高考数学一轮考点训练选考内容含答案.docx

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高考数学一轮考点训练选考内容含答案

2017高考数学一轮考点训练-选考内容（含答案）

第十三选考内容

考纲链接

1几何证明选讲

（1）理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理．

（2）会证明和应用以下定理：

①直角三角形射影定理；

②圆周角定理；

③圆的切线判定定理与性质定理；

④相交弦定理；

⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；

⑥切割线定理．

2．坐标系与参数方程

（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．

（3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

（4）了解参数方程，了解参数的意义．

（）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

3．不等式选讲

（1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条：

①|a＋b|≤|a|＋|b|（a，b∈R）；

②|a－b|≤|a－|＋|－b|（a，b∈R）．

（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤；　|ax＋b|≥；　|x－|＋|x－b|≥a

（3）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：

比较法、综合法、分析法．

§131　几何证明选讲

1．平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段____________．

推论1：

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必____________．

推论2：

经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线____________．

2．平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段________．

推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段________．

3．相似三角形的判定定理

判定定理1：

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：

两角对应________，两三角形相似．

判定定理2：

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：

两边对应成________且夹角________，两三角形相似．

判定定理3：

对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：

三边对应________，两三角形相似．

注意：

与一般三角形相比，直角三角形有一个角为直角，三边长满足勾股定理等．这种关系可以使判定两个直角三角形相似的条得到简化．

4．相似三角形的性质定理

性质定理1：

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于____________．

性质定理2：

相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于____________．

性质定理3：

相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________．

．射影定理

直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_________________________．

6．圆周角、圆心角和弦切角定理

①圆周角定理：

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半．

②圆心角定理：

圆心角的度数等于它所对______的度数．

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧____________．

推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．

③弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧所对的________．

7．圆内接四边形的性质与判定定理

（1）性质定理：

圆的内接四边形的对角____________．

推论：

圆内接四边形的外角等于它的__________的对角．

（2）判定定理：

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点____________．

推论：

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点____________．

8．圆的切线的性质与判定定理

性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的________．

推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过________．

推论2：

经过切点且垂直于切线的直线必经过________．

判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________．

9．相交弦定理

圆内的两条相交弦，________________________的积相等．

10．

（1）割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到__________________的两条线段长的积相等．

（2）切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到______________________________的比例中项．

（3）切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线平分____________的夹角．且____________切点弦．

自查自纠：

1．也相等　平分第三边　平分另一腰

2．成比例　成比例

3．相等　比例　相等　成比例

4．相似比　相似比　相似比的平方

．两直角边在斜边上射影　比例中项

6．①圆心角　②弧　相等　也相等　直角　直径③圆周角

7．

（1）互补　内角　

（2）共圆　共圆

8．半径　切点　圆心　切线

9．被交点分成的两条线段长

10．

（1）每条割线与圆的交点

（2）割线与圆交点的两条线段长

（3）相等　两条切线　垂直平分

如图，在△AB中，AE＝ED＝D，FE∥D∥B，FD的延长线交B的延长线于点N，且EF＝1，则BN＝（　　）A．2B．3

．4D．6

解：

∵FE∥D∥B，AE＝ED＝D，

∴EFB＝AEA＝13，EFN＝EDD＝1，

∴EF＝N，∴EFBN＝EFB＋N＝14，

∴BN＝4EF＝4故选

如图AD是△AB的中线，E是A边靠近点的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为（　　）A．2∶1B．3∶1

．4∶1D．∶1

解：

过D作DG∥A交BE于G，则DG＝12E，又AE＝2E，△DGF∽△AEF，故AF∶FD＝AE∶DG＝2E∶12E＝4∶1故选

如图，∠AB＝90°，D⊥AB于点D，以BD为直径的圆与B交于点E则（　　）A．E•B＝AD•DB

B．E•B＝AD•AB

．AD•AB＝D2

D．E•EB＝D2

解：

在△AB中，因为∠AB＝90°，D⊥AB于点D，所以D2＝AD•DB又由切割线定理得D2＝E•B，所以E•B＝AD•DB故选A

如图，过点D作圆的切线切圆于B点，作割线交圆于A，两点，其中BD＝3，AD＝4，AB＝2，则B＝________解：

由切割线定理得：

BD2＝D•AD，得D＝94

又∵∠A＝∠DB，∠D＝∠D，

∴△ABD∽△BD，BDD＝ABB，解得B＝32故填32

（201•重庆）如图，圆的弦AB，D相交于点E，过点A作圆的切线与D的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，P＝3，E∶ED＝2∶1，则BE＝____________．解：

由切割线定理，知PA2＝P•PD，即62＝3PD，解得PD＝12，∴D＝PD－P＝9，∴E＝6，ED＝3由相交弦定理，知AE•BE＝E•ED，即9BE＝6×3，解得BE＝2故填2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

类型一　平行线分线段成比例定理的应用

　如图，在△AB中，EF∥D，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8

（1）求A的长；

（2）求D2B2的值．

解：

（1）∵EF∥D，∴AEAD＝AFA

∵AE＝6，ED＝3，AF＝8，∴66＋3＝8A，

∴A＝12

（2）∵EF∥D，∴∠AFE＝∠AD，

又∠AFE＝∠B，∴∠AD＝∠B

又∠A＝∠A，∴△AD∽△AB

∴DB＝ADA＝6＋312＝34，∴D2B2＝916

点拨：

求长度或比值考虑相似，有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，即创造可以形成比例式的条，从而达到计算或证明的目的．

（1）如图所示，在△AB中，D是B的中点，E是A的中点，AD交BE于G，求证：

AG＝2GD证明：

作H∥EB交AD的延长线于点H，

∵AE＝E，H∥EB，∴AG＝GH

又∵BD＝D，

∴△BDG≌△DH

∴GD＝DH∴AG＝2GD

（2）在△AB中，AD为∠BA的平分线，求证：

ABA＝BDD

证明：

如图，过作E∥AD，交BA延长线于E，∵AD∥E，∴BAAE＝BDD

∵AD平分∠BA，

∴∠BAD＝∠DA

由AD∥E知∠BAD＝∠E，

∠DA＝∠AE，

∴∠AE＝∠E，即AE＝A

∴ABA＝BDD

类型二　相似三角形的判定及性质

　如图所示，已知在△AB中，∠BA＝90°，AD⊥B，E是A的中点，ED交AB的延长线于F，求证：

ABA＝DFAF证明：

∵∠BA＝90°，AD⊥B，∴△ABD∽△AD，

∴ABA＝BDAD①

又∵E是A的中点，∴DE＝E，

∴∠4＝∠3＝∠AB＝∠1，而∠AFD为公共角，

∴△FBD∽△FDA，

∴BDAD＝DFAF，②，由①②可得ABA＝DFAF

点拨：

（1）判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．

（2）相似三角形的性质可用证明线段成比例、角相等，也可用间接证明线段相等或计算线段长度．

　（2014•中原名校联考）如图，三角形AB的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E

（1）证明：

△ABE∽△AD；

（2）若三角形AB的面积S＝12AD•AE，求∠BA的大小．

解：

（1）证明：

由已知条，可得∠BAE＝∠AD，因为∠AEB与∠AB是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠AD

故△ABE∽△AD

（2）因为△ABE∽△AD，所以ABAD＝AEA，　※

又S＝12AB•A•sin∠BA且S＝12AD•AE，故AB•A•sin∠BA＝AD•AE，由※可知AB•A＝AD•AE，则sin∠BA＝1，又∠BA为△AB的内角，所以∠BA＝90°

类型三　射影定理的应用

　如图所示，已知在边长为1的正方形ABD的一边上取一点E，使AE＝14AD，过AB的中点F作HF⊥E于H

（1）求证：

FH＝FA；

（2）求EH∶H的值．

解：

（1）证明：

连结EF，F，在正方形ABD中，AD＝AB＝B，∠A＝∠B＝90°

∵AE＝14AD，F为AB的中点，

∴AEAF＝FBB＝12

∴△EAF∽△FB

∴∠AEF＝∠BF，∠EFA＝∠BF

又∠A＝∠B＝90°，∴∠EF＝90°，EFF＝AEBF＝AEAF＝12

又∵∠EF＝∠A＝90°，∴△EF∽△EAF

∴∠AEF＝∠HEF

又EF＝EF，

∴Rt△EAF≌Rt△EHF∴FH＝FA

（2）由

（1）知△EF是直角三角形，FH是斜边E上的高，

由射影定理可得EF2＝EH•E，F2＝H•E，于是EH∶H＝EF2∶F2＝1∶4

点拨：

①一般四边形问题须转化为三角形（最好是Rt△）问题研究，故自然要连结EF，F，第

（1）问也可由勾股定理求出FH的长证；②图中有2对全等三角形，8对相似三角形，能洞察这些，解此题会游刃有余；③第

（2）问由EH∶H＝AE∶B求，更简洁．

　如图所示，AD，BE是△AB的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交A的延长线于H，求证：

DF2＝GF•HF证明：

∵∠H＋∠BA＝90°，

∠GBF＋∠BA＝90°，∴∠H＝∠GBF

∵∠AFH＝∠GFB＝90°，

∴△AFH∽△GFB，∴HFBF＝AFGF，

∴AF•BF＝GF•HF

因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF•BF，

∴DF2＝GF•HF

类型四　圆内接四边形的性质及判定定理的应用

　（201•哈三中一模）如图，AB是⊙的直径，B与⊙相切于B，E为线段B上一点，连接A，AE，分别交⊙于D，G两点，连接DG并延长交B于点F

（1）求证：

，D，G，E四点共圆；

（2）若F为EB的靠近点E的三等分点，EG＝1，GA＝3，求线段E的长．

解：

（1）证明：

连接BD，则∠AGD＝∠ABD，∠ABD＋∠DAB＝90°，∠＋∠AB＝90°，所以∠＝∠AGD，所以∠＋∠DGE＝180°，所以，D，G，E四点共圆．

（2）因为EG•EA＝EB2，所以EB＝2，又F为EB的三等分点，所以EF＝23，FB＝43，

又因为FG•FD＝FE•F＝FB2，所以F＝83，E＝2

点拨：

①直径所对圆周角为直角，故考虑连BD；②证明四点共圆，即证明这四点构成的四边形对角互补；③已知条为EG及GA的长度，自然考虑计算EB，从而求得FG•FD，再计算E即可．

　（2014•新标Ⅰ）如图，四边形ABD是⊙的内接四边形，AB的延长线与D的延长线交于点E，且B＝E

（1）证明：

∠D＝∠E；

（2）设AD不是⊙的直径，AD的中点为，且B＝，证明：

△ADE为等边三角形．

证明：

（1）由题设知A，B，，D四点共圆，所以∠D＝∠BE，由已知B＝E得∠BE＝∠E，故∠D＝∠E

（2）如图，设B的中点为N，连结N，则由B＝知N⊥B，故在直线N上．

又AD不是⊙的直径，为AD的中点，故⊥AD，即N⊥AD

所以AD∥B，故∠A＝∠BE

又∠BE＝∠E，故∠A＝∠E，由

（1）知，∠D＝∠E，

所以△ADE为等边三角形．

类型五　圆的切线及与圆有关的比例线段

　（201•陕西）如图，AB切⊙于点B，直线A交⊙于D，E两点，B⊥DE，垂足为

（1）证明：

∠BD＝∠DBA；

（2）若AD＝3D，B＝2，求⊙的直径．

解：

（1）证明：

∵DE为⊙的直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，

又B⊥DE，∴∠BD＋∠EDB＝90°，

从而∠BD＝∠BED

又AB切⊙于点B，得∠DBA＝∠BED，

∴∠BD＝∠DBA

（2）由

（1）知BD平分∠BA，

则BAB＝ADD＝3，又B＝2，从而AB＝32，

∴A＝AB2－B2＝4，∴AD＝3

由切割线定理得AB2＝AD•AE，即AE＝AB2AD＝6，

故DE＝AE－AD＝3，即⊙的直径为3

点拨：

①与切线有关的角的证明问题，一般都要用到弦切角定理；②计算与圆相关的线段长度问题，一般都要用到圆幂定理；③注意三角形内角平分线定理的灵活应用．

　（201•吉林长春调研）如图，圆与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆和圆N于，D两点，延长DB交圆于点E，延长B交圆N于点F已知B＝，BD＝10

（1）求AB的长；

（2）求FDE

解：

（1）根据弦切角定理，

知∠BA＝∠BDA，∠AB＝∠DAB，

∴△AB∽△DBA，则ABDB＝BBA，

故AB2＝B•BD＝0，AB＝2

（2）根据切割线定理，知A2＝B•F，DA2＝DB•DE，

两式相除，得A2DA2＝BDB•FDE，*

由△AB∽△DBA，得ADA＝ABDB＝210＝22，A2DA2＝12，

又BDB＝10＝12，由*得FDE＝1

1．用添加平行辅助线的方法构造平行线，是创造应用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理的条．在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定要注意线段与边的对应．

2．在证明两个或两个以上的比例式相等时，往往需要找第三个比例式与它们都相等，这时可考虑利用平行线分线段成比例定理或推论，或考虑用线段代换，由相等的传递性得出结论．

3．证两个三角形相似，在已具备一角对应相等的条时，往往先探求是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再探求等角的两边对应成比例．

4．等积式的证明是一种常见题型，其证题思路一般是化等积式为比例式，再由三角形相似或平行线分线段成比例定理证明．

．注意在证明圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，添加辅助线的目的是为了打通已知与未知的通道，构造需要的边、角、三角形，如构造直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质．要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上某一点，那么连接这点和圆心，证明该直线垂直于半径；如果不知直线和圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．已知某直线是圆的切线时，切点的位置一般是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点．

6．证明多点共圆的常用方法

（1）证明几个点到某个定点距离相等；

（2）如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等（例：

如图，若∠AB＝∠ADB＝90°，则A，B，D，四点共圆）．

（3）证明凸四边形内对角互补（或外角等于它的内角的对角）．

7．相交弦定理、切割线定理和割线定理常与圆周角、弦切角定理联合运用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比或比例式．

1．如图，在△AB中，∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则B的长为（　　）A14B．712D24

解：

由已知条∠AED＝∠B，∠A为公共角，所以△ADE∽△AB，则有DEB＝AEAB，从而B＝6×108＝12故选

2．如图，半径为2的⊙中，∠AB＝90°，D为B的中点，AD的延长线交⊙于点E，则线段DE的长为（　　）A2B23D32

解：

延长B交⊙于点F，由相交弦定理可知：

BD•DF＝AD•DE又由题知BD＝1，DF＝3，AD＝，因此DE＝3故选

3．如图，⊙与⊙P相交于A，B两点，点P在⊙上，⊙的弦B切⊙P于点B，P及其延长线交⊙P于D，E两点，过点E作EF⊥E交B延长线于点F若D＝2，B＝22，则EF的长为（　　）A．1B2．2D．22

解：

连结PB，B切⊙P于点B，PB⊥B，D＝2，B＝22，由切割线定理得B2＝D•E，E＝4，DE＝2，BP＝1，又∵EF⊥E，∴△PB∽△FE，得EFPB＝EB，解得EF＝2故选B

4．如图，AD，AE，B分别与圆切于点D，E，F，延长AF与圆交于另一点G给出下列三个结论：

①AD＋AE＝AB＋B＋A；

②AF•AG＝AD•AE；

③△AFB∽△ADG

其中正确结论的序号是（　　）

A．①②B．②③．①③D．①②③

解：

∵F＝E，BF＝BD，∴B＝E＋BD

∴AB＋B＋A＝（AB＋BD）＋（A＋E）＝AD＋AE故结论①正确．

由切割线定理知AD2＝AF•AG，又AE＝AD，∴AD•AE＝AF•AG，故结论②正确．容易判断结论③不正确．故选A

．（201•天津）如图，在圆中，，N是弦AB的三等分点，弦D，E分别经过点，N若＝2，D＝4，N＝3，则线段NE的长为（　　）A83B．3103D3

解：

由题意可得×D＝A×B＝AN×NB＝N×NE，即2×4＝3NE，解得NE＝83故选A

6．（2014•天津）如图，△AB是圆的内接三角形，∠BA的平分线交圆于点D，交B于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F在上述条下，给出下列四个结论：

①BD平分∠BF；②FB2＝FD•FA；

③AE•E＝BE•DE；④AF•BD＝AB•BF

则所有正确结论的序号是（　　）

A．①②B．③④．①②③D．①②④

解：

由弦切角定理得∠FBD＝∠EA＝∠BAE，又∠BFD＝∠AFB，故△BFD∽△AFB，故BFAF＝BDAB，即AF•BD＝AB•BF，④对，否定A，显然②正确．故选D

7．（2014•重庆）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PB依次分别交圆于B，，若PA＝6，A＝8，B＝9，则AB＝__________．

解：

如图，由PA2＝PB•P得62＝PB（PB＋9），解得PB＝3再由∠＝∠BAP及∠P为公共角得△ABP∽△AP，∴ABA＝BPAP，∴AB＝4故填4

8．（201•广东）如图，已知AB是圆的直径，AB＝4，E是圆的切线，切点为，B＝1，过圆心作B的平行线，分别交E和A于点D和点P，则D＝__________．解：

由题意得P＝12B＝12，A＝2，于是PA＝P＝22－122＝12，由于∠DP＝∠B＝∠PAͤ△DP∽△AP，于是PDPA＝PPͤPD＝1212×12＝12，那么D＝12＋12＝8故填8

9．（201•湖南）如图，在⊙中，相交于点E的两弦AB，D的中点分别是，N，直线与直线D相交于点F证明：

（1）∠EN＋∠N＝180°；

（2）FE•FN＝F•F

证明：

（1）如图所示，∵，N分别是弦AB，D的中点，∴⊥AB，N⊥D，即∠E＝∠EN＝90°，故∠EN＋∠N＝180°

（2）由

（1）知，，，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE•FN＝F•F

10．如图所示，PA为圆的切线，A为切点，P交圆于B，两点，PA＝20，PB＝10，∠BA的角平分线与B和圆分别交于点D和E

（1）求证：

AB•P＝PA•A；

（2）求AD•AE的值．

解：

（1）证明：

∵PA为圆的切线，

∴∠PAB＝∠AP，又∠P为公共角，

∴△PAB∽△PA，∴ABA＝PAP，∴AB•P＝PA•A

（2）∵PA为圆的切线，P是过点的割线，

∴PA2＝PB•P，∴P＝40，B＝30，

又∵∠AB＝90°，∴A2＋AB2＝B2＝900，又由

（1）知ABA＝PAP＝12，∴A＝12，AB＝6，连接E，则∠AE＝∠EAB，△AE∽△ADB，ABAE＝ADA，AD•AE＝AB•A＝6×12＝360

11．（2014•新标Ⅱ）如图，P是⊙外一点，PA是切线，A为切点，割线PB与⊙相交于点B，，P＝2PA，D为P的中点，AD的延长线交⊙于点E证明：

（1）BE＝E；

（2）AD•DE＝2PB2

证明：

（1）连接AB，A由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA∵∠PDA＝∠DA＋∠DA，

∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DA＝∠PAB，

∴∠DA＝∠BAD，从而BE︵＝E︵

因此BE＝E

（2）由切割线定理得PA2＝PB•P

∵PA＝PD＝D，∴D＝2PB，BD＝PB

由相交弦定理得AD•DE＝BD•D，

∴AD•DE＝PB•2PB＝2PB2

（201•全国Ⅱ）如图，为等腰三角形AB内一点，⊙与△AB的底边B交于，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，A分别相切于E，F两点．

（1）证明：

EF∥B；

（2）若AG等于⊙的半径，且AE＝N＝23，求四边形EBF的面积．

解：

（1）证明：

由于△AB是等腰三角形，AD⊥B，∴AD是∠AB的平分线．又∵⊙分别与AB，A相切于点E，F，∴AE＝AF，故AD⊥EF从而