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初一复习

各知识点分类讲解

知识点一：

方程的有关概念

（1）概念总结

1.方程：

含有未知数的等式就叫做方程.

注意未知数的理解，

等，都可以作为未知数

2．一元一次方程：

只含有一个未知数（元），并且未知数的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。

⑴方程：

含有未知数的

叫做方程；

使方程左右两边值相等的，叫做方程的解；

求方程解的叫做解方程.

注意:

重点区分:

方程的解与解方程.

注：

⑴方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。

⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。

理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

时，方程有唯一解

；

时，方程有无穷解；

时，方程无解。

⑵一元一次方程：

在整式方程中，只含有个未知数，并且未知数的次数是，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为

.

3.判断一元一次方程的条件

1.首先是一元一次方程。

2.其次是必须只含有一个未知数

3.未知数的指数是1

4.分母中不含有未知数

例2、如果（m-1）x|m|+5=0是一元一次方程，那么m＝＿＿＿．

知识点二：

解方程

特别须注意：

分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：

将其化为：

。

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

典型例题

例2、下列说法正确的是（　　）

　　A、在等式ab=ac中，两边都除以a，可得b=cB、在等式a=b两边都除以c2+1可得

　　C、在等式

两边都除以a，可得b=cD、在等式2x=2a一b两边都除以2，可得x=a一b

3.解一元一次方程的一般步骤

常用步骤

具体做法

依据

注意事项

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

等式基本性质2

防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；

去括号

一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号

去括号法则、分配律　

注意变号，防止漏乘；

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）

等式基本性质1

移项要变号，不移不变号；

合并同类项

把方程化成ax＝b（a≠0）的形式

合并同类项法则

计算要仔细，不要出差错；

系数化成1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝

等式基本性质2

计算要仔细，分子分母勿颠倒

典型例题

例1.巧解含有绝对值的方程|x－2|－3＝0

　思路点拨：

解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。

对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。

　　解法一：

移项，得|x－2|＝3

　　当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5

　　当x－2＜0时，原方程可化为－（x－2）＝3，解得x＝－1。

　　　　　　所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：

x＝5或x＝－1。

　　解法二：

移项，得|x－2|＝3。

　　　　　　因为绝对值等于3的数有两个：

3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。

　　　　　　分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。

例2.运用拆项法解方程：

　　思路点拨：

注意到

，在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。

　　解：

原方程逆用分数加减法法则，得

移项、合并同类项，得

。

　　　　系数化为1，得

例3.利用整体思想解方程：

　　思路点拨：

因为含有

的项均在“

”中，所以我们可以将

作为一个整体，先求出整体的值，进而再求

的值。

　　解：

移项通分，得：

　　　　化简，得：

　　　　移项，系数化1得：

5、k取什么整数时，方程2kx-4=（k+2）·x的解是正整数？

6、小张在解方程

（x为未知数）时，误将-2x看成2x得到的解为

，

请你求出原来方程的解

知识点三：

列一元一次方程解应用题

一、列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

　　（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

　　（4）解方程．

　　（5）检验，看方程的解是否符合题意．

　　（6）写出答案．

二、解应用题的书写格式：

　　设→根据题意→解这个方程→答。

3.行程问题：

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（1）相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：

快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．

例1甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？

　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

解：

设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90（x+1）=480

解：

设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140+90）x+480=600

解：

设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x+480=600

解：

设x小时后快车追上慢车。

由题意得，140x=90x+480

解：

设快车开出x小时后追上慢车。

由题意得，140x=90（x+1）+480

例3：

已知关于x的方程a（2x-1）=3x-2无解，试求a的值．

13.已知方程2ax=（a＋1）x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数.

15．当k取何值时，关于x的方程3（x+1）=5-kx，分别有：

（1）正数解；

（2）负数解；（3）不大于1的解．

2.已知关于x的方程a（2x－1）=4x+3b,当a、b为何值时:

（1）方程有唯一解?

（2）方程有无数解?

（3）方程没有解?

3.

（1）关于x的方程4k（x+2）－1=2x无解,求k的值;

（2）关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.

3、某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而

且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？

解：

，X=780

1、某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：

如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：

将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：

尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：

将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？

为什么？

解：

方案一：

因为每天粗加工16吨，140吨可以在15天内加工完，总利润W1=4500×140=630000（元）

方案二：

15天可以加工6×15=90吨，说明还有50吨需要在市场直接销售，

总利润W2=7500×90+1000×50=725000（元）；

方案三：

现将x吨进行精加工，将（140-x）吨进行粗加工，

，解得x=60.

总利润W3=7500×60+4500×80=810000（元）

几何图形初步

5、有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。

这样的平面图形称为立体图形的展开图。

如正方体的展开图有如下几种情况：

中间四个面，上下各一面:

中间三个面，一二隔河见:

中间两个面，楼梯天天见:

中间没有面，两两连成线:

找相对面的法则：

一棱剪两边，顶点开三边。

中间隔一面，无公共边点。

4.如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等.

⑴求x的值.

⑵求正方体的上面和底面的数字和.

6、点、线、面、体。

点：

线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：

面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：

包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：

几何体也简称体。

点动成线，线动成面，面动成体。

2.计算题：

⑴（180°－91°32/24//）÷3⑵34°25/×3＋35°42/

【例1】如图，已知线段AB和CD的公共部分

线段AB，CD的中点E、F的距离是12cm，求AB，CD的长。

【例1】

如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=

∠BOD，∠COE=72°，求∠EOB的度数。

【例1】已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？

若存在，请求出x的值。

若不存在，请说明理由？

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？

相交线与平行线

已知：

如图

（2），AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，

∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。

解：

∵AB∥EF∥CD

∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等）

∵∠B+∠BED+∠D=192°（已知）

即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°

∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换）

则∠B+∠D=96°（等式性质）

∵∠B-∠D=24°（已知）图

（2）

∴∠B=60°（等式性质）

即∠BEF=60°（等量代换）

∵EG平分∠BEF（已知）

∴∠GEF=

∠BEF=30°（角平分线定义）

14．已知：

如图，AB∥CD，求证：

∠B+∠D+∠F=∠E+∠G

坐标系

4、各个象限内点的特征:

第一象限：

（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；

第二象限：

（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；

第三象限：

（-，-）点P（x,y），则x＜0,y＜0；

第四象限：

（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；

5、坐标轴上点的坐标特征：

x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0,0）。

两坐标轴的点不属于任何象限。

6、点的对称特征：

已知点P（m,n）,

关于x轴的对称点坐标是（m,-n）,横坐标相同，纵坐标反号

关于y轴的对称点坐标是（-m,n）纵坐标相同，横坐标反号

关于原点的对称点坐标是（-m,-n）横，纵坐标都反号

7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

平行于x轴的直线上的任意两点：

纵坐标相等；

平行于y轴的直线上的任意两点：

横坐标相等。

8、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

点P（a,b）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是（b,a）

第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

点P（a,b）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是（-b,-a）

9、点P（x,y）的几何意义：

点P（x,y）到x轴的距离为|y|，点P（x,y）到y轴的距离为|x|。

10、点的平移特征：

在平面直角坐标系中，

将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；

将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）；

将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；

将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：

对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

5．对任意实数

，点

一定不在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积

（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使

＝

，

若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．

（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：

的值不变，

的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．