】如下图所示：
原图中给的三条线一定分别是长宽高，按照图示补全即可．
（1）
（2）（3）（4）
【总结】考查长方体的画法，注意对所给的棱的准确分析．
1、
长方体中棱与棱的位置关系
如图所示的长方体ABCD-EFGH中：
棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．
棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．
棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．
空间两条直线有三种位置关系：
相交、平行、异面．
【例14】
在如图所示的长方体中，哪些棱与棱AD平行？
哪些棱与AD相交？
哪些棱与AD
异面？
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】与棱AD平行的棱有：
棱BC、棱FG、棱EH；
与棱AD相交的棱有：
棱AB、棱AE、棱DH、棱DC；
与棱AD异面的棱有：
棱EF、棱HG、棱BF、棱CG．
【总结】考查棱与棱的位置关系．
【例15】在长方体中，每一条棱与______条棱平行，每一条棱与______条棱相交，每一条
棱与______条棱异面，互相平行的棱有______对，互相异面的棱有______对，相交的棱有______对．
【难度】★★
【答案】3；4；4；18；48；24．
【解析】①每一条棱与3条棱平行；②每条棱与4条棱相交；③每条棱与4条棱异面；
④每组互相平行的4条棱中，同一平面内互相平行的共有4对，异面平行的有2对；
因此共有：
（4+2）×3=18对棱平行；⑤与每一条棱异面的有4对，那么共有：
12×4=48
对棱互相异面；⑥因为每条棱与4条棱相交，剔除重复的部分，所以相交的棱共有：
4×12÷2=24对．
【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系，这些都是不变的，可以要求学生记住．
【例16】如图，在长方体ABCD—EFGH中，填写下列各对线段所在直线的位置关系．
（1）棱AD与AG：
_________________；
（2）棱DH与EG：
_________________；
（3）EG与BD：
_________________；
（4）棱DC与DB：
_________________．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】
（1）相交；
（2）异面；（3）异面；（4）相交．
【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系．
【例17】垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________．
【难度】★★
【答案】平行或异面或垂直．
【解析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
若没有强调同一平面，则垂直于同一直线的两直线可能异面，也可能垂直．
【总结】考查直线的位置关系．
【例18】如果两条直线在同一平面上的投影是两条平行线，那么这两条直线的位置关系是
__________．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】平行或异面，由于是投影，那么原两条直线未必在同一平面内，可能异面，只要满
足投影平行即可，可以让学生自己拿着笔，打开手电筒演示一下．
【总结】考查两直线的位置关系．
1、长方体中棱与平面的位置关系
如图1，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：
直线PQ
平面ABCD，读作：
直线PQ垂直于平面ABCD．
如图2，直线PQ平行于平面ABCD，记作：
直线PQ//平面ABCD，读作：
直线PQ平行于平面ABCD．
如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：
棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象．
棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象．
2、检验直线与平面是否垂直的方法
“铅垂线”法、“三角尺法”、“合页型折纸”法．
3、检验直线与平面是否平行的方法
“铅垂线”法、“长方形纸片”法．
【例19】教室里的日光灯与地面的位置关系是______，桌腿与桌面的位置关系是______．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】
（1）平行；
（2）垂直．
【总结】考查直线与平面的位置关系．
【例20】
如图，在长方体ABCD-EFGH中：
（1）与棱DH垂直的平面是___________________；
（2）与棱BC平行的平面是___________________；
（3）与平面ADHE垂直的棱是________________；
（4）与平面EFGH平行的棱是________________；
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】
（1）平面ABCD、平面EFGH；
（2）平面EFGH、平面AEHD；
（3）棱AB、棱EF、棱HG、棱DC；（4）棱AB、棱BC、棱CD、棱AD．
【总结】考查直线与平面的位置关系，注意进行辨析．
【例21】铅垂线是垂直于____面的直线，用___________法可以检验课桌的边沿是否与地面
平行，用__________法可以检验细棒是否与地面垂直．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】地、铅垂线、铅垂线．
【总结】考查直线与平面的位置关系．
【例22】如图，用__________法可以检验细棒是否与斜面垂直．
【难度】★★
【答案】三角尺法．
【解析】三角尺法．
【总结】考查直线与平面的位置关系．
【例23】在长方体中的每一条棱有______个平面和它垂直，每一个面有______条棱与它垂
直，每一条棱有______个平面和它平行，每一个面有______条棱与它平行．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】2、4、2、4．
【总结】考查直线与平面的位置关系．
【例24】在长方体ABCD-EFGH中，AB=3厘米，BF=5厘米，与棱AB垂直的平面的面
积之和是32平方厘米，求这个长方体的表面积．
【难度】★★★
【答案】81.2平方厘米．
【解析】由题意，与棱AB垂直的平面即为左右两个侧面，面积和为32，则每个侧面面积
为16，因为BF=5cm，可得：
BC=3.2cm，所以长方体的表面积为：
2×（3×3.2+3×5+3.2×5）=81.2平方厘米．
【总结】考查直线与平面的位置关系，综合性较强，注意认真分析．
1、长方体中平面与平面的位置关系
如下左图，平面
垂直于平面
，记作平面
平面
，读作平面
垂直于平面
．
如上右图，平面
平行于平面
，记作平面
//平面
，读作平面
平行于平面
．
如图所示的长方体ABCD-EFGH中：
面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都
给我们以平面与平面垂直的形象．
面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象．
2、检验平面与平面是否垂直的方法
“铅垂线”法、“合页型折纸”法、“三角尺”法．
3、检验平面与平面是否平行的方法
“长方形纸片”法．
【例25】如图，与平面ABFE垂直的平面有____________，与平面BCGF平行的平面有
_____________．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】面BCGF、面ADHE、面ABCD、面EFGH；
面ADHE．
【总结】考查平面与平面的位置关系．
【例26】下列结论正确的是（）
A．在长方体中，与其中的一个面垂直的面有2个
B．在长方体中，与其中的一个面平行的面有4个
C．长方体有两个相对的面是正方形，那么这个长方体有6条棱的长度相等
D．长方体相邻的两个面互相垂直，相对的两个面互相平行
【难度】★★
【答案】D
【解析】A错误，有四个；B错误，有1个；C错误，还有一条高不能确定；D正确
【总结】考查平面与平面的位置关系．
【例27】
如图，与面ADHE垂直的面有__________________________．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】面ABFE、面ABCD、面EFGH、面DCGH．
【总结】考查直线与平面的位置关系．
【例28】可以用________________检验教室的墙面与地面是否垂直．
可以用________________检验衣橱里横向的两块隔板是否平行．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】铅垂线法或合页型折纸法、长方形纸片法．
【总结】考查直线与平面的位置关系的检测方法．
【例29】如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，与平面C垂直的平面是________．
（用图中的字母表示）
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】与已知面垂直的平面是与之相邻的四个平面：
B、D、E、F．
【总结】考查平面与平面的位置关系．
【例30】如图，在长方体ABCD-EFGH中，找出与平面BCHE垂直的平面，并找出现成的
合页型折纸，在图上用阴影部分表示．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】由题意可知，与平面BCHE垂直的平面分别是：
平面ABFE、平面DCGH．
【总结】考查平面与平面的位置关系，注意认真分析，综合性较强．
【习题1】正方体的棱长扩大2倍后，体积增大到原来的______倍．
【难度】★
【答案】8．
【解析】正方体的体积等于长×宽×高，所以棱长扩大两倍后，体积就扩大2×2×2=8倍．
【总结】考查正方体的棱长与体积的关系．
【习题2】
在图中的长方体中：
（1）从正面看，看不见的棱有___________；
（2）与棱EH相等的棱有_______________；
（3）与平面ADHE相对的平面有________；
（4）位于水平位置的平面有_____________．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】
（1）棱：
AD、DC、BC、EH、GF、HG、HD、GC；
（2）棱：
AD、GF、BC；
（3）面BCGF；（4）面ABCD、面EFGH．
【总结】考查长方体的棱与面的位置关系．
【习题3】在长方体中，若两条棱没有公共点，则这两条棱的位置关系是__________．
【难度】★
【答案】平行异面．
【解析】两条棱没有公共点，则说明这两条棱要么平行，要么异面．
【总结】考查长方体中棱与棱的位置关系．
【习题4】下列说法正确的是（）
A．平静的水面是水平面，所以光滑的镜面也是水平面
B．长方体中棱与平面不是垂直就是平行
C．若两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线也平行
D．长方体中任何一条棱都与两个平面平行
【难度】★★
【答案】D
【解析】A、光滑的镜面不一定是水平面，与所放的位置有关；B、棱可能正好在这个平面
内；C、这两条直线可能相交，只要它们都在平行于该平面的某个平面内；D正确．
【总结】考查对长方体的基本位置关系的认识．
【习题5】如图所示的六面体中，AEFB和DHGC是相同的直角梯形，其余都是长方形，则：
（1）其中有______条棱与平面ADHE垂直；
（2）其中有______条棱与平面AEFB垂直；
（3）其中有______条棱与平面ABCD垂直；
（4）其中有______条棱与平面BFGC垂直．
【难度】★★
【答案】
（1）4；
（2）4；（3）2；（4）0．
【解析】
（1）AB、DC、HG、EF，共4条；
（2）AD、EH、BC、FG，共4条；
（3）AE、DH，共2条；（4）0条．
【总结】考查立体图形中棱与棱的关系，注意进行辨析．
【习题6】一个正方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该正方体A、B、
C三种状态所显示的数字，可推出“?
”处的数字是（）
A．1B．2C．4D．6
【难度】★★
【答案】D．
【解析】第三个图5和3相邻，第二个图1和3相邻，因此4对面是3，1对面是6，5对面
是2，6和3、5相邻，所以问号处是6，故选D．
【总结】考查对长方体的面的认识．
【习题7】长方体的总棱长是72厘米，它的长:
宽=2:
1，宽:
高=2:
3，这个长方体的
体积是______．
【难度】★★
【答案】
．
【解析】因为长方体的总棱长为72厘米，故长+宽+高=
厘米，
由题意知长：
宽：
高=4:
2:
3，设长宽高分别为
，
则
，所以长、宽、高分别为8、4、6，
所以体积是
．
【总结】考查长方体的体积的计算．
【习题8】把一块长是50厘米的长方体分成2:
3两部分后，它的表面积增加了300平方厘
米，则分成的两块长方体木块的体积分别为__________．
【难度】★★★
【答案】
．
【解析】把一块长是50厘米的长方体分成2:
3两部分后，长分别为20厘米和30厘米．
因为切割后表面积增加了300平方厘米，故原厂方体的长×宽为：
，
故分成的两块长方体木块的体积分别为：
、
．
【总结】本题综合性较强，一方面考查长方体的体积计算，另一方面要对增加的表面积进行
准确理解．
【习题9】小方制作了一个无盖的长方体木盒，木盒的棱长分别为3厘米、5厘米和8厘米，
求这个木盒的表面积．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】当有盖时，表面积为：
，
①当高是3厘米时，木盒的表面积为：
；
②当高是5厘米时，木盒的表面积为：
；
③当高是8厘米时，木盒的表面积为：
．
【总结】考查长方体的表面积计算，注意要分类讨论．
【习题10】一个长方体的表面积是88平方厘米，这个长方体可以被分割为5个完全相同
的正方体，求这个长方体的体积．
【难度】★★★
【答案】
．
【解析】设正方形边长为x厘米，则由题意可得：
，
故这个长方体的体积为：
．
【总结】本题综合性较强，主要考查长方体的表面积与体积的计算，注意认真分析题意．
【作业1】长方体中经过同一顶点的面的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【难度】★
【答案】C
【解析】C
【总结】考查长方体的基本认识．
【作业2】如图，在一张长方形纸片ABCD对折后翻开所成的图形中：
（1）与直线DF平行的直线是_____________；
（2）与直线EF平行的直线是_____________；
与直线EF相交的直线是______________；
（3）与直线AE异面的直线是_____________；
与直线BC异面的直线是______________．
【难度】★
【答案】见解析．
【解析】
（1）与直线DF平行的直线是AE；
（2）与直线EF平行的直线是AD、BC，与直线EF相交的直线是AE、BE、DF、CF；
（3）与直线AE异面的直线是BC、FC，与直线BC异面的直线是AE、DF．
【总结】考查立体图形中直线间的位置关系．
【作业3】在长方体中，若两条棱异面，则与这两条棱都相交的棱（）
A．不一定存在B．有且只有一条
C．可能有一条，也可能有两条D．不止两条
【难度】★★
【答案】B
【解析】画图观察即可．
【总结】考查长方体的棱与棱之间的位置关系．
【作业4】补画长方体：
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】如图所示：
【总结】考查长方体的画法．
【作业5】下列图形中，不能围成长方体的是（）
A．B．C．D．
【难度】★★
【答案】B
【解析】B选项两个面重复了，围不成长方体．
【总结】考查长方体的展开图，注意进行分析．
【作业6】如图，桌面上放着一本打开的书，
（1）与桌面
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