Mathematica 教程.docx

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Mathematica教程

Mathematica5教程

第1章Mathematica概述

1.1运行和启动：

介绍如何启动Mathematica软件，如何输入并运行命令

1.2表达式的输入：

介绍如何使用表达式

1.3帮助的使用：

如何在mathematica中寻求帮助

第2章Mathematica的基本量

2.1数据类型和常量：

mathematica中的数据类型和基本常量

2.2变量：

变量的定义，变量的替换，变量的清除等

2.3函数：

函数的概念，系统函数，自定义函数的方法

2.4表：

表的创建，表元素的操作，表的应用

2.5表达式：

表达式的操作

2.6常用符号：

经常使用的一些符号的意义

第3章Mathematica的基本运算

3.1多项式运算：

多项的四则运算，多项式的化简等

3.2方程求解：

求解一般方程，条件方程，方程数值解以及方程组的求解

3.3求积求和：

求积与求和

第4章函数作图

4.1二维函数作图：

一般函数的作图，参数方程的绘图

4.2二维图形元素：

点，线等图形元素的使用

4.3图形样式：

图形的样式，对图形进行设置

4.4图形的重绘和组合：

重新显示所绘图形，将多个图形组合在一起

4.5三维图形的绘制：

三维图形的绘制，三维参数方程的图形，三维图形的设置

第5章微积分的基本操作

5.1函数的极限：

如何求函数的极限

5.2导数与微分：

如何求函数的导数，微分

5.3定积分与不定积分：

如何求函数的不定积分和定积分，以及数值积分

5.4多变量函数的微分：

如何求多元函数的偏导数，微分

5.5多变量函数的积分：

如何计算重积分

5.6幂级数：

幂级数的展开及其计算

第6章微分方程的求解

6.1微分方程的解：

微分方程的求解

6.2微分方程的数值解：

如何求微分方程的数值解

第7章Mathematica程序设计

7.1模块：

模块的概念和定义方法

7.2条件结构：

条件结构的使用和定义方法

7.3循环结构：

循环结构的使用

7.4流程控制：

简单介绍控制函数

第8章Mathematica中的常用函数

8.1运算符和一些特殊符号：

常用的和不常用一些运算符号

8.2系统常数：

系统定义的一些常量及其意义

8.3代数运算：

表达式相关的一些运算函数

8.4解方程：

和方程求解有关的一些操作

8.5微积分相关函数：

关于求导，积分，泰勒展开等相关的函数

8.6多项式函数：

多项式的相关函数

8.7随机函数：

能产生随机数的函数函数

8.8数值函数：

和数值处理相关的函数，包括一些常用的数值算法

8.9表相关函数：

创建表，表元素的操作，表的操作函数

8.10绘图函数：

二维绘图，三维绘图，绘图设置，密度图，图元，着色，图形显示等函数

8.11流程控制函数

第1章Mathematica概述

1.1Mathematica的启动和运行

Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型的软件，以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。

假设在Windows环境下已安装好Mathematica5.0，启动Windows后，在“开始”菜单的“程序”中单击

，就启动了Mathematica5.0，在屏幕上显示如图1的Notebook窗口，系统暂时取名Untitled-1，直到用户保存时重新命名为止。

图1

输入1+1，然后按下Shif+Enter键，这时系统开始计算并输出计算结果，并给输入和输出附上次序标识In[1]和Out[1]，注意In[1]是计算后才出现的；再输入第二个表达式，要求系统将一个二项式x5+y5展开，按Shift+Enter输出计算结果后，系统分别将其标识为In[2]和Out[2]，如图2。

图2

在Mathematica的Notebook界面下，可以用这种交互方式完成各种运算，如函数作图，求极限、解方程等，也可以用它编写像C那样的结构化程序。

在Mathematica系统中定义了许多功能强大的函数，我们称之为内建函数（built-infunction）,直接调用这些函数可以取到事半功倍的效果。

这些函数分为两类，一类是数学意义上的函数，如：

绝对值函数Abs[x]，正弦函数Sin[x]，余弦函数Cos[x]，以e为底的对数函数Log[x]，以a为底的对数函数Log[a,x]等；第二类是命令意义上的函数，如作函数图形的函数Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]，解方程函数Solve[eqn,x]，求导函数D[f[x],x]等。

必须注意的是:

Mathematica严格区分大小写，一般地，内建函数的首写字母必须大写，有时一个函数名是由几个单词构成，则每个单词的首写字母也必须大写，如：

求局部极小值函数FindMinimum[f[x],{x,x0}]等。

第二点要注意的是，在Mathematica中，函数名和自变量之间的分隔符是用方括号“[]”，而不是一般数学书上用的圆括号“（）”，初学者很容易犯这类错误。

如果输入了不合语法规则的表达式，系统会显示出错信息，并且不给出计算结果，例如：

要画正弦函数在区间[-10，10]上的图形，输入plot[Sin[x],{x,-10,10}]，则系统提示“可能有拼写错误，新符号‘plot’很像已经存在的符号‘Plot’”，实际上，系统作图命令“Plot”第一个字母必须大写，一般地，系统内建函数首写字母都要大写。

再输入Plot[Sin[x],{x,-10,10}，系统又提示缺少右方括号，并且将不配对的括号用紫色显示，如图3。

图3

一个表达式只有准确无误，方能得出正确结果。

学会看系统出错信息能帮助我们较快找出错误，提高工作效率。

完成各种计算后，点击“文件”“退出”退出，如果文件未存盘，系统提示用户存盘，文件名以“.nb”作为后缀，称为Notebook文件。

以后想使用本次保存的结果时可以通过“文件”“打开”菜单读入，也可以直接双击它，系统自动调用Mathematica将它打开。

1.2表达式的输入

Mathematica提供了多种输入数学表达式的方法。

除了用键盘输入外，还可以使用工具样或者快捷方式健入运算符、矩阵或数学表达式。

1.数学表达式二维格式的输入

Mathematic担提供了两种格式的数学表达式。

形如x/（2+3x）+y*（x-w）的称为一维格式，形如

的称为二维格式。

你可以使用快捷方式输入二维格式，也可用基本输入工具栏输入二维格式。

下面列出了用快捷方式输入二维格式的方法:

数学运算数学表达式按键

分式

xCtrl+/2

n次方xnxCtrl+^n

开2次方

Ctrl+2x

下标x2xCtrl+_2

例如输入数学表达式

，可以按如下顺序输入按键：

（,x,+,1,）,Ctrl+^,+,4，→，Ctrl+/,Ctrl+2,2,x,+,y

另外也可从“文件”菜单中激活“控制面板”“BasicInput”工具栏，也可输入，并且使用工具栏可输入更复杂的数学表达式，如下图4。

图4图5

2.特殊字符的输入

MathemMatica还提供了用以输入各种特殊符号的工具栏。

基本输入工具栏包含了常用的特殊字符（上图），只要单击这些字符按钮即可输入。

若要输入其它的特殊字符或运算符号，必须使用从“文件”菜单中激活“控制面板”“CompleteCharacters”工具栏,如上图5，单击符号后即可输入。

1.3Mathematica的联机帮助系统

用Mathematica的过程中，常常需要了解一个命令的详细用法，或者想知系统中是否有完成某一计算的命令，联机帮助系统永远是最详细、最方便的资料库。

1.获取函数和命令的帮助

在Notebook界面下，用？

或?

?

可向系统查询运算符、函数和命令的定义和用法，获取简单而直接的帮助信息。

例如，向系统查询作图函数Plot命令的用法？

Plot系统将给出调用Plot的格式以及Plot命令的功能（如果用两个问号“?

?

”，则信息会更详细一些）。

?

Plot*给出所有以Plot这四个字母开头的命令。

2.Help菜单

任何时候都可以通过按shift+F1键或点击“帮助”菜单项“帮助浏览”，调出帮助菜单，如图6所示。

图6

其中的各按钮用途如下：

Built-inFunction内建函数，按数值计算、代数计算、图形和编程分类存放

Add-ons&Links程序包附件和链接

TheMathematicaBook一本完整的Mathematica使用手册

GettingStarted初学者入门指南

Demos多种演示

Tour漫游Mathematic

FrontEnd菜单命令的快捷键，二维输入格式等

MasterIndex按字母命令给出命令、函数和选项的索引表

如果要查找Mathematica中具有某个功能的函数，可以通过帮助菜单中的Mahematica使用手册，通过其目录索引可以快速定位到自己要找的帮助信息。

例如：

需要查找Mathematica中有关解方程的命令，单击“TheMathematicaBook”按钮，再单击“Contents”，在目录中找到有关解方程的节次，点击相应的超链接，有关内容的详细说明就马上调出来了。

如果知道具体的函数名，但不知其详细使用说明，可以在命令按钮Goto右边的文本框中键入函数名，按回车键后就显示有关函数的定义、例题和相关联的章节。

例如，要查找函数Plot的用法，只要在文本框中键入Plot，按回车键后显示Plot函数的详细用法和例题的窗口，如图7。

图7

如果已经确知Mathematica中有具有某个功能的函数，但不知具体函数名，可以点击Built-inFunctions按钮，再按功能分类从粗到细一步一步找到具体的函数，例如，要找画一元函数图形的函数，点击Built-inFunctions→GraphicsandSound→2DPlots→Plot，找到Plot的帮助信息（如图7）。

第5章微积分的基本操作

5.1极限

Mathematica计算极限的命令是Limit它的使用方法主要有：

Limit[expr,x->x0]当x趋向于x0时求expr的极限

Limit[expr,x->x0,Direction->1]当x趋向于x0时求expr的左极限

Limit[expr,x->x0,Direction->-1]当x趋向于x0时求expr的右极限

趋向的点可以是常数，也可以是+∞，-∞,∞例如：

1．求

In[1]:

=Limit[Sqrt[x^2+2]/（3x-6）,x->Infinity]

Out[1]=

2．求

In[2]:

=Limit[Sin[x]^2/x^2,x->0]

Out[2]=1

3．求

In[3]:

=Limit[Log[x]/x,x->0,Direction->-1]

Out[3]=-∞

5.2微分

1.函数的微分

在Mathematica中，计算函数的微分或导数是非常方便的，命令为D[f,x],表示对x求函数f的导数或偏导数。

该函数的常用格式有以下几种

D[f,x]计算导数

或

D[f,x1,x2,…]计算多重偏导数

D[f,{x,n}]计算n阶导数

D[f,x,NonConstants->{v1,v2,…}]计算导数

，其中v1,v2…依赖于x

例如：

（1）求函数sinx的导数

In[1]:

=D[Sin[x],x]

Out[1]=Cos[x]

（2）求函数exsinx的2阶导数

In[2]:

=D[Exp[x]*Sin[x],{x,2}]

Out[2]=2exCos[x]

（3）假设a是常数，对sinax求导

In[3]:

=D[Sin[a*x],x]

Out[3]=aCos[ax]

（4）二元函数f（x,y）=x2y+y2求f对x,y的一阶和二阶偏导

In[4]:

=f[x_,y_]=x^2*y+y^2

Out[4]=x2y+y2

In[5]:

=D[f[x,y],x]

Out[5]=2xy

In[6]:

=D[f[x,y],y]

Out[6]=x2+2y

In[7]:

=D[f[x,y],x,y]

Out[7]=2x

In[8]:

=D[f[x,y],{x,2}]

Out[8]=2y

In[9]:

=D[f[x,y],{y,2}]

Out[9]=2

Mathematica可以求函数式未知的函数微分，通常结果使用数学上的表示法。

例如：

In[10]:

=D[x*g[x],x]

Out[10]=g[x]+xg′[x]

In[11]:

=D[x*g[x],{x,4}]

Out[11]=4g（3）[x]+xg（4）[x]

对复合函数求导法则同样可用：

In[12]:

=D[g[h[x]],x]

Out[12]=g′[h[x]]h′[x]

如果要得到函数在某一点的导数值，可以把这点代入导数如：

In[13]:

=D[Exp[x]*Sin[x],x]/.x->2

Out[13]=e2Cos[2]+e2Sin[2]

In[14]:

=N[%]

Out[14]=3.64392