新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案.docx

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新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案

第五章分式与分式方程

1．认识分式

（一）

知识技能基础目标

学生在小学学过分数，其实分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的．在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系，其中包括整式与分式等数量关系．

过程与方法目标

在整式的学习中，学生初步具备了用整式表示现实情境中的数量关系，建立数学模型的思想．在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力．

情感与价值观目标

从实际生活情景出发，让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程。

根据三维教学目标及新课程标准的要求，结合当前学生的心理特点以及现有的认知水平

教学重点

1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；

2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型．

教学难点

分式有意义、无意义、值为零三者的区别

教学方法

师生共同讨论法。

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果

教学过程

本节课共设计了6个教学环节：

知识准备——情景引入——自主探索——练习提高——课堂反馈——自我小结

第一环节知识准备

活动内容：

温故而知新

问题：

下列子中那些是整式？

a，-3x2y3，5x-1，x2+xy+y2，

活动目的：

因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得分式的概念，所以必须熟练掌握整式的概念．

注意事项：

学生能够比较准确的找出哪些是整式，有些学生会简单的认为“分数”形式的代数式不是整式，其实这不是判别的关键，而是看分母中是不是含有字母。

第二环节情景引入

活动内容：

以一个“土地沙化”的问题情景引入，让学生思考讨论，用式分式表达题目中的数量关系：

问题情景

（1）：

面对目前严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前完成一原计划的任务。

这一问题中有哪些等量关系？

如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月。

问题情景

（2）：

新华书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元.降价销售开始时，新华书店这种图书的库存量是多少？

活动目的：

让学生进一步经历探索实际问题中的数量关系的过程；通过问题情景，让学生初步感受分式是解决问题的一种模型；体会分式的意义，发展符号感．

注意事项：

要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导．

第三环节自主探索

活动内容：

以小组的形式对前面出现的分式进行讨论后得出分式的概念，体会分式的意义．

讨论内容：

对前面出现的代数式如下，它们有什么共同特征？

它们与整式有什么不同？

活动目的：

让学生通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念．

第四环节练习提高

活动内容：

例题

（1）当a=1，2时，分别求分式的值；

解：

（1）当a=1时，

（2）当a=2时，

（2）当a取何值时，分式有意义？

解：

当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义．

由分母2a=0，得a=0，

所以，当a取零以外的任何数时，分式都有意义．

活动目的：

让学生体会分式的意义，理解如果a的取值使得分母的值为零，则分式没有意义，反之有意义．

注意事项：

通过例题讲解，让学生从两方面来理解，一是分式分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数；二是分式可与分数类比，分式的分母也不能为零。

学生基本能够通过计算出分式的值，但对于分式什么条件下有意义，一下子掌握还有一定的难度，需要通过与分数进行类比，多举例才能理解的更深刻。

第五环节课堂反馈

活动内容：

1、下列各式中，哪些是整式？

哪些是分式？

答：

（2）、（4）是整式，

（1）、（3）是分式．

活动目的：

考察学生对分式、整式概念的理解．

注意事项：

学生完成的较好，能抓住分式与整式概念的区别，准确的判断出分式、整式．

活动内容：

2、x取什么值时，下列分式无意义？

解：

（1）因为当分母的值为零时，分式没有意义．

由2x-3=0，得x=

所以当x=

时，分式无意义．

（2）因为当分母的值为零时，分式没有意义．

由5x+10=0，得x=-2

所以当x=-2时，分式无意义．

活动目的：

让学生体会分式的意义，知道如果a的取值使的分母的值为零，则分式没有意义，反之有意义．

3、把甲、乙两种饮料按质量比x：

y混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制1千克这种混合饮料需多少甲种饮料？

活动目的：

体会分式可以表示现实情景中的数量关系，分式是表示现实世界中的一类量的数学模型，学会列分式。

注意事项：

学生通过类比分数的分母不能为零，基本能理解分式的分母也不能为零。

在学习中，有些学生错误的理解为只是分式的分母中的字母不为零，应该及时纠正，是整个分母不为零分母可能是单项式，也可能是多项式。

第六环节课堂小结

（一）活动内容

这节课你有哪些收获？

1、学习了分式的概念，掌握了整式与分式的异同．

2、知道当分式的分母不等于零时分式才有意义．

3、在学习新知识时，可把它与所学的旧知识比较，通过观察、类比、归纳它们的异同的方法来学习新知识．

4、我们应该多种树，保护人类生存环境．

（二）布置作业：

完成《学考精练》相应练习

教学反思

1、概念的创新教学

在学习分式概念时，避免传统教学中对于概念直接给出，叫学生死记硬背，忽略了学生学的过程，也不考虑学生是否真正理解，本课时是让学生通过观察、归纳、总结整式与分式的异同，从而得出分式概念．

2、注重能力培养

新课标注重学生探索，创新、合作能力的培养，本课时观察分式与整式的异同时，就是采取学生自主探索，合作交流的形式．

3、课堂反馈效果良好

对学生学习效果的反馈采用有我校特色的“举反馈牌”的方法，能较全面的了解学生的学习情况，对不足之及时补充，有良好效果．

4、需要加强的方面

在学习中，要注意观察学生的情感变化，是否遇到困难，积极性、热情是否发挥出来，投入的程度有多少，是否每个学生都参与其中等等，作为教师应时刻关注这些，以便适时的引导他们，调动他们，鼓励他们．

1．认识分式

（二）

知识与技能目标：

学生在上节课了解了分式的概念，在小学学过分数的基本性质，所以可类比分数的基本性质来学习分式的基本性质，初步掌握了类比的学习方法，

过程与方法目标：

在相关的学习中初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力．

情感态度与价值观目标：

1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分；

2.通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察，类比，推理的能力；

3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力．

教学重点：

理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分；

教学难点：

分式的基本性质的正确应用

教学方法

师生共同讨论法。

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果

教学过程

本节课设计了六个环节：

知识准备——情景引入——例题讲解——课堂反馈——课堂小结。

第一环节知识准备

活动内容：

复习分数的基本性质．

问题：

的依据是什么？

活动目的：

通过分数的约分复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．

注意事项：

学生对于分数的基本性质掌握较好，基本能说出分数的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的值不变。

第二环节情景引入

活动内容：

通过对上题的回答，来回答本题，寻求两者之间的联系．与同伴讨论交流，从而归纳出分式的基本性质．

问题：

你认为分式

与

相等吗？

与

呢？

活动目的：

让学生通过观察，类比，推理出分式的基本性质，并让学生明白类比的理由是字母可以表示任何数．

注意事项：

通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质，但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点．

第三环节例题讲解

活动内容：

例1、下列等式的右边是怎样从左边得到的?

（1）

（2）

例2、化简下列分式：

（1）

（2）

活动目的：

通过例1加深学生对分式的基本性质的理解和应用．例2让学生了解把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．引导学生找出他们的公因式，并学会利用分式的基本性质进行约分，使结果为最简分式或整式．

注意事项：

有的学生在应用分式的基本性质时往往分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个公因式．有些学生不能正确找到分子、分母的公因式，导致约分的错误和不彻底．

实际教学例1下列等式的右边是怎样从左边得到的?

（1）

（2）

第四环节课堂反馈

活动内容

做一做

1．填空

（1）

（2）

2．化简

（1）

（2）

议一议

在

时，米仓和阿呆出现了分歧，米仓认为

=

，而阿呆认为

=

，你对他们的做法有何看法?

与同伴交流．

活动目的：

通过做一做，和议一议，检查学生对分式的约分的掌握情况，对于错误及时指出并纠正．

注意事项：

在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先将找出分子和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式．最后看看结果是否为最简分式或整式．

第五环节课堂小结

1、这节课你有哪些收获？

注意事项：

在小结时学生能总结出本节课的重点是分式的基本性质，利用它可将分式化简，教师还可引导学生归纳出分式约分的步骤一是确定分子和分母的公因式，二是利用分式的基本性质，将分子和分母的整体都除以公因式。

类比的学习方法是学习新知识时常用的方法，让学生熟悉和初步掌握这种方法。

2、布置作业：

完成《学考精练》相应练习

教学反思

1．在分式的约分教学中，要及时发现学生的错误，并当作错误例题进行全班范围的分析，找出原因，让其他学生也认识到这种错误，不能只是改正答案．

2．在让学生小组讨论之前应给学生一定的时间独立思考，不要让一些思维活跃的同学的回答代替了其他学生的思考，从而掩盖了其他学生的疑问和错误．教师应对学生的讨论给予引导，对学习困难的学生给予及时的帮助，是小组合作学习更具实效性．

3．找公因式是约分的关键，应设计一些找公因式的练习，作为铺垫，这样学生可能对约分掌握得更好．

2．分式的乘除法

知识技能基础目标：

学生在小学已经学过分数的乘除法，掌握了分数的乘除法法则，在学习分式的乘除法法则时可通过与分数的乘除法法则进行类比学习。

在前面学习了整式乘法和因式分解，为分式的运算和结果的化简奠定基础。

过程与方法目标：

让学生初步具备观察、分析、归纳的能力和类比的学习方法。

情感态度与价值观目标：

1.类比分数的乘除运算法则，探索分式的乘除运算法则。

2.理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算

3.能解决一些与分式有关的简单的实际问题。

4.通过师生讨论、交流，培养学生合作探究的意识和能力。

教学重点：

进行简单的分式的乘除法运算

教学难点：

对于分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算时，一般先分解因式，并在运算过程中约分。

教学方法

师生共同讨论法。

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果

教学过程

第一环节复习旧知识

复习小学学过的分数的乘除法运算。

活动内容

1、计算，并说出分数的乘除法的法则：

（1）

（2）

；　　

分数乘以分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分数除以分数，把除数的分子分母颠倒位置，与被除数相乘.

活动目的：

复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备。

教学效果：

学生能准确的说出分数的乘除法运算法则。

第二环节引入新课

活动内容

猜一猜：

；

你能总结分式乘除法的法则吗？

与同伴交流。

，

分式的乘除法的法则:

两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;

两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

活动目的：

让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则。

教学效果：

通过类比分数的乘除法的法则，学生明白字母代表数，这样很顺利的得出分式的乘除法的法则。

第三环节知识运用

活动内容

例题1:

（1）

（2）

例题2

（1）

（2）

活动目的：

通过例题讲解，使学生会根据法则，理解每一步的算理，从而进行简单的分式的乘除法运算，并能解决一些与分式有关的简单的实际问题，增强学生代数推理的能力与应用意识。

需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简。

教学效果：

学生能将算式对照乘除法的法则进行运算，在运算结果中，如果不是最简分式往往忘记约分，因式分解在分式约分中起到重要作用，对于分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算时，一般先分解因式，并在运算过程中约分，可以是运算简化。

活动内容：

例题3

通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为

（其中R为球的半径）,那么，

（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?

（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少?

（3）你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算?

与同伴交流

活动目的：

能解决一些与分式有关的简单的实际问题。

教学效果：

通过以上例题帮助学生总结出分式乘除法的运算步骤：

当分式的分子与分母都是单项式时：

（1）乘法运算步骤是，①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子（或分母）的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分

（2）除法的运算步骤是，把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

　当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.

　　③如果分式的分子（或分母）的符号是负号时，应把负号提到分式的前面.

最后的计算结果必须是最简分式.

第四环节课堂反馈

活动内容：

化简：

（1）

（2）

（3）

对本节知识进行巩固练习

教学效果：

在总结出分式乘除法的运算步骤后，大部分学生能很好的掌握，但是还有些学生忘记运算结果要化成最简形式，老师要及时提醒学生。

式的知识没掌握好，将会影响到分式的运算，所以有的学生有必要复习和巩固一下分解因式的知识。

第五环节课堂小结

（一）活动内容：

1．分式的乘除法的法则

2．分式运算的结果通常要化成最简分式或整式.

3.学会类比的数学方法。

（二）布置作业：

完成《学考精练》相应练习

教学反思

1、学生对于法则的运用不难，但是较差班级的学生在运用法则计算时遇到单项式乘单项式，单项式乘多项式或多项式乘多项式即整式的乘法运算时，情况较差，另外在结果的化简上存在问题，化简意识不够，应该在复习分数的乘除法时复习分数的约分，通过对分数的约分类比分式的约分，加强化简意识和能力。

还有因式分解的基础知识不扎实，这些直接影响这节课的学习，这充分体现了数学知识是相关相联的，所以课前有必要巩固整式的乘法运算和因式分解这两方面的知识，进行有针对的练习。

2、类比的学习方法是学习新知识的好方法。

3．分式的加减法

（一）

知识与技能目标：

由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的重要内容。

过程与方法目标：

经历过类比和猜测的活动，如实数的加减运算类比整式的合并同类项；由

在

时的值的情况去猜测

时的情况，由正整数相乘去发现规律猜测与负整数的乘法等，这些活动经验都为本节学习有很好的启迪。

情感态度与价值观目标：

1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。

2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。

3、通过学习认识数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。

教学方法

师生共同讨论法。

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果

教学过程

第一环节情景引入

活动内容

做一做：

猜一猜

活动目的：

通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。

从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。

活动的注意事项：

通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。

而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。

因此，类比时注意引导学生，正确猜想，约分是分数的必要步骤哦，使法则的提出顺理成章，也为后面的学习做好铺垫。

运算法则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

用式子表示为：

第二环节同分母加减

活动内容

学习了同分母分式加减法的法则，是否会用还得先讲再练：

例1

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

.

活动目的：

教学生如何运用法则进行运算，通过这4道例题，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题。

活动的注意事项：

在进行运算时若分子是多项式的，分子要先带括号，再去括号后合并同类项；运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式——化简。

第三环节练习巩固

活动内容

练一练

（1）

;

（2）

;（3）

;

活动目的:

通过3道题的演练巩固，让学生对同分母分式的加减法有更好的认识与掌握。

活动的注意事项：

通过学生的解答情况，对法则做进一步的讲解，力图让学生理解并掌握同分母分式的加减法法则。

第四环节拓展提高

活动内容

例2计算

（1）

；

（2）

.

练一练

（1）

；

（2）

（3）

活动目的：

这是一组分母互为相反式的分式加减的题目，实则是简单的异分母分式的加减法，有了例题的讲解，又有练一练的巩固，应该能够掌握，第三小题有意增加难度，在于学生能力的提高。

解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反，即可按同分母分式的加减法法则进行运算。

旨在初现异分母分式加减的运算，实则化成同分母的分式，这要求学生能够熟练掌握，。

为下节课一般的异分母加减做好准备。

活动的注意事项：

通过例题来理解分母互为相反式的分式加减运算，改变运算符号实质等同于乘以-1，也就是后面要讲的通分，学生刚接触肯定是略有难度，应精心讲解，耐心指导学生完成练一练。

第五环节课堂小结

活动内容：

1、同分母分式加减法则是：

同分母的分式相加减。

分母不变，把分子相加减。

2、学会用转化的思想将分母互为相反式的分式加减运算转化成同分母分式的加减法。

3、分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运算。

4、类比方法很多时候是对的哦，学会用这种方法去分析和解决问题。

活动目的：

结合本节课的学习，同学生一起总结主要内容喝关键点，从而使学生对所学内容能更好的理解并掌握，激发学生学好数学的积极性。

第六环节布置作业

1、习题5.4

2、布置作业：

完成《学考精练》相应练习

教学反思

1、不能脱离教材：

教材为我们提供了最基本有效的教学素材，我们应该充分挖掘这些素材，把他们转化成本节课的实质内容，并能湿透教学目标，让学生通过对这些素材的把握，做到举一反三，灵活运用。

2、因势利导，由浅入深：

鼓励学生通过与分数类比，抛出分式加减运算法则后，应该先讲用再让用，顺水推舟给出例2，演练结合，讲纠互补，注意对关键点的引导。

3、课后多虑：

作为运算，那还是应该多练，扎实基本功，毕竟课堂时间有限。

3．分式的加减法

（二）

知识与技能目标：

类比异分母分数相加减对异分母分式相加减内容的学习都有了充分的铺垫。

过程与方法目标：

从学习字母表示数开始，学生就经历过许多从实际问题建模的思想，用代数式去解决实际问题的经验。

同时在以前的学习中，学生也经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的活动的经验和合作与交流的能力。

情感态度与价值观目标：

1、会找最简公分母，能进行分式的通分；

2、理解并掌握异分母分式加减法的法则；

3、经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。

4、培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。

教学方法

师生共同讨论法。

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果

教学重点：

会找最简公分母，能进行分式的通分

教学难点：

理解并掌握异分母分式加减法的法则；

会找最简公分母，能进行分式的通分

教学过程

第一环节问题引入

活动内容

问题1：

同分母分式是怎样进行加减运算的？

问题2：

异分母分数又是如何进行加减？

问题3：

那么

?

你是怎么做的？

活动目的：

通过回忆同分母分式的加减法法则、异分母分数的加减法运算，来引出本节课的内容，同时又对问题3点明了类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章。

活动的注意事项：

学生回答时应帮助辅正，对问题2的回答要注意引导其为问题3服务，从而转入到异分母分式的加减法学习，学生在回答问题3时，应耐心听学生的想法，便于后面的教学有的放矢，不盲目不一味的个人表演。

第二环节学习新知

活动内容

（1）议一议

小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题。

小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：

小明：

小亮：

你对这两种做法有何评论？

与同伴交流。

（2）异分母分式加减法的法则：

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．

用式子表示为：

.

活动目的：

在很自然转到异分母分式的加减问题时。

化异分母分式为同分母分式就成为关键所在，通过议一议让学生理解最简公分母对通分好处。

在讨论之后明确异分母分式加减法的法则，直截了当让学生再次体会到类比分数的效果，进一步领悟这种思想方法。

用式子表达法则定理是数学语言的特色，应当让学生学会。

活动的注意事项：

这里的小明，小亮两人的做法很有代表性，也是学生在化异分母为同分母的过程经常出现的，这就很自然提到通分的概念，引导学生类比最小公倍数确定最简公分母。

当然，从最后结果来说，都是对的，这就要求我们耐心引导。

第三环节运用新知

活动内容

例3

（1）

；

（2）

；（3）

.

活动目的：

通过例3讲解异分母分式加减法法则的应用，让学生在学习之后开始掌握运用知识，通过不同梯度的三道例题，呈现异分母分式加减的三种形式，让学生体会法则的运用要因题而变，而万变不离其宗——异分母分式加减法法则。

活动的注意事项：

在化成同分母分式的过程中，学生可能会出现一些麻烦，这要求我们根据具体情况加以引导，关键还是一个类比思想起主导，最简公分母类比最小公倍数。

同时还要疏导学生在（3）题中出现小明的问题，开始渗透分母是多项式的且可以进行因式分解时，