定远县复读学校届高三下学期第一次模拟考试理科数学试题含答案.docx
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定远县复读学校届高三下学期第一次模拟考试理科数学试题含答案
理科数学
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知实数集为R，集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
2.已知复数z满足
是虚数单位
，则z的共轭复数
A.
B.
C.
D.
3.设
，则“
”是“直线
与直线
平行”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知A为抛物线
上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则
A.2B.3C.6D.9
5.已知向量
，
，
，若
，则实数
A.
B.
C.
D.2
6.执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A.2B.
C.
D.
7.正项等比数列
满足
，则
A.
B.4C.
D.8
8.已知定义在R上的奇函数
满足
，且当
时，
，其中a为常数，则
的值为
A.2B.
C.
D.
9.在正方体
中，给出下列四个推断：
平面
平面
平面
平面
其中正确的推断有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，点M，N分别在双曲线C的左、右两支上，点A在x轴上，且M，N，
三点共线，若
，
，则双曲线C的离心率为
A.
B.
C.3D.
11.2019年俄罗斯在全国统一考试
相当于中国高考
中首次把汉语作为选考科目5。
俄罗斯政府公布了汉语考试的样卷，分为听力和笔试，同时给出了评分标准。
俄罗斯某高中共有5000名在校学生，针对这项政策该校随机调查了200位学生，其中选考汉语或英语的学生共有150位，选考英语的学生共有80位，选考汉语且选考英语的学生共有60位，则该校选考汉语的学生人数的估计值为
A.2800B.3000C.3100D.3250
12.将函数
的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，再向右平移
个单位长度，得到函数
的图象．在
中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
，且
，
，则
的面积为
A.4B.6C.8D.10
第II卷（非选择题90分）
二、填空题（共4小题,每小题5分,共20分）
13.设x，y满足约束条件
，则
的最大值为_________．
14.如果两个函数存在零点，分别为
，
，若满足
，则称两个函数互为“n度零点函数”
若
与
互为“2度零点函数”，则实数a的取值范围为_______．
15.若二项式
展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________．
16.湖北省2021年的新高考按照“
”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目
则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理的概率为______．
三、解答题（共6小题,共70分。
需给出必要的演算步骤。
）
17.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三年级学生的视力情况进行调查，从高三年级的全体1000名学生的体检表中随机抽取了100名学生的体检表，将这100名学生的视力数据分成六组：
，
，
，
，
，
，且得到如图所示的不完全频率分布直方图．
学习小组成员发现，学习成绩突出的学生中近视的比较多．为了研究学生的视力与学生的学习成绩的关系，学习小组对年级名次在
名和
名的学生进行调查得到数据如表所示，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过
的前提下有
的把握认为学生的视力与学生的学习成绩有关？
在
被调查的100名学生中，按照年级名次
，
分组用分层抽样方法在不近视的学生中抽取了9人，为进一步调查他们良好的护眼习惯，在这9人中任取4人，记名次在
的学生人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：
k
．
18.（本小题满分12分）在锐角
中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
．
求
的值；
若
，
，求a的值．
19.（本小题满分12分）在四棱锥
中，底面ABCD为矩形，
，平面
平面ABCD，
，
点E在线段PC上
端点除外
，平面ABE交PD于点F．
求证：
四边形ABEF为直角梯形；
若
，求直线PC与平面ABEF所成角的正弦值．
20.（本小题满分12分）如图，已知点F为抛物线C：
的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为
时，
．
求抛物线C的方程．
试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）已知函数
，
．
当
时，若
在
上的最大值为10，求实数b的值；
若对任意
，都有
恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4:
坐标系与参数方程
已知极坐标系中，直线l的极坐标方程为
，以极点为原点，极轴所在直线为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为
为参数
．
求直线l的直角坐标方程以及曲线C的极坐标方程；
过原点且倾斜角为
的直线
与直线l交于点M，与曲线C交于O，N两点，若
，求实数
的最大值．
23.（本小题满分10分）选修4-5:
不等式选讲
已知函数
，
．
解不等式：
；
记
的最小值为M，若实数a，b满足
，试证明：
．
答案
1.C2.A3.D4.C5.C6.C7.B
8.B9.C10.B11.D12.C
13.3
14.
15.15
16.
17.解：
由题意，
，
因为
，
所以在犯错的概率不超过
的前提下有
的把握认为学生的视力与学生的学习成绩有关；
据题意知，9人中年级名次在
名和
名的人数分别为3人和6人，
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
；
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以
．
18.解：
由余弦定理及已知，得
，解得
，
由A为锐角，得
，
由
，得
．
．
又
，，所以
．
由正弦定理，得
，即
．
19.
证明：
，
平面ABEF，
平面ABEF．
平面ABEF
又
平面PCD，平面
平面
又
四边形ABEF为梯形
，平面
平面ABCD，平面
平面
，
平面ABCD
平面PAD
又
平面PAD
四边形ABEF为直角梯形；
在直角三角形PAD中，
，
则
为PD中点，又
，
为PC的中点
因为
，
又由
知
平面PAD，
、AD、AP两两垂直
以A为原点，分别以
，
，
为x轴，y轴，z轴的正方向没建立空间直角坐标系
，
则
0，
，
0，
，
3，
，
0，
，从而
，
0，
，
3，
设平面ABEF的法向量为
b，
则
即
取
，则
1，
设直线PC与平面ABEF所成的角为
，则
，
故直线PC与平面ABEF所成的角正弦值为
．
20.解：
当l的斜率为1时，
，
的方程为
．
由
得
．
设
，
，则
，
，
，
抛物线C的方程为
．
假设满足条件的点P存在，设
，由
知
，
当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为
，
由
得
，
，
，
．
直线PM，PN关于x轴对称，
，
，
．
，
时，此时
．
当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，
易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可．
综上，存在唯一的点
，使直线PM，PN关于x轴对称．
21.解：
当
时，由
，
所以
，
令
，得
或
，
当x变化时，
，
在
的变化情况如下表：
x
1
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
所以
在
上的最大值为
，解得
．
由
对
恒成立，得
对
恒成立，
因为
，
且等号不能同时取得，
所以
，即
，
所以
对
恒成立，即
，
令
，
，
则
，
当
时，
，
，从而
，
所以
在
上为增函数，
所以
，
所以实数a的取值范围为
．
22.解：
依题意，直线l的直角坐标方程为
；
因为曲线C：
故
，
故曲线C的普通方程为
，
则曲线C的极坐标方程为
；
依题意，直线
的极坐标方程为
，
联立
故
，
由
故
，
故
，
所以当
或
时，
有最大值
．
23.解：
．
，
或
或
，
或
或
，
，
不等式的解集为
．
由
知，
，
，
，当且仅当
，
时等号成立，
．
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