上海市六年级数学第二学期同步课程春季班第19讲长方体的再认识教师版.docx

1、上海市六年级数学第二学期同步课程春季班第19讲长方体的再认识教师版上海市六年级数学第二学期同步课程长方体的再认识是初中数学六年级下学期第4章的内容通过本章的学习，同学们需要掌握长方体的表示方法、长方体直观图的画法，理清长方体中棱与棱的位置关系、棱与平面的位置关系、平面与平面的位置关系，并要学会如何检验直线与平面是否垂直、直线与平面是否平行、平面与平面是否垂直、平面与平面是否平行的方法难点是相关的长方体的表面积和体积的计算1、 长方体的元素长方体有六个面，八个顶点，十二条棱2、 长方体的元素特征（1）长方体的每个面都是长方形（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等（3）长方体

2、的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同3、 正方体是特殊的长方体【例1】 填空：（1）长方体有_个顶点；（2）长方体有_个面，每个面都是_，相对的两个面的面积_；（3）长方体共有_条棱，按棱的长短可分为_组，每组棱的长度相等，每组有_条棱【难度】【答案】见解析【解析】（1）8；（2）6；长方形；相等；（3）十二；三；四【总结】考查长方体的相关元素的概念【例2】 判断：（1）若长方体的十二条棱都相等，这个长方体就是正方体；（ ）（2）桌面所在的平面的大小就是桌面的大小；（ ）（3）长方体共有6个面；（ ）（4）长方体的六个面，至少有四个面的形状、大小相同；（ ）（5）平面就是水平面

3、；（ ）（6）水平面是平面（ ）【难度】【答案】见解析【解析】（1）正确；（2）错误：桌面所在的平面是无穷无尽的，但是桌面的面积是固定的；（3）正确；（4）错误，长方体至少有两个面形状大小相同；（5）错误：平面不一定是水平面（6）正确：水平面就是一个平面【总结】考查长方体的元素，注意进行辨析【例3】 在长方体ABCD EFGH中，与棱EF相等的棱是（ ）A棱AB、棱CD、棱GH B棱AB、棱AE、棱BFC棱GH、棱EH、棱FG D棱BC、棱CG、棱GF【难度】【答案】A【解析】画图即可观察出，与一条棱相等的棱共有三条，分别是棱AB、棱CD、棱GH【总结】考查长方体的棱的概念【例4】 用一根长为

4、100厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为5厘米，6厘米和7厘米的长方体架子，应该如何截取？材料够吗？【难度】【答案】够，还剩28cm材料剩余【解析】由题意，若按照棱长分别为5cm、6cm、7cm来做的话，可以做一个长方体架子， 用掉（5+6+7）4=72cm材料，还有28cm材料剩余【总结】考查长方体的总棱长的和的概念【例5】 棱长总和是24厘米的正方体，它的表面积为_，体积为_【难度】【答案】24平方厘米；8立方厘米【解析】由题意可知正方体的棱长为：2412=2cm，故表面积为：226=24平方厘米， 体积为：222=8立方厘米【总结】考查正方体的表面积与体积的计算【例6】 长方体的长、宽、高

5、之比为2 : 1 : 1，棱长总和是80厘米，把这个长方体截成两正方体时，表面积增加了_【难度】【答案】50平方厘米【解析】设长为2x，宽为x，高为x，则有：（2x+x+x）4=80，解得：x=5， 所以长方体的长为：52=10cm；宽为51=5cm；高为51=5cm， 当长方体被截成两个正方体时，即增加了两个面， 则增加的面积为：552=50平方厘米【总结】考查正方体的表面积问题，注意切割后表面积的变化【例7】 要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大的纸？最多需要多大的纸？【难度】【答案】最少107平方厘米，最多127平方厘米【解析】要使得需要的纸最少：即使

6、得无盖的那一面面积最大，此时需要： （35+37）2+57=107平方厘米； 要使得需要的纸最大：即使得无盖的那一面面积最小，此时需要： （37+57）2+35=127平方厘米【总结】考查长方体的表面积的运算，注意对无盖的理解【例8】 一根长为36分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积【难度】【答案】12立方分米或立方分米15或24立方分米【解析】由题意可得，长宽高的和为364=9，由题意有以下三种情况：长、宽、高分别为：1、2、6，此时体积为：12立方分米长、宽、高分别为：1、3、5，此时体积为：15立方分米长

7、、宽、高分别为：2、3、4，此时体积为：24立方分米【总结】考查长方体的体积，注意分类讨论1、 长方体的直观图画法：斜二侧画法水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤： 第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，（如图1所示） 第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高（如图2所示）第三步：顺次联结E、F、G、H（如图3所示）第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示（如图4所示）图4表示的长方体通常表示为ABCD-EFGH它的六个面通常表示为：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等它的

8、十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等【例9】 图中长方体正确表示为（ ） A长方体ABCD B长方体EFGH C长方体AB D长方体ABCD-EFGH【难度】【答案】D【解析】长方体的表示方法必须表示出每一个点，并且按照一定的顺序来表示【总结】考查长方体的表示方法【例10】 要补全一个长方体的直观图，至少需要知道_条棱，这几条棱应该分别是_【难度】【答案】3；长、宽、高【解析】知道长、宽、高，便能画出长方体的直观图【总结】考查长方体的画法【例11】 画一个棱长分别是2厘米、3厘米、4厘米的长方体【难度】【答案】见解析【解析】画平行四边形ABCD，使AB等于4，AD等于长方体宽的二分

9、之一，即1.5， 作（如图1所示）；过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高（如图2）； 顺次联结E、F、G、H，（如图3所示）； 将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示（如图4） 图4即为所求的长方体ABCD-EFGH【总结】考查长方体的斜二测画法，注意对画图语言的准确表示【例12】 画一个棱长总和为36厘米的正方体【难度】【答案】见解析【解析】由题可确定正方体棱长为3612=3cm，根据斜二测画法要求即可【总结】考查长方体的画法【例13】 补画下列各图，使它成为长方体（虚线部分表示被遮住的部分）【难度】【答案】见解析【解析】如下图所示

10、：原图中给的三条线一定分别是长宽高，按照图示补全即可 （1） （2） （3） （4）【总结】考查长方体的画法，注意对所给的棱的准确分析1、 长方体中棱与棱的位置关系如图所示的长方体ABCD-EFGH中： 棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交 棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行 棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面【例14】 在如图所示的长方体中，哪些棱与棱AD平行？哪些棱与AD相交？哪些棱与AD异面？【难度】【答案】见解析【解析】与棱AD平行的棱

11、有：棱BC、棱FG、棱EH；与棱AD相交的棱有：棱AB、棱AE、棱DH、棱DC；与棱AD异面的棱有：棱EF、棱HG、棱BF、棱CG【总结】考查棱与棱的位置关系【例15】 在长方体中，每一条棱与_条棱平行，每一条棱与_条棱相交，每一条棱与_条棱异面，互相平行的棱有_对，互相异面的棱有_对，相交的棱有_对【难度】【答案】3；4；4；18；48；24【解析】每一条棱与3条棱平行；每条棱与4条棱相交；每条棱与4条棱异面； 每组互相平行的4条棱中，同一平面内互相平行的共有4对，异面平行的有2对； 因此共有：（4+2）3=18对棱平行；与每一条棱异面的有4对，那么共有：124=48 对棱互相异面；因为每条

12、棱与4条棱相交，剔除重复的部分，所以相交的棱共有： 4122=24对【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系，这些都是不变的，可以要求学生记住【例16】 如图，在长方体ABCDEFGH中，填写下列各对线段所在直线的位置关系（1）棱AD与AG：_；（2）棱DH与EG：_；（3）EG与BD：_；（4）棱DC与DB：_【难度】【答案】见解析【解析】（1）相交；（2）异面；（3）异面；（4）相交【总结】考查长方体中棱与棱之间的位置关系【例17】 垂直于同一直线的两条直线的位置关系是_【难度】【答案】平行或异面或垂直【解析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行； 若没有强调同一平面，则垂直于同一直

13、线的两直线可能异面，也可能垂直【总结】考查直线的位置关系【例18】 如果两条直线在同一平面上的投影是两条平行线，那么这两条直线的位置关系是_【难度】【答案】见解析【解析】平行或异面，由于是投影，那么原两条直线未必在同一平面内，可能异面，只要满 足投影平行即可，可以让学生自己拿着笔，打开手电筒演示一下【总结】考查两直线的位置关系1、 长方体中棱与平面的位置关系 如图1，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD 如图2，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ / 平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD如图4所示的长方体ABCD-EFGH中

14、： 棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象2、 检验直线与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、“三角尺法”、“合页型折纸”法3、 检验直线与平面是否平行的方法“铅垂线”法、“长方形纸片”法【例19】 教室里的日光灯与地面的位置关系是_，桌腿与桌面的位置关系是_【难度】【答案】见解析【解析】（1）平行；（2）垂直【总结】考查直线与平面的位置关系【例20】 如图，在长方体ABCD-EFGH中： （1）与棱DH垂直的平面是_； （2）与棱BC平行的平面是_； （3）与平面ADHE垂直的

15、棱是_； （4）与平面EFGH平行的棱是_；【难度】【答案】见解析【解析】（1）平面ABCD、平面EFGH；（2）平面EFGH、平面AEHD； （3）棱AB、棱EF、棱HG、棱DC；（4）棱AB、棱BC、棱CD、棱AD【总结】考查直线与平面的位置关系，注意进行辨析 【例21】 铅垂线是垂直于_面的直线，用_法可以检验课桌的边沿是否与地面平行，用_法可以检验细棒是否与地面垂直【难度】【答案】见解析【解析】地、铅垂线、铅垂线【总结】考查直线与平面的位置关系【例22】 如图，用_法可以检验细棒是否与斜面垂直【难度】【答案】三角尺法【解析】三角尺法【总结】考查直线与平面的位置关系【例23】 在长方体中

16、的每一条棱有_个平面和它垂直，每一个面有_条棱与它垂直，每一条棱有_个平面和它平行，每一个面有_条棱与它平行【难度】【答案】见解析【解析】2、4、2、4【总结】考查直线与平面的位置关系【例24】 在长方体ABCD-EFGH中，AB = 3厘米，BF = 5厘米，与棱AB垂直的平面的面积之和是32平方厘米，求这个长方体的表面积【难度】【答案】81.2平方厘米【解析】由题意，与棱AB垂直的平面即为左右两个侧面，面积和为32，则每个侧面面积 为16，因为BF=5cm，可得：BC=3.2cm，所以长方体的表面积为： 2（33.2+35+3.25）=81.2平方厘米【总结】考查直线与平面的位置关系，综合

17、性较强，注意认真分析1、 长方体中平面与平面的位置关系如下左图，平面垂直于平面，记作平面平面，读作平面垂直于平面如上右图，平面平行于平面，记作平面/平面，读作平面平行于平面如图所示的长方体ABCD-EFGH中：面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象 面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象2、 检验平面与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、 “合页型折纸”法、“三角尺”法3、 检验平面与平面是否平行的方法 “长方形纸片”法【例25】 如图，与平面ABFE垂直的平面有_，与平面BCGF平行的平面

18、有_【难度】【答案】见解析【解析】面BCGF、面ADHE、面ABCD、面EFGH； 面ADHE【总结】考查平面与平面的位置关系【例26】 下列结论正确的是（ ）A在长方体中，与其中的一个面垂直的面有2个B在长方体中，与其中的一个面平行的面有4个C长方体有两个相对的面是正方形，那么这个长方体有6条棱的长度相等D长方体相邻的两个面互相垂直，相对的两个面互相平行【难度】【答案】D【解析】A错误，有四个；B错误，有1个；C错误，还有一条高不能确定；D正确【总结】考查平面与平面的位置关系【例27】 如图，与面ADHE垂直的面有_【难度】【答案】见解析【解析】面ABFE、面ABCD、面EFGH、面DCGH

19、【总结】考查直线与平面的位置关系【例28】 可以用_检验教室的墙面与地面是否垂直 可以用_检验衣橱里横向的两块隔板是否平行【难度】【答案】见解析【解析】铅垂线法或合页型折纸法、长方形纸片法【总结】考查直线与平面的位置关系的检测方法【例29】 如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，与平面C垂直的平面是_（用图中的字母表示）【难度】【答案】见解析【解析】与已知面垂直的平面是与之相邻的四个平面：B、D、E、F【总结】考查平面与平面的位置关系【例30】 如图，在长方体ABCD-EFGH中，找出与平面BCHE垂直的平面，并找出现成的合页型折纸，在图上用阴影部分表示【难度】【答案】见解析【解析】由题意

20、可知，与平面BCHE垂直的平面分别是： 平面ABFE、平面DCGH【总结】考查平面与平面的位置关系，注意认真分析，综合性较强【习题1】 正方体的棱长扩大2倍后，体积增大到原来的_倍【难度】【答案】8【解析】正方体的体积等于长宽高，所以棱长扩大两倍后，体积就扩大222=8倍【总结】考查正方体的棱长与体积的关系【习题2】 在图中的长方体中：（1）从正面看，看不见的棱有_；（2）与棱EH相等的棱有_；（3）与平面ADHE相对的平面有_；（4）位于水平位置的平面有_【难度】【答案】见解析【解析】（1）棱：AD、DC、BC、EH、GF、HG、HD、GC；（2）棱：AD、GF、BC； （3）面BCGF；（

21、4）面ABCD、面EFGH【总结】考查长方体的棱与面的位置关系【习题3】 在长方体中，若两条棱没有公共点，则这两条棱的位置关系是_【难度】【答案】平行异面【解析】两条棱没有公共点，则说明这两条棱要么平行，要么异面【总结】考查长方体中棱与棱的位置关系【习题4】 下列说法正确的是（ ）A平静的水面是水平面，所以光滑的镜面也是水平面B长方体中棱与平面不是垂直就是平行C若两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线也平行D长方体中任何一条棱都与两个平面平行【难度】【答案】D【解析】A、光滑的镜面不一定是水平面，与所放的位置有关；B、棱可能正好在这个平面 内；C、这两条直线可能相交，只要它们都在平行于该平

22、面的某个平面内；D正确【总结】考查对长方体的基本位置关系的认识【习题5】 如图所示的六面体中，AEFB和DHGC是相同的直角梯形，其余都是长方形，则：（1）其中有_条棱与平面ADHE垂直；（2）其中有_条棱与平面AEFB垂直；（3）其中有_条棱与平面ABCD垂直；（4）其中有_条棱与平面BFGC垂直【难度】【答案】（1）4；（2）4；（3）2；（4）0【解析】（1）AB、DC、HG、EF，共4条；（2）AD、EH、BC、FG，共4条； （3）AE、DH，共2条；（4）0条【总结】考查立体图形中棱与棱的关系，注意进行辨析【习题6】 一个正方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该

23、正方体A、B、C三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是（ ） A1 B2 C4 D6【难度】【答案】D【解析】第三个图5和3相邻，第二个图1和3相邻，因此4对面是3，1对面是6，5对面 是2，6和3、5相邻，所以问号处是6，故选D【总结】考查对长方体的面的认识【习题7】 长方体的总棱长是72厘米，它的长 : 宽 = 2 : 1，宽 : 高 = 2 : 3，这个长方体的体积是_【难度】【答案】【解析】因为长方体的总棱长为72厘米，故长+宽+高=厘米， 由题意知长：宽：高=4:2:3，设长宽高分别为， 则，所以长、宽、高分别为8、4、6， 所以体积是【总结】考查长方体的体积的计算【习题8】

24、把一块长是50厘米的长方体分成2 : 3两部分后，它的表面积增加了300平方厘米，则分成的两块长方体木块的体积分别为_【难度】【答案】【解析】把一块长是50厘米的长方体分成2 : 3两部分后，长分别为20厘米和30厘米因为切割后表面积增加了300平方厘米，故原厂方体的长宽为：，故分成的两块长方体木块的体积分别为：、【总结】本题综合性较强，一方面考查长方体的体积计算，另一方面要对增加的表面积进行准确理解【习题9】 小方制作了一个无盖的长方体木盒，木盒的棱长分别为3厘米、5厘米和8厘米，求这个木盒的表面积【难度】【答案】见解析【解析】当有盖时，表面积为：，当高是3厘米时，木盒的表面积为：；当高是5

25、厘米时，木盒的表面积为：； 当高是8厘米时，木盒的表面积为：【总结】考查长方体的表面积计算，注意要分类讨论【习题10】 一个长方体的表面积是88平方厘米，这个长方体可以被分割为5个完全相同的正方体，求这个长方体的体积【难度】【答案】【解析】设正方形边长为x厘米，则由题意可得： ， 故这个长方体的体积为：【总结】本题综合性较强，主要考查长方体的表面积与体积的计算，注意认真分析题意【作业1】 长方体中经过同一顶点的面的个数有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个【难度】【答案】C【解析】C【总结】考查长方体的基本认识【作业2】 如图，在一张长方形纸片ABCD对折后翻开所成的图形中：（1）与直线DF

26、平行的直线是_；（2）与直线EF平行的直线是_；与直线EF相交的直线是_；（3）与直线AE异面的直线是_；与直线BC异面的直线是_【难度】【答案】见解析【解析】（1）与直线DF平行的直线是AE； （2）与直线EF平行的直线是AD、BC，与直线EF相交的直线是AE、BE、DF、CF；（3）与直线AE异面的直线是BC、FC，与直线BC异面的直线是AE、DF【总结】考查立体图形中直线间的位置关系【作业3】 在长方体中，若两条棱异面，则与这两条棱都相交的棱（ ）A不一定存在 B有且只有一条C可能有一条，也可能有两条 D不止两条【难度】【答案】B【解析】画图观察即可【总结】考查长方体的棱与棱之间的位置关系【作业4】 补画长方体：【难度】【答案】见解析【解析】如图所示：【总结】考查长方体的画法【作业5】 下列图形中，不能围成长方体的是（ ）A B C D【难度】【答案】B【解析】B选项两个面重复了，围不成长方体【总结】考查长方体的展开图，注意进行分析【作业6】 如图，桌面上放着一本打开的书，（1）与桌面