高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第56讲二项式定理学案05072114.docx

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高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第56讲二项式定理学案05072114

第56讲　二项式定理

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.

2017·全国卷Ⅰ，6

2017·全国卷Ⅲ，4

2017·山东卷，11

2016·全国卷Ⅰ，14

2016·天津卷，10

2016·山东卷，12

对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项及参数值．利用二项式定理展开式的性质求有关系数等问题.

分值：

5分

1．二项式定理

二项式定理

（a＋b）n＝__Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn（n∈N）__

二项式系数

二项式展开式中各项系数__C__（k＝0，1，…，n）

二项式通项

Tk＋1＝__Can－kbk__，它表示第__k＋1__项

2．二项式系数的性质

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．

（1）在二项展开式中第k项为Can－kbk.（　×　）

（2）通项Can－kbk中的a和b不能互换．（　√　）

（3）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（　×　）

（4）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．（　√　）

（5）（a＋b）n某项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号等构成，与该项的二项式系数不同．（　√　）

解析

（1）错误．在二项展开式中第k＋1项为Can－kbk，而第k项应为Can－k＋1bk－1.

（2）正确．通项Can－kbk中的a与b如果互换，则它将成为（b＋a）n的第k＋1项．

（3）错误．由二项展开式中某项的系数的定义知；二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项，而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项．

（4）正确．因为二项式（a＋b）n的展开式中第k＋1项的二项式系数为C，显然它与a，b无关．

（5）正确．因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数．

2．已知7的展开式的第4项等于5，则x＝（　B　）

A．　　B．－　　

C．7　　D．－7

解析7的展开式中T4＝Cx43＝5，

所以x＝－.

3．化简：

C＋C＋…＋C的值为__22n－1__.

解析因为C＋C＋…＋C＝22n，

所以C＋C＋…＋C＝＝22n－1.

4.5展开式中的常数项为__40__.

解析Tr＋1＝C·（x2）5－r·r＝C·（－2）r·x10－5r，

令10－5r＝0，得r＝2，故常数项为C×（－2）2＝40.

5．（2017·山东卷）已知（1＋3x）n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝__4__.

解析由题意可知C32＝54，∴C＝6，解得n＝4.

一　二项展开式中的特定项或系数问题

（1）求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可．

（2）已知展开式中的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．

【例1】

（1）（2018·广东惠州模拟）在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是（　A　）

A．10　　B．－10

C．－5　　D．20

（2）8的展开式中的有理项共有__3__项．

解析

（1）Tr＋1＝C·（x2）5－r·（－x－1）r＝C（－1）r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，所以含x4项的系数为C（－1）2＝10，故选A．

（2）展开式的通项为Tr＋1＝C·（）8－rr＝rCx（r＝0,1,2，…，8），为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，

所以r＝0,4,8，故共有3个有理项．

二　多项展开式中的特定项或系数问题

（1）对于几个多项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．

（2）对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

（3）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．

【例2】

（1）4＋8的展开式中的常数项为（　D　）

A．32　　B．34　　

C．36　　D．38

（2）（2017·全国卷Ⅲ）（x＋y）（2x－y）5的展开式中x3y3的系数为（　C　）

A．－80　　B．－40　　

C．40　　D．80

（3）（2017·全国卷Ⅰ）（1＋x）6展开式中x2的系数为（　C　）

A．15　　B．20　　

C．30　　D．35

解析

（1）4的展开式的通项为Tm＋1＝C（x3）4－m·m＝C（－2）mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，8的展开式的通项为Tn＋1＝Cx8－n·n＝Cx8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，

所以所求常数项为C（－2）3＋C＝38.

（2）当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C（2x）2（－y）3；当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C（2x）3（－y）2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×（8－4）＝40.

（3）（1＋x）6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以（1＋x）6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C．

三　二项式系数的和与性质

赋值法的应用

（1）形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

（2）对形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

（3）若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f

（1）．

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

【例3】

（1）设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（　B　）

A．5　　B．6　　

C．7　　D．8

（2）若（1－2x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝__0__.

解析

（1）由题意得：

a＝C，b＝C，所以13C＝7C，

∴＝，

∴＝13，解得m＝6，经检验符合题意，选B．

（2）令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.

四　二项式定理的应用

（1）整除问题的解题思路：

利用二项式定理找出某两个数（或式）之间的倍数关系，是解决有关整除问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．

（2）求近似值的基本方法：

利用二项式定理进行近似计算：

当n不很大，|x|比较小时，（1＋x）n≈1＋nx.

【例4】

（1）设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整数，则a＝（　D　）

A．0　　B．1　　

C．11　　D．12

（2）1.028的近似值是__1.172__.（精确到小数点后三位）

解析

（1）512012＋a＝（52－1）2012＋a＝C·522012－C·522011＋…＋C×52·（－1）2011＋C·（－1）2012＋a，

∵C·522012－C·522011＋…＋C×52·（－1）2011能被13整除，且512012＋a能被13整除，

∴C·（－1）2012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.

（2）1.028＝（1＋0.02）8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.

1．（2018·河南商丘检测）在（1－x）5＋（1－x）6＋（1－x）7＋（1－x）8的展开式中，含x3的项的系数是（　D　）

A．74　　B．121　　

C．－74　　D．－121

解析展开式中含x3的项的系数为

C（－1）3＋C（－1）3＋C（－1）3＋C（－1）3＝－121.

2．（2018·安徽安庆二模）将3展开后，常数项是__－160__.

解析3＝6展开后的通项是

C（）6－k·k＝（－2）k·C（）6－2k.

令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C（－2）3＝－160.

3．（2018·广东广州综合测试）已知n的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为__8__.

解析二项式n的展开式的通项是

Tr＋1＝C·（2x3）n－r·r＝C·2n－r·（－1）r·x3n－4r，

依题意，有3n－4×6＝0，得n＝8.

4．C＋3C＋5C＋…＋（2n＋1）C＝__（n＋1）·2n__.

解析设S＝C＋3C＋5C＋…＋（2n－1）·C＋（2n＋1）C，

∴S＝（2n＋1）C＋（2n－1）C＋…＋3C＋C，

∴2S＝2（n＋1）（C＋C＋C＋…＋C）＝2（n＋1）·2n，

∴S＝（n＋1）·2n.

易错点　不能灵活使用公式及其变形

错因分析：

选择的公式不合适，造成解题错误．

【例1】求5展开式中常数项．

解析x－3＋－＝＝，

∴原式＝（x－1）15，则常数项为C（－1）5＝－3003.

【例2】求9192被100除所得的余数．

解析（90＋1）92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C，前91项均能被100整数，剩下两项和为92×90＋1＝8281，显然8281除以100所得余数为81.

【跟踪训练1】（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　C　）

A．10　　B．20　　

C．30　　D．60

解析（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，

含y2的项为T3＝C（x2＋x）3·y2.

其中（x2＋x）3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.

所以x5y2的系数为CC＝30.

课时达标　第56讲

[解密考纲]对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现．

一、选择题

1．二项式10的展开式中的常数项是（　A　）

A．180　　B．90　　

C．45　　D．360

解析10的展开式的通项为Tk＋1＝C·（）10－k·k＝2kCx5－k，令5－k＝0，得k＝2，故常数项为22C＝180.

2．设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为（　B　）

A．16　　B．10

C．4　　D．2

解析2n展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx2n－k·k＝C（－1）kx，令＝0，得k＝，依据选项知n可取10.

3.6的展开式的第二项的系数为－，则x2dx的值为（　B　）

A．3　　B．

C．3或　　D．3或－

解析该二项展开式的第二项的系数为Ca5，由Ca5＝－，解得a＝－1，因此x2dx＝x2dx＝|＝－＋＝.

4．已知（1＋x）10＝a0＋a1（1－x）＋a2（1－x）2＋…＋a10（1－x）10，则a8＝（　D　）

A．－5　　B．5

C．90　　D．180

解析∵（1＋x）10＝[2－（1－x）]10＝a0＋a1（1－x）＋a2（1－x）2＋…＋a10（1－x）10，∴a8＝C·22·（－1）8＝180，故选D．

5．若（＋）5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为（　D　）

解析（＋）5的展开式的通项为Tr＋1＝Cxy，则T3＝Cxy＝10，即xy＝1，由题意知x≥0，故D选项的图象符合．

6．在（2x＋xlgx）8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则x＝（　C　）

A．1　　B．

C．1或　　D．－1

解析二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T5＝C（2x）4·（xlgx）4＝1120，∴x4（1＋lgx）＝1，两边取对数可知lg2x＋lgx＝0，得lgx＝0或lgx＝－1，故x＝1或x＝.

二、填空题

7．（2017·浙江卷）已知多项式（x＋1）3（x＋2）2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝__16__，a5＝__4__.

解析由题意知a4为展开式含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.

8．（2016·全国卷Ⅰ）（2x＋）5的展开式中，含x3项的系数是__10__（用数字填写答案）．

解析由（2x＋）5得Tr＋1＝C（2x）5－r（）r＝25－rCx5－，

令5－＝3得r＝4，此时系数为10.

9．若二项式n的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于__32__.

解析对于Tr＋1＝C（）n－rr＝C2rx－，当r＝n时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n＝5m，则有r＝3m，则23mC＝80，因此m＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.

三、解答题

10．已知在n的展开式中，第6项为常数项．

（1）求n；

（2）求含x2的项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项．

解析

（1）依题意知n的展开式的通项为Tr＋1＝C（）n－rr＝rCx，

又第6项为常数项，则当r＝5时，＝0，即＝0，

解得n＝10.

（2）由

（1）得Tr＋1＝rCx，令＝2，解得r＝2，

故含x2的项的系数为2C＝.

（3）若Tr＋1为有理项，则有∈Z，且0≤r≤10，r∈Z，

故r＝2,5,8，

则展开式中的有理项分别为

T3＝C2x2＝x2，

T6＝C5＝－，

T9＝C8x－2＝x－2.

11．已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：

（1）a1＋a2＋…＋a7；

（2）a1＋a3＋a5＋a7；

（3）a0＋a2＋a4＋a6；

（4）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①

令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

（1）∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.

（2）（①－②）÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.

（3）（①＋②）÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.

（4）∵（1－2x）7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝（a0＋a2＋a4＋a6）－（a1＋a3＋a5＋a7）＝1093－（－1094）＝2187.

12．已知n，求：

（1）展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

解析

（1）∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.

∴n＝7或n＝14，

当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.

∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.

∴T8的系数为C727＝3432.

（2）∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.

∴n＝12或n＝－13（舍去）．设Tk＋1项的系数最大，

∵12＝12（1＋4x）12，

∴∴9.4≤k≤10.4，∵k∈N，∴k＝10.

∴展开式中系数最大的项为T11，

T11＝C·2·210·x10＝16896x10.

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。