人教版初中数学中考经典好题难题.docx

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人教版初中数学中考经典好题难题

数学难题

一．填空题（共2小题）

1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=

，BC=

．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1=　_________　，BOn=　_________　．

2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线Cn（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为　_________　；抛物线C8的顶点坐标为　_________　．

二．解答题（共28小题）

3．已知：

关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0（k≥1）．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．

4．已知：

关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0．

（1）求证：

方程总有实数根；

（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？

5．在平面直角坐标系中，将直线l：

沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线C1：

沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式；

（3）在

（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m的解析式．

6．已知：

关于x的一元二次方程﹣x2+（m+4）x﹣4m=0，其中0＜m＜4．

（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；

（2）设抛物线y=﹣x2+（m+4）x﹣4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，﹣2），且AD•BD=10，求抛物线的解析式；

（3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在

（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？

如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

7．点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．

（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；

（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；

（3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m时，求m的值．

8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根，且c为正整数．

（1）求c的值；

（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；

（3）将

（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与

（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．

9．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：

FD2=FB•FC．

10．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．

求证：

（1）∠EAD=∠EDA．

（2）DF∥AC．

（3）∠EAC=∠B．

11．已知：

关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）在

（1）的条件下，求证：

无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；

（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

12．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=　_________　；

（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；

（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？

若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．

13．已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+（m﹣3）=0，其中m＞0．

（1）求证：

方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若

，求y与m的函数关系式；

（3）在

（2）的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式y≤﹣m成立的m的取值范围．

14．已知：

关于x的一元二次方程x2+（n﹣2m）x+m2﹣mn=0①

（1）求证：

方程①有两个实数根；

（2）若m﹣n﹣1=0，求证：

方程①有一个实数根为1；

（3）在

（2）的条件下，设方程①的另一个根为a．当x=2时，关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a（n﹣2m）x+m2﹣mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D．当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．

15．如图，已知抛物线y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的顶点A在双曲线y=

上，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．

（1）确定直线AB的解析式；

（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；

（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．

16．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF．

（1）证明BF是⊙O的切线；

（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．

17．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．

（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=　_________　；

（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是　_________　．

小亮和小明对第

（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：

将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：

“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：

“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．

18．已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4=0．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；

（3）设抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M，求m的值．

19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=

．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=　_________　；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：

BE﹣DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

20．我们给出如下定义：

如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：

如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．

（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：

画出必要的辅助线）；

（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：

①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是　_________　；

②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是　_________　．

21．已知：

关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2﹣bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

（2）求代数式

的值；

（3）求证：

关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c=0②必有两个不相等的实数根．

22．已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D．

（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；

（3）在

（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P（x，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

23．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求：

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的最值；

（3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标．

24．根据所给的图形解答下列问题：

（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，把△ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；

（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，请你设计一种与

（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；

（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论．

25．例．如图①，平面直角坐标系xOy中有点B（2，3）和C（5，4），求△OBC的面积．

解：

过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．依题意，可得

S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD﹣S△OCE

=

=

×（3+4）×（5﹣2）+

×2×3﹣

×5×4=3.5．

∴△OBC的面