初一复习.docx
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初一复习
各知识点分类讲解
知识点一:
方程的有关概念
(1)概念总结
1.方程:
含有未知数的等式就叫做方程.
注意未知数的理解,
等,都可以作为未知数
2.一元一次方程:
只含有一个未知数(元),并且未知数的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程。
⑴方程:
含有未知数的
叫做方程;
使方程左右两边值相等的,叫做方程的解;
求方程解的叫做解方程.
注意:
重点区分:
方程的解与解方程.
注:
⑴方程的解和解方程是两个不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。
⑵方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论。
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用:
时,方程有唯一解
;
时,方程有无穷解;
时,方程无解。
⑵一元一次方程:
在整式方程中,只含有个未知数,并且未知数的次数是,系数不等于0的方程叫做一元一次方程;它的一般形式为
.
3.判断一元一次方程的条件
1.首先是一元一次方程。
2.其次是必须只含有一个未知数
3.未知数的指数是1
4.分母中不含有未知数
例2、如果(m-1)x|m|+5=0是一元一次方程,那么m=___.
知识点二:
解方程
特别须注意:
分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数,如方程:
将其化为:
。
方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开。
典型例题
例2、下列说法正确的是( )
A、在等式ab=ac中,两边都除以a,可得b=cB、在等式a=b两边都除以c2+1可得
C、在等式
两边都除以a,可得b=cD、在等式2x=2a一b两边都除以2,可得x=a一b
3.解一元一次方程的一般步骤
常用步骤
具体做法
依据
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式基本性质2
防止漏乘(尤其整数项),注意添括号;
去括号
一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号
去括号法则、分配律
注意变号,防止漏乘;
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
等式基本性质1
移项要变号,不移不变号;
合并同类项
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
合并同类项法则
计算要仔细,不要出差错;
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=
等式基本性质2
计算要仔细,分子分母勿颠倒
典型例题
例1.巧解含有绝对值的方程|x-2|-3=0
思路点拨:
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号,转化为一般的一元一次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程,依据绝对值的意义,直接去绝对值符号,化为两个一元一次方程分别解之,即若|x|=m,则x=m或x=-m;也可以根据绝对值的几何意义进行去括号,如解法二。
解法一:
移项,得|x-2|=3
当x-2≥0时,原方程可化为x-2=3,解得x=5
当x-2<0时,原方程可化为-(x-2)=3,解得x=-1。
所以方程|x-2|-3=0的解有两个:
x=5或x=-1。
解法二:
移项,得|x-2|=3。
因为绝对值等于3的数有两个:
3和-3,所以x-2=3或x-2=-3。
分别解这两个一元一次方程,得解为x=5或x=-1。
例2.运用拆项法解方程:
思路点拨:
注意到
,在解有分母的一元一次方程时,可以不直接去分母,而是逆用分数加减法法则,拆项后再合并,有时可以使运算简便。
解:
原方程逆用分数加减法法则,得
移项、合并同类项,得
。
系数化为1,得
例3.利用整体思想解方程:
思路点拨:
因为含有
的项均在“
”中,所以我们可以将
作为一个整体,先求出整体的值,进而再求
的值。
解:
移项通分,得:
化简,得:
移项,系数化1得:
5、k取什么整数时,方程2kx-4=(k+2)·x的解是正整数?
6、小张在解方程
(x为未知数)时,误将-2x看成2x得到的解为
,
请你求出原来方程的解
知识点三:
列一元一次方程解应用题
一、列一元一次方程解应用题的一般步骤
(1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系.
(2)设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数.
(3)列方程,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程.
(4)解方程.
(5)检验,看方程的解是否符合题意.
(6)写出答案.
二、解应用题的书写格式:
设→根据题意→解这个方程→答。
3.行程问题:
路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间
(1)相遇问题:
快行距+慢行距=原距
(2)追及问题:
快行距-慢行距=原距
(3)航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.
例1甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
解:
设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480
解:
设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140+90)x+480=600
解:
设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=600
解:
设x小时后快车追上慢车。
由题意得,140x=90x+480
解:
设快车开出x小时后追上慢车。
由题意得,140x=90(x+1)+480
例3:
已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值.
13.已知方程2ax=(a+1)x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数.
15.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:
(1)正数解;
(2)负数解;(3)不大于1的解.
2.已知关于x的方程a(2x-1)=4x+3b,当a、b为何值时:
(1)方程有唯一解?
(2)方程有无数解?
(3)方程没有解?
3.
(1)关于x的方程4k(x+2)-1=2x无解,求k的值;
(2)关于x的方程kx-k=2x-5的解为正数,求k的取值范围.
3、某工厂计划26小时生产一批零件,后因每小时多生产5件,用24小时,不但完成了任务,而
且还比原计划多生产了60件,问原计划生产多少零件?
解:
,X=780
1、某蔬菜公司的一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元,当地一家公司收购这种蔬菜140吨,该公司的加工生产能力是:
如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨,如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行,受季度等条件限制,公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种可行方案:
方案一:
将蔬菜全部进行粗加工.
方案二:
尽可能多地对蔬菜进行精加工,没来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售.
方案三:
将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好15天完成.
你认为哪种方案获利最多?
为什么?
解:
方案一:
因为每天粗加工16吨,140吨可以在15天内加工完,总利润W1=4500×140=630000(元)
方案二:
15天可以加工6×15=90吨,说明还有50吨需要在市场直接销售,
总利润W2=7500×90+1000×50=725000(元);
方案三:
现将x吨进行精加工,将(140-x)吨进行粗加工,
,解得x=60.
总利润W3=7500×60+4500×80=810000(元)
几何图形初步
5、有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形。
这样的平面图形称为立体图形的展开图。
如正方体的展开图有如下几种情况:
中间四个面,上下各一面:
中间三个面,一二隔河见:
中间两个面,楼梯天天见:
中间没有面,两两连成线:
找相对面的法则:
一棱剪两边,顶点开三边。
中间隔一面,无公共边点。
4.如图是一个正方体的平面展开图,标注了A字母的是正方体的正面,如果正方体的左面与右面标注的式子相等.
⑴求x的值.
⑵求正方体的上面和底面的数字和.
6、点、线、面、体。
点:
线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:
面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:
包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:
几何体也简称体。
点动成线,线动成面,面动成体。
2.计算题:
⑴(180°-91°32/24//)÷3⑵34°25/×3+35°42/
【例1】如图,已知线段AB和CD的公共部分
线段AB,CD的中点E、F的距离是12cm,求AB,CD的长。
【例1】
如图所示,AB为一条直线,OC是∠AOD的平分线,OE在∠BOD内,∠DOE=
∠BOD,∠COE=72°,求∠EOB的度数。
【例1】已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1,3,点P为数轴上一动点,其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等,求点P对应的数;
⑵数轴上是否存在点P,使点P到点A、点B的距离之和为5?
若存在,请求出x的值。
若不存在,请说明理由?
⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度向左运动,点B一每分钟20个单位长度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P点到点A、点B的距离相等?
相交线与平行线
已知:
如图
(2),AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,
∠B-∠D=24°,求∠GEF的度数。
解:
∵AB∥EF∥CD
∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D(两直线平行,内错角相等)
∵∠B+∠BED+∠D=192°(已知)
即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°
∴2(∠B+∠D)=192°(等量代换)
则∠B+∠D=96°(等式性质)
∵∠B-∠D=24°(已知)图
(2)
∴∠B=60°(等式性质)
即∠BEF=60°(等量代换)
∵EG平分∠BEF(已知)
∴∠GEF=
∠BEF=30°(角平分线定义)
14.已知:
如图,AB∥CD,求证:
∠B+∠D+∠F=∠E+∠G
坐标系
4、各个象限内点的特征:
第一象限:
(+,+)点P(x,y),则x>0,y>0;
第二象限:
(-,+)点P(x,y),则x<0,y>0;
第三象限:
(-,-)点P(x,y),则x<0,y<0;
第四象限:
(+,-)点P(x,y),则x>0,y<0;
5、坐标轴上点的坐标特征:
x轴上的点,纵坐标为零;y轴上的点,横坐标为零;原点的坐标为(0,0)。
两坐标轴的点不属于任何象限。
6、点的对称特征:
已知点P(m,n),
关于x轴的对称点坐标是(m,-n),横坐标相同,纵坐标反号
关于y轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同,横坐标反号
关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横,纵坐标都反号
7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:
平行于x轴的直线上的任意两点:
纵坐标相等;
平行于y轴的直线上的任意两点:
横坐标相等。
8、各象限角平分线上的点的坐标特征:
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b,a)
第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a)
9、点P(x,y)的几何意义:
点P(x,y)到x轴的距离为|y|,点P(x,y)到y轴的距离为|x|。
10、点的平移特征:
在平面直角坐标系中,
将点(x,y)向右平移a个单位长度,可以得到对应点(x-a,y);
将点(x,y)向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y);
将点(x,y)向上平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b);
将点(x,y)向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y-b)。
注意:
对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。
5.对任意实数
,点
一定不在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
12.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),现同时将点A,B分别向上平移2个单位,再向右平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积
(2)在y轴上是否存在一点P,连接PA,PB,使
=
,
若存在这样一点,求出点P的坐标,若不存在,试说明理由.
(3)点P是线段BD上的一个动点,连接PC,PO,当点P在BD上移动时(不与B,D重合)给出下列结论:
的值不变,
的值不变,其中有且只有一个是正确的,请你找出这个结论并求其值.