荐苏教版初二八年级上第一单元全等三角形辅助线的做法详解.docx

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荐苏教版初二八年级上第一单元全等三角形辅助线的做法详解

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苏教版初二八年级上第一单元全等三角形辅助线的做法详解

一，联结法构建基本的模型

首先我们需要知道在全等三角形中有哪些基本的模型，上一篇我已经介绍过，主要有对称型，两高型，一线三等角型，三垂直型，旋转型和8字形.有时我们在证明过程中可以联结图形中的两点，从而构建一个基本模型，进行解题。

例题：

如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝DC，延长AD到E点，使DE＝AB．连接CE，且CE=4，以下四个结论：

①∠ABC＝∠CDE；②四边形ABCD的面积是8；③∠E=45°；④AE＝AD+AB正确的有哪几个？

？

解析：

根据题意我们可以联结AC，从而形成旋转模型，根据四边形的内角和等于360°，再根据邻补角的和等于180°可得∠CDE+∠ADC＝180°，从而求出∠B＝∠CDE；根据“边角边”证明即可;根据外角的性质；线段间的等量代换求解。

解：

在四边形ABCD中，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴90°+∠B+90°+∠ADC＝360°，

∴∠B+∠ADC＝180°，

又∵∠CDE+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠CDE，故①正确

连接AC，

由①证得∠ABC＝∠CDE，

在△ABC和△EDC中，

AB=DE∠ABC=∠CDEBC=CD，

∴△ABC≌△EDC（SAS）．

∴AC=CE，∠ACB=∠ECD

∵∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD=90°

∴∠ACE=90°

∴∠E=∠CAE=45°故③正确

∵CE=4，

则三角形的ACE的面积为：

4×4÷2=8

∵四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=S△EDC+S△ACD=S△ACE

即四边形ABCD的面积为8，故②正确

AE＝AD+DE＝AD+AB．故④正确

二，延长相交法构建基本图形

延长相交法构建基本模型顾名思义是指延长两条线段交于一点，从而新的图形组成我们基本模型中的一个，从而解决问题。

例题：

已知：

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．则下列说法正确的有______个。

①∠ABD＝∠ECD；②AD＝EC；③AD+BD＝BC；④CE=1/2BD。

解析：

根据图形我们可以发现，如果延长BA和CE就会形成两高型的基本模型，从而根据全等三角形来证明。

解：

解:

如图，延长CE，交BA的延长线于点F,

∵CE⊥BD,

∴∠BEF=∠BEC=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠CAF=∠BAD=90°,

∵∠3=∠4,

∴∠1=∠5，即∠ABD＝∠ECD,故①正确；

在△BAD和△CAF中,

∠1=∠5AB=AC∠BAD=∠CAF

∴△BAD≌△CAF（ASA）,

∴BD=CF，AF=AD,

∵BE平分∠ABC,

∴∠1=∠2,

在△BEF和△BEC中

∠1=∠2BE=BE∠BEF=∠BEC

∴△BEF≌△BEC（ASA）

∴EF=EC，BF=BC,

∴CE=1/2CF，

∴CE=1/2BD,故④正确；

∵BF=AB+AF=AB+AD，即AB+AD=BC，故③不正确；

无法证明②是否正确．

故答案为：

2

三，截长补短法构建辅助线

截长补短法一般在证明两个线段的和等于第三条线段或者两个线段的差等于第三条线段时我们选择在最长的线段上截取一段等于短的线段上的一个，然后证明剩下的线段相等的方法。

例题：

如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若AE交CD于E，且∠EAB=∠DAE，连结BE，恰好∠EBC=∠ABE，则AB的长与AD+BC的大小关系是

解析：

在AB上取一点F，使AF＝AD，连接EF，根据平行线的性质可以得出∠AEB＝90°，通过证明△AED≌△AEF和△BCE≌△BFE，由全等三角形的性质就可以得出结论

解：

在AB上取一点F，使AF＝AD，连接EF，

在△AED和△AEF中，

AD=AF∠5=∠6AE=AE，

∴△AED≌△AEF（SAS）

∴∠1＝∠2．

∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∵∠5＝∠6＝1212∠BAD,∠7＝∠8＝1212∠ABC．

∴1212∠ABC+1212∠BAD＝90°，

∴∠6+∠8＝90°，

∴∠AEB＝∠2+∠3＝90°．

∴∠1+∠4＝90°．

∴∠4＝∠3．

在△BEC和△BEF中

∠4=∠3BE=BE∠7=∠8，

∴△BCE≌△BFE（ASA），

∴BC＝BF．

∵AB＝BF+AF，

∴AB＝BC+AD

四，倍长中线法

在有些证明中我们如果出现中线，我们可以延长中线一倍，然后连接，可以形成8字形基础模型，从而证明三角形全等。

例题：

如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，AD=4，则AE=

解析：

首先延长AD至M，使DM=AD，先证明△ABD≅△MCD,进而得出MC=AB，∠B=∠MCD，即可得出∠ACM=∠ACE，再证明△ACM≅△ACE,即可得出答案．

解：

延长AD至M，使DM=AD，

∵AD是△ABC的中线，

∴DB=CD，

在△ABD和△MDC中

BD=CD∠ADB=∠MDCAD=DM,

∴△ABD≅△MCD（SAS）,

∴MC=AB，∠B=∠MCD，

∵AB=CE，

∴CM=CE，

∵∠BAC=∠BCA，

∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD，

即∠ACM=∠ACE，

在△ACE和△ACM

AC=AC∠ACE=∠ACMCM=CE,

∴△ACM≅△ACE（SAS）,

∴AE=AM，

∵AM=2AD，AD=4

∴AE=2AD=8．

五，利用角平分线构建模型

我们知道上图是角平分线的基本模型，可以利用多种判定方法证明全等，因此，我们遇见角平分线时可以构建上述模型。

例题：

如图，已知△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠A的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．若AB=5，AC=13,则BE=_____

解析：

本题我们可以利用角平分线的模型，延长BE交AC于F，作FH⊥BC于H，由条件可以得出△AEB≌△AEF,再利用全等三角形的性质求解即可．

解：

延长BE交AC于F，作FH⊥BC于H，

因为AD是∠A的平分线

所以∠BAE＝∠FAE

∵BE⊥AD

∴∠AEB=∠AEF=90°

又AE=AE

∴△AEB≌△AEF

∴AB=AF=5，BE=EF，∠ABF=∠AFB

∵∠ABC＝3∠C，∠AFB=∠C+∠FBC

∴3∠C=∠AFB+∠FBC=∠C+∠FBC+∠FBC

∴2∠C=2∠FBC，即∠C=∠FBC

∵FH⊥BC

∴∠FHB=∠FHC=90°

又FH=FH

∴△HFB≌△FHC

∴FB=FC

∵AC=13,

∴FB=FC=13-5=8

∴BE=EF=4

六，动点问题的研究

动点问题是我们比较容易考的大题，其实动点问题可以看成用速度和时间来表示线段的长度，然后利用全等三角形的判定定理，注意对应边对应角，一定要注意多种情况的讨论！

例题：

如图,AB＝6cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，AC＝BD＝4cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当点Q的运动速度为（）cm/s时，△ACP与△BPQ全等

解析：

表示出AP，PB，BQ，AC，再根据全等三角形对应边相等，分①AP、BQ是对应边，②AP与PB是对应边两种情况讨论求解即可；

解：

点P、Q的运动时间为t，则AP=2t，PB=6−2t，

①当AP=BQ时，AC=PB，6−2t=4，

解得：

t=1，

故点Q的运动速度为2÷1=2（厘米/秒）；

∴∴当点Q的运动速度为2（厘米/秒）时，△ACP与△BPQ全等；

②当AP=PB时，AB=6cm，

∵BP=AP=3cm，

t=3÷2=3/2（秒），

故点Q的运动速度为4÷32=8/3（厘米/秒）；

∴当点Q的运动速度为8/3（厘米/秒）时，△ACP与△BPQ全等

综上答案是2或8/3