第十二章 相关与回归讲解.docx
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第十二章相关与回归讲解
第十二章相关与回归分析
第一节变量之间的相关关系
相关程度与方向·因果关系与对称关系
第二节定类变量的相关
双变量交互分类（列联表）·削减误差比例（PRE）·λ系数与τ系数
第三节定序变量的相关分析
同序对、异序对和同分对·Gamma系数·肯德尔等级相关系数（τa系数、τb与τc系数）·萨默斯系数（d系数）·斯皮尔曼等级相关（ρ相关）·肯德尔和谐系数
第四节定距变量的相关分析
相关表和相关图·积差系数的导出和计算·积差系数的性质
第五节回归分析
线性回归·积差系数的PRE性质·相关指数R
第六节曲线相关与回归
可线性化的非线性函数·实例分析（二次曲线指数曲线）
一、填空
1．对于表现为因果关系的相关关系来说，自变量一般都是确定性变量，依变量则一般是（随机性）变量。
2．变量间的相关程度，可以用不知Y与X有关系时预测Y的全部误差E1，减去知道Y与X有关系时预测Y的联系误差E2，再将其化为比例来度量，这就是（削减误差比例）。
3．依据数理统计原理，在样本容量较大的情况下，可以作出以下两个假定：
（1）实际观察值Y围绕每个估计值
是服从（）；
（2）分布中围绕每个可能的
值的（）是相同的。
4．在数量上表现为现象依存关系的两个变量，通常称为自变量和因变量。
自变量是作为（变化根据）的变量，因变量是随（自变量）的变化而发生相应变化的变量。
5．根据资料，分析现象之间是否存在相关关系，其表现形式或类型如何，并对具有相关关系的现象之间数量变化的议案关系进行测定，即建立一个相关的数学表达式，称为（回归方程），并据以进行估计和预测。
这种分析方法，通常又称为（回归分析）。
6．积差系数r是（协方差）与X和Y的标准差的乘积之比。
二、单项选择
1．当x按一定数额增加时，y也近似地按一定数额随之增加，那么可以说x与y之间
存在（A）关系。
A直线正相关B直线负相关C曲线正相关D曲线负相关
2．评价直线相关关系的密切程度，当r在0.5～0.8之间时，表示（C）。
A无相关B低度相关C中等相关D高度相关
3．相关分析和回归分析相辅相成，又各有特点，下面正确的描述有（D）。
A在相关分析中，相关的两变量都不是随机的；
B在回归分析中，自变量是随机的，因变量不是随机的；
C在回归分析中，因变量和自变量都是随机的；
D在相关分析中，相关的两变量都是随机的。
4．关于相关系数，下面不正确的描述是（B）。
A当0
1时，表示两变量不完全相关；
B当r=0时，表示两变量间无相关；
C两变量之间的相关关系是单相关；
D如果自变量增长引起因变量的相应增长，就形成正相关关系。
5．欲以图形显示两变量X和Y的关系，最好创建（D）。
A直方图B圆形图C柱形图D散点图
6．两变量X和Y的相关系数为0.8，则其回归直线的判定系数为（C）。
A0.50B0.80C0.64D0.90
7．在完成了构造与评价一个回归模型后，我们可以（D）。
A估计未来所需样本的容量
B计算相关系数和判定系数
C以给定的因变量的值估计自变量的值
D以给定的自变量的值估计因变量的值
8．两变量的线性相关系数为0，表明两变量之间（D）。
A完全相关B无关系C不完全相关D不存在线性相关
9．身高和体重之间的关系是（C）。
A函数关系B无关系C共变关系D严格的依存关系
10．在相关分析中，对两个变量的要求是（A）。
A都是随机变量B都不是随机变量
C其中一个是随机变量，一个是常数D都是常数
11．在回归分析中，两个变量（D）。
A都是随机变量B都不是随机变量
C自变量是随机变量D因变量是随机变量
12．一元线性回归模型和多元线性回归模型的区别在于只有一个（B）。
A因变量B自变量C相关系数D判定系数
13．以下指标恒为正的是（D）。
A相关系数rB截距aC斜率bD复相关系数
14．下列关系中，属于正相关关系得是（A）。
A身高与体重B产品与单位成本
C正常商品的价格和需求量D商品的零售额和流通费率
三、多项选择
1．关于积差系数，下面正确的说法是（ABCD）。
A积差系数是线性相关系数
B积差系数具有PRE性质
C在积差系数的计算公式中，变量X和Y是对等关系
D在积差系数的计算公式中，变量X和Y都是随机的
2．关于皮尔逊相关系数，下面正确的说法是（）。
A皮尔逊相关系数是线性相关系数
B积差系数能够解释两变量间的因果关系
Cr公式中的两个变量都是随机的
Dr的取值在1和0之间
E皮尔逊相关系数具有PRE性质，但这要通过r2加以反映
3．简单线性回归分析的特点是（ABE）。
A两个变量之间不是对等关系
B回归系数有正负号
C两个变量都是随机的
D利用一个回归方程，两个变量可以互相推算
E有可能求出两个回归方程
4．反映某一线性回归方程y=a+bx好坏的指标有（ABD）。
A相关系数B判定系数
Cb的大小D估计标准误Ea的大小
5．模拟回归方程进行分析适用于（ACDE）。
A变量之间存在一定程度的相关系数
B不存在任何关系的几个变量之间
C变量之间存在线性相关
D变量之间存在曲线相关
E时间序列变量和时间之间
6．判定系数r2=80%和含义如下（ABC）。
A自变量和因变量之间的相关关系的密切程度
B因变量y的总变化中有80%可以由回归直线来解释和说明
C总偏差中有80%可以由回归偏差来解释
D相关系数一定为0.64
E判定系数和相关系数无关
7．回归分析和相关分析的关系是（ABE）。
A回归分析可用于估计和预测
B相关分析是研究变量之间的相互依存关系的密切程度
C回归分析中自变量和因变量可以互相推导并进行预测
D相关分析需区分自变量和因变量
E相关分析是回归分析的基础
8．以下指标恒为正的是（BC）。
A相关系数B判定系数C复相关系数
D偏相关系数E回归方程的斜率
9．一元线性回归分析中的回归系数b可以表示为（BC）
A两个变量之间相关关系的密切程度
B两个变量之间相关关系的方向
C当自变量增减一个单位时，因变量平均增减的量
D当因变量增减一个单位时，自变量平均增减的量
E回归模型的拟合优度
10．关于回归系数b，下面正确的说法是（）。
Ab也可以反映X和Y之间的关系强度。
；
B回归系数不解释两变量间的因果关系；
Cb公式中的两个变量都是随机的；
Db的取值在1和-1之间；
Eb也有正负之分。
四、名词解释
1．消减误差比例
变量间的相关程度，可以用不知Y与X有关系时预测Y的误差
，减去知道Y与X有关系时预测Y的误差
，再将其化为比例来度量。
将削减误差比例记为PRE。
2．确定性关系
当一个变量值确定后，另一个变量值夜完全确定了。
确定性关系往往表现成函数形式。
3．非确定性关系
在非确定性关系中，给定了一个变量值，另一个变量值还可以在一定范围内变化。
4．因果关系
变量之间的关系满足三个条件，才能断定是因果关系。
1）连个变量有共变关系，即一个变量的变化会伴随着另一个变量的变化；2）两个变量之间的关系不是由其他因素形成的，即因变量的变化是由自变量的变化引起的；3）两个变量的产生和变化有明确的时间顺序，即一个在前，另一个在后，前者称为自变量，后者称为因变量。
5．单相关和复相关
单相关只涉及到两个变量，所以又称为二元相关。
三个或三个以上的变量之间的相关关系则称为复相关，又称多元相关。
6．正相关与负相关
正相关与负相关：
正相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值也增加；负相关是指一个变量的值增加时，另一变量的值却减少。
7．散点图
散点图：
将相关表所示的各个有对应关系的数据在直角坐标系上画出来，以直观地观察X与Y的相互关系，即得相关图，又称散点图。
8．皮尔逊相关系数r
皮尔逊相关系数是协方差与两个随机变量X、Y的标准差乘积的比率。
9．同序对
在观察X序列时，如果看到
，在Y中看到的是
，则称这一配对是同序对。
10．异序对
在观察X序列时，如果看到
，在Y中看到的是
，则称这一配对是异序对。
11．同分对
如果在X序列中，我们观察到
（此时Y序列中无
），则这个配对仅是X方向而非Y方向的同分对；如果在Y序列中，我们观察到
（此时X序列中无
），则这个配对仅是Y方向而非X方向的同分对；我们观察到
，也观察到
，则称这个配对为X与Y同分对。
五、判断题
1．由于削减误差比例的概念不涉及变量的测量层次，因此它的优点很明显，用它来定义相关程度可适用于变量的各测量层次。
（√）
2．不管相关关系表现形式如何，当
＝1时，变量X和变量Y都是完全相关。
（√）
3．不管相关关系表现形式如何，当
＝0时，变量X和变量Y都是完全不相关。
（×）
4．通过列联表研究定类变量之间的关联性，这实际上是通过相对频数条件分布的比较进行的。
而如果两变量间是相关的话，必然存在着Y的相对频数条件分布相同，且和它的相对频数边际分布相同。
（×）
5．如果众数频数集中在条件频数分布列联表的同一行中，
系数便会等于0，从而无法显示两变量之间的相关性。
（√）
6．从分析层次上讲，相关分析更深刻一些。
因为相关分析具有推理的性质，而回归分析从本质上讲只是对客观事物的一种描述，知其然而不知其所以然。
（×）
六、计算题
1．对某市市民按老中青进行喜欢民族音乐情况的调查，样本容量为200人，调查结果示于下表，试把该频数列联表：
①转化为相对频数的联合分布列联表②转化为相对频数的条件分布列联表；③指出对于民族音乐的态度与被调查者的年岁有无关系，并说明理由。
对于民族音乐的
态度（Y）
年岁（X）
Σ
老中青
喜欢
不喜欢
383830
153346
Σ
2．已知十名学生身高和体重资料如下表，
（1）根据下述资料算出身高和体重的皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数；
（2）根据下述资料求出两变量之间的回归方程（设身高为自变量，体重为因变量）。
身高（cm）
171
167
177
154
169
体重（kg）
53
56
64
49
55
身高（cm）
175
163
152
172
162
体重（kg）
66
52
47
58
50
【皮尔逊相关系数：
0.889，斯皮尔曼相关系数：
0.94，回归方程：
Y=-54.48+0.66X】
3．假定有不同文化程度的35～45岁育龄妇女100人的生育情况如下表，求文化程度与平均生育数的相关系数r。
序号
一
二
三
四
五
育龄妇女人数
20
20
20
20
20
文化程度（年）
平均生育数
0
4.74
6
3.31
9
3.08
12
2.41
16
1.94
4．某市有12所大专院校，现组织一个评审委员会对各校校园及学生体质进行评价，结果如下，试求环境质量与学生体质的关系的斯皮尔曼相关系数和肯得尔等级相关系数。
环境名次
3
9
7
5
12
8
10
2
11
4
1
6
体质名次
5
9
6
7
12
8
11
1
10
3
2
4
【斯皮尔曼相关系数：
0.94，肯德尔等级相关系数：
0.83】
5．以下是婚姻美满与文化程度的抽样调查的结果，请计算婚姻美满与文化程度之Gamma系数和肯德尔相关系数τc。
文化程度
婚姻美满
大学
中学
小学
美满
9
16
5
一般
8
30
18
不美满
3
4
7
【τc=0.18】
6．以下为两位评判员对10名参赛人名次的打分。
试用斯皮尔曼等级相关系数来描述两评判员打分的接近程度。
参赛人
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
评判员1
评判员2
1
1
2
2
4
3
3
4
5
5
8
6
6
7
7
8
9
9
10
10
【斯皮尔曼相关系数：
0.95】
7．某原始资料为：
X
65
73
91
88
76
53
96
67
82
85
Y
5
7
13
13.5
7
4.5
15
6.7
10
11
要求：
（1）求回归方程；
（2）这是正相关还是负相关；（3）求估计标准误差；
（4）用积差法求相关系数。
【Y=-11.48+0.27X】【正相关】【相关系数r=0.95】
8．两变量X、Y之间的关系如下表，
X
2
4
6
8
10
12
Y
14
10
9
7
5
4
（1）求回归方程；
（2）求相关系数。
【Y=-0.957X+14.867】【r=0.98】
9．试就下表所示资料，计算关于身高和体重的皮尔逊相关系数。
N0
身高（厘米）
体重（千克）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
160
161
165
165
167
170
172
174
176
180
51
56
59
66
63
70
69
73
80
65
【r=0.77】
10．青年歌手大奖赛评委会对10名决赛选手的演唱水平（X）和综合素质（Y）进行打分，评价结果如下表（表中已先将选手按演唱水平作了次序排列）所示，试计算选手的演唱水平和综合素质间的肯德尔等级相关系数及斯皮尔曼等级相关系数。
选手名
ABCDEFGHIJ
演唱水平（X）
综合素质（Y）
12345678910
31527410869
【肯德尔系数：
0.56，斯皮尔曼系数：
0.76】
11．青年歌手大奖赛，假设五位评委对10名决赛选手的演唱水平进行排序，他们的有关评价结果列于下表，试通过计算肯德尔和谐系数，检验专家意见的一致性和相关程度。
五位评委
10名决赛选手
ABCDEFGHIJ
A
B
C
D
E
12345678910
32145897106
13248765910
42153108679
52193846107
【0.76】
12．某地区失业率与通货膨胀率之间的资料如下表所示，试求：
（1）拟合指数回归方程
＝
；
（2）失业率与通货膨胀率之间的相关系数。
失业率（%）
1.01.62.02.53.13.64.04.55.15.66.06.5
通胀率（%）
1.61.51.11.30.60.90.80.80.70.60.60.6
【
】【相关系数0.76】
13．试就下表所示资料，求算员工工作满足感高与归属感之Gamma系数，并解释Gamma系数具有削减误差比例PRE性质。
工作满足感与归属感
归属感（Y）
工作满足感（X）
低
（1）中
（2）高（3）
低
（1）
中
（2）
高（3）
843
651
445
15
12
13
Fx
18139
40
【G=0.092】
14．已知相关系数r＝0.6，估计标准误差
＝8，样本容量为62。
求：
1）剩余变差值；
2）剩余变差占总变差的百分比；
3）求总变差值。
15．在相关和回归分析中，已知下列资料：
＝16，
＝25，
＝－19，a＝30。
要求：
1）计算相关系数r，说明相关程度；2）求出直线回归方程。
16．在相关和回归分析中，已知下列有关资料：
＝5，
＝10，n＝20，r＝0.9，
＝2000。
试计算：
1）回归系数b；
2）回归变差和剩余变差；
3）估计标准误差
。
17．根据下述假设资料求回归方程。
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
23.0
23.4
24.1
25.2
26.1
26.9
27.3
18．某10户家庭样本具有下列收入（元）和食品支出（元/周）数据：
收入（X）
20
30
33
40
15
13
26
38
25
43
支出（Y）
7
9
8
11
5
4
8
10
9
10
要求：
1）写出最小平方法计算的回归直线方程；
2）在95.46％把握下，当X＝45时，写出Y的预测区间。
19．根据下述假设资料，试用积差法求相关系数。
输出X（亿元）
12
10
6
16
8
9
10
输出Y（亿元）
12
8
6
11
10
8
11
20．对40个企业的横截面样本数据进行一元回归分析，因变量与其平均数的离差平方和为6000，而回归直线拟合的剩余变差为2000，求：
1）变量间的相关指数R；
2）该方程的估计标准误差。
七、问答题
1．简述积差系数的特性。
2．简述回归分析和相关分析之间的密切联系。
部分计算参考：
（见计算题六）
2.已知十名学生身高和体重资料如下表，
（1）根据下述资料算出身高和体重的皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数；
（2）根据下述资料求出两变量之间的回归方程（设身高为自变量，体重为因变量）。
编号
身高（cm）
体重（kg）
1
171
53
2
167
56
3
177
64
4
154
49
5
169
55
6
175
66
7
163
52
8
152
47
9
172
58
10
162
50
皮尔逊相关系数与回归方程
编号
身高（cm）x
体重
（kg）y
xy
1
171
53
29241
2809
9063
2
167
56
27889
3136
9352
3
177
64
31329
4096
11328
4
154
49
23716
2401
7546
5
169
55
28561
3025
9295
6
175
66
30625
4356
11550
7
163
52
26569
2704
8476
8
152
47
23104
2209
7144
9
172
58
29584
3364
9976
10
162
50
26244
2500
8100
合计
1662
550
276862
30600
91830
斯皮尔曼相关系数
编号
身高（cm）
次序
体重（kg）
次序
d
1
171
4
53
6
-2
4
2
167
6
56
4
2
4
3
177
1
64
2
-1
1
4
154
9
49
9
0
0
5
169
5
55
5
0
0
6
175
2
66
1
1
1
7
163
7
52
7
0
0
8
152
10
47
10
0
0
9
172
3
58
3
0
0
10
162
8
50
8
0
0
合计
10
4.某市有12所大专院校，现组织一个评审委员会对各校校园及学生体质进行评价，结
果如下，试求环境质量与学生体质的关系的斯皮尔曼相关系数和肯得尔等级相关系数。
环境名次
3
9
7
5
12
8
10
2
11
4
1
6
体质名次
5
9
6
7
12
8
11
1
10
3
2
4
斯皮尔曼等级相关系数
环境名次
体质名次
d
3
5
-2
4
9
9
0
0
7
6
1
1
5
7
-2
4
12
12
0
0
8
8
0
0
10
11
-1
1
2
1
1
1
11
10
1
1
4
3
1
1
1
2
-1
1
6
4
2
4
合计
18
肯德尔等级相关系数
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
环境名次（x）
3
9
7
5
12
8
10
2
11
4
1
6
体质名次（y）
5
9
6
7
12
8
11
1
10
3
2
4
1）A：
同序对ACABADAEAFAGAHAIAK9异序对AJAL2
2）B：
同序对BCBDBGBHBIBJBKBLBEBF10
3）C：
同序对CECFCGCHCICJCKCL8异序对CD1
4D：
同序对DEDFDGDHDIDJDK7异序对DL1
5）E：
同序对EGEHEIEJEKELEF7
6）F：
同序对FGFHFIFJFKFL6
7）G：
同序对GHGJGKGL4异序对GI1
8）H：
同序对HIHJHKHL4
9）I：
同序对IJIKIL3
10）J：
同序对JKJL2
11）K：
同序对KL1
合计：
同序对
异序对
5.以下是婚姻美满与文化程度的抽样调查的结果，请计算婚姻美满与文化程度
Gamma系数和肯德尔相关系数τc。
文化程度
婚姻美满
大学
中学
小学
美满
9
16
5
一般
8
30
18
不美满
3
4
7
=9×（30+18+4+7）+16×（18+7）+8×（4+7）+30×7=1229
=5×（30+8+3+4）+18×（3+4）+16×（8+3）+30×3=617
0.18
6．以下试两位评判员对10名参赛人名次的
升级会员 