届中考数学复习第19课时全等三角形测试.docx

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届中考数学复习第19课时全等三角形测试

第四单元三角形

第十九课时全等三角形

基础达标训练

1.下列说法正确的是（　　）

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形

B.全等三角形是指面积相等的两个三角形

C.两个等边三角形是全等三角形

D.全等三角形是指两个能完全重合的三角形

2.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后，

能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF（　　）

第2题图

A.∠A＝∠D

B.∠ACB＝∠DFE

C.AC＝DF

D.BE＝CF

3.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）

第3题图第4题图

4.（2017眉山）如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（　　）

A.14B.13C.12D.10

5.（2017黔东南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件________使得△ABC≌△DEF.

第5题图　第6题图

6.如图，Rt△ABC≌Rt△DCB，两斜边交于点O，如果AC＝3，那么OD的长为________．

7.（2017达州）△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．

第8题图

8.（2017新疆建设兵团）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：

①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝

AC·BD.正确的是__________．（填写所有正确结论的序号）

9.（6分）（2017云南）如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF.

求证：

∠ABC＝∠DEF.

第9题图

10.（6分）（2017南充）如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证：

AC∥BD.

第10题图

11.（6分）（2017郴州）已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别为边AB、AC的中点．

求证：

BE＝CD.

第11题图

12.（8分）（2017株州模拟）已知△ABN和△ACM位置如图，AB＝AC＝3，BD＝CE＝2，∠B＝∠C.

（1）求证：

∠1＝∠2；

（2）若CM∥AB，求线段CM的长度．

第12题图

13.（8分）（2017苏州）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.

（1）求证：

△AEC≌△BED；

（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数．

第13题图

14.（8分）（2017湘潭）如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.

（1）求证：

△ADE≌△FCE；

（2）若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．

第14题图

15.（8分）（2017广西四市）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.

（1）求证：

AE＝CF；

（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．

第15题图

16.（8分）（2017长沙中考模拟卷一）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别是AC、BC上的两点，AD＝CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F.

（1）求证：

△ABD≌△CAE；

（2）若BP＝6，求PF的长．

第16题图

能力提升训练

1.在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于点F，若BF＝12，则△FBC的面积为（　　）

A.40　　　　B.46　　　C.48　　　D.50

第1题图　第2题图

2.如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法中正确的个数有（　　）

①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB＝80°.

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.（2017哈尔滨）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：

（1）PM＝PN恒成立；

（2）OM＋ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）

A.4B.3C.2D.1

第3题图

4.（9分）（2017重庆B卷）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.

（1）如图①，若AB＝4

，BE＝5，求AE的长；

（2）如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF.当AF＝DF时，求证：

DC＝BC.

第4题图

5.

（9分）已知四边形ABCD中，AB＝AD,AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过点A作AH⊥CD于H，交BE于F.

（1）如图①，当E在CD的延长线上时，求证：

①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；

（2）如图②，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？

请证明你的结论．

第5题图

拓展培优训练

如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝35°，BC＝AI＋AC，则∠BAC的度数为________．

第1题图

答案

1.D　2.D　3.C　

4.C　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△OAE和△OCF中，

，∴△OAE≌△OCF（ASA），∴CF＝AE，OE＝OF，∵OE＝1.5，∴EF＝2OE＝3，∵▱ABCD的周长为18，∴AD＋DC＝9，∴四边形EFCD的周长＝DE＋EF＋CF＋CD＝DE＋AE＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝9＋3＝12.

5.AC＝DF（答案不唯一）　【解析】∵FB＝CE，∴BC＝EF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，由三角形全等的判定定理可知添加的条件为：

AC＝DF（SAS）或∠B＝∠E（ASA）或∠A＝∠D（AAS）．

6.1.5　【解析】如解图，连接AD，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，且AB＝CD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是矩形，∴OD＝

BD＝

AC＝1.5.

第6题解图

7.1＜m＜4　【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD，∴AB＝EC，∴在△AEC中，AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，即1＜m＜4.

第7题解图

8.①④　【解析】在△ABC与△ADC中，

，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC＝∠ADC，故①正确；∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∴AC平分∠BAD和∠BCD，而AB与BC不一定相等，∴BD不一定平分∠ABC和∠ADC，故③错误；又∵AB＝AD，∠BAC＝∠CAD，∴OB＝OD，∴AC，BD互相垂直，但不互相平分，故②错误；∵AC，BD互相垂直，∴四边形ABCD的面积S＝

AC·BO＋

AC·OD＝

AC·BD.故④正确，综上所述，正确的结论是①④.

9.证明：

∵BE＝CF，

∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS）

∴∠ABC＝∠DEF.

10.证明：

∵DE⊥AB，CF⊥AB，

∴∠AFC＝∠BED＝90°，

又∵AE＝BF，

∴AE＋EF＝BF＋EF，

∴AF＝BE，

在△ACF和△BDE中，

，

∴△ACF≌△BDE（SAS），

∴∠A＝∠B，

∴AC∥BD.

11.证明：

∵∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∵点D、E分别为边AB、AC的中点，

∴BD＝

AB，CE＝

AC，

∴BD＝CE，

又∵∠ABC＝∠ACB，BC＝CB，

∴△CBE≌△BCD（SAS），

∴BE＝CD.

12.

（1）证明：

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠1＝∠2；

（2）解：

∵CM∥AB，

∴∠M＝∠1，

又∵∠C＝∠B，

∴△AMC∽△DAB，

∴

＝

，

∴MC＝

＝

.

13.

（1）证明：

∵AE和BD相交于点O，

∴∠AOD＝∠BOE，

在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，

∴∠BEO＝∠2，

又∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠BEO，

∴∠AEC＝∠BED，

在△AEC和△BED中，

，

∴△AEC≌△BED（ASA）；

（2）解：

∵△AEC≌△BED，

∴EC＝ED，∠C＝∠BDE，

∵在△EDC中，EC＝ED，∠1＝42°，

∴∠C＝∠EDC＝69°，

∴∠BDE＝∠C＝69°.

14.

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠CFE，

又∵∠AED＝∠FEC，DE＝CE，

∴△ADE≌△FCE（AAS）；

（2）解：

由

（1）知，△ADE≌△FCE，

∴AD＝FC，

∵在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝2BC，

∴AB＝FB，

∴∠BAF＝∠F＝36°，

∴∠B＝180°－2×36°＝108°.

15.

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，

∴在△ABE与△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF；

（2）解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝OB，

∵∠COD＝60°，

∴∠AOB＝60°，

∴△AOB为等边三角形，

∴AO＝AB＝6，

∴AC＝12，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得

BC＝

＝6

，

∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×6

＝36

.

16.

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠C，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS）；

（2）解：

∵△ABD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠CAE，

∴∠APD＝∠ABP＋∠PAB＝∠BAC＝60°，

∴∠BPF＝∠APD＝60°，

∴在Rt△BFP中，∠PBF＝30°，

∴PF＝

BP＝

×6＝3.

能力提升训练

1.C　【解析】∵CE⊥BD，∴∠BEF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAF＝90°，∴∠FAC＝∠BAD＝90°，∠ABD＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，∵在△ABD和△ACF中，

，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴AD＝AF，∵AB＝AC，D为AC中点，∴AB＝AC＝2AD＝2AF，∵BF＝AB＋AF＝12，∴3AF＝12，∴AF＝4，∴AB＝AC＝2AF＝8，∴△FBC的面积＝

×BF×AC＝

×12×8＝48.

2.C　【解析】∵△DAC、△ECB都是等边三角形，∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ADC＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD，∵∠DCE＝60°，∴AD∥CE，∴∠DAP＝∠PEC，故③正确；在△ACE与△DCB中，

，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠CAE＝∠CDB，又∵∠PMD＝∠AMC，∴∠DPM＝∠ACM＝60°，故②正确；在△ACM与△DCN中，

，∴△ACM≌△DCN（ASA），故④正确；∴CM＝CN，∴△CMN是等边三角形，∴∠CMN＝60°，∴∠CMN＝∠ACD，∴MN∥AB，故①正确；∵∠DBE＝30°，∠BPE＝∠APD＝60°，∴∠AEB＝90°，故⑤错误．综上所述，正确的个数是①②③④，共4个．

第3题解图

3.B　【解析】如解图，过点P分别作OA、OB的垂线PC、PD，根据角平分线的性质可得PC＝PD，∵OP为定值，∴OC＝OD，∵∠AOB为定角，∠MPN与∠AOB互补，∴∠MPN也为定角，∵∠CPD与∠AOB也互补，∴∠MPN＝∠CPD，∴∠MPC＝∠NPD，∴△MPC≌△NPD，∴CM＝DN，MP＝NP，故

（1）正确；∵OM＋ON＝OC＋CM＋OD－DN，∴OM＋ON＝OC＋OD，∵OC＝OD为定长，∴OM＋ON为定长，故

（2）正确；∵△MPC≌△NPD，∴S四边形MONP＝S△CMP＋S四边形CONP＝S△NPD＋S四边形CONP＝S四边形CODP，∴四边形MONP面积为定值，故（3）正确；∵Rt△MPC中，MP为斜边，CP为直角边，∴可设MP＝k·CP，∴PN＝k·DP，∵∠MPN＝∠CPD，∴△MPN∽△CPD，其相似比为k，∴MN＝k·CD，当点M与点C重合，点N和点D重合时，MN＝CD，当点M与点C不重合，点N与点D不重合时，MN≠CD，∴MN的长度在发生变化，故（4）错误．

4.

（1）解：

在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∴AC＝BC＝AB·sin45°＝4，

∴在Rt△BCE中，CE＝

＝3，

∴AE＝AC－CE＝4－3＝1；

（2）证明：

如解图，过C点作CM⊥CF交BD于点M，

第4题解图

∴∠FCM＝90°，

∴∠FCA＝∠MCB，

∵AF⊥BD，

∴∠AFB＝90°，

∴∠AFE＝∠ACB，

∵∠AEF＝∠BEC，

∴∠CAF＝∠CBM，

在△ACF和△BCM中，

，

∴△ACF≌△BCM（ASA），

∴FC＝MC，

又∵∠FCM＝90°，

∴∠CFM＝∠CMF＝45°，

∴∠AFC＝∠AFB＋∠CFM＝90°＋45°＝135°，

∠DFC＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°，

∴∠AFC＝∠DFC，

在△ACF和△DCF中，

，

∴△ACF≌△DCF（SAS），

∴AC＝DC，

∵AC＝BC，

∴DC＝BC.

5.解：

（1）证明：

①∵AB⊥AD，AE⊥AC，

∴∠BAD＝∠CAE＝90°，

∴∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD，

即∠BAC＝∠DAE，

又∵AB＝AD，AC＝AE，

∴△ABC≌△ADE（SAS）；

②由①知△ABC≌△ADE，AE＝AC，∠ACB＝∠AED，

∵AH⊥CD，

∴∠AED＝∠ACD＝45°，CH＝HE，

∴∠ACB＝∠AED＝45°，

∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，

∴AH∥BC，

∴点F是BE的中点，即BF＝EF；

第5题解图

（2）成立．证明如下：

如解图，过点B作BG∥AE，交AH于点G，

∵AE∥BG，

∴∠AGB＝∠GAE，

∵∠ACH＋∠CAH＝90°，∠GAE＋∠CAH＝90°，

∴∠ACH＝∠GAE，

∴∠AGB＝∠ACD，

∵∠BAG＋∠DAH＝90°，∠ADC＋∠DAH＝90°，

∴∠BAG＝∠ADC，

又∵AB＝AD，

∴△ABG≌△DAC（AAS），

∴BG＝AC，

∵AC＝AE，

∴BG＝AE，

∵BG∥AE，

∴∠AEF＝∠GBF，

∴△BFG≌△EFA（AAS），

∴BF＝EF.

拓展培优训练

1.70°　【解析】如解图①，在BC上取CD＝AC，连接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI＝∠BCI，在△ACI与△DCI中，

，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI＝DI，∠CAI＝∠CDI，∵BC＝AI＋AC，∴BD＝AI，∴BD＝DI，∴∠IBD＝∠BID，∴∠CDI＝∠IBD＋∠BID＝2∠IBD，又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠IBD，∠BAC＝2∠CAI，∴∠CDI＝∠ABC，∴∠BAC＝2∠CAI＝2∠CDI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝35°×2＝70°.

【一题多解】如解图②，延长CA到D，使AD＝AI，∴∠D＝∠AID，∵BC＝AI＋AC，∴BC＝CD，在△BCI与△DCI中，

，∴△BCI≌△DCI（SAS），∴∠D＝∠CBI，∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBI，又∵∠CAI＝∠D＋∠AID＝2∠D，∠BAC＝2∠CAI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝2×35°＝70°.