高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案docx.docx

高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案docx.docx

《高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案docx.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案docx

第四章矩阵习题参考答案

一、判断题

1.对于任意n阶矩阵A，B，有ABAB.

错.

2.

如果A2

0,则A

0.

错.如A

1

1

0,但A0.

1

A2

1

3.

如果A

A2

E，则A为可逆矩阵.

正确.AA2

E

A（E

A）

E，因此A可逆，且A1

AE.

4.

设A,B都是n阶非零矩阵，且

AB0，则A,B的秩一个等于n，一个小于n.

错.由AB

0可得r（A）

r（B）

n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，

与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.

5．A,B,C为n阶方阵，若AB

AC,

则B

C.

错.如A

1

1

2

1

3

2

，有AB

AC,但BC.

1

B

2

C

3

2

1

1

6．A为mn矩阵，若r（A）

s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使

Is

0

PAQ

.

0

0

正确.右边为矩阵A的等价标准形，矩阵

A等价于其标准形.

7．n阶矩阵A可逆，则A*也可逆.

正确.由A可逆可得|A|

0，又AA*A*A

|A|E.因此A*也可逆，且

（A*）11

A.

|A|

8．设A,B为n阶可逆矩阵，则（AB）*B*A*.

正确.（AB）（AB）*|AB|E

|A||B|E.又

（AB）（B*A*）A（BB*）A*A|B|EA*|B|AA*|A||B|E.

因此（AB）（AB）*（AB）（B*A*）.由A,B为n阶可逆矩阵可得

AB可逆，两边同时左乘

式AB的逆可得（AB）*

B*A*.

二、选择题

1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵（BT

B）,则下列矩阵中为反对称

矩阵的是（B）.

（A）ABBA（B）

AB

BA（C）（AB）2

（D）

BAB

（A）（D）为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（C）当A,B可交换时为对称矩阵.

2.设A是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.

（A）ATA（B）AAT（C）A2（D）ATA

3．以下结论不正确的是（C）.

（A）如果A是上三角矩阵，则A2也是上三角矩阵；

（B）如果A是对称矩阵，则A2也是对称矩阵；

（C）如果A是反对称矩阵，则A2也是反对称矩阵；

（D）如果A是对角阵，则A2也是对角阵.

4．A是mk矩阵,B是kt矩阵,若B的第j列元素全为零，则下列结论正确

的是（B）

（A）AB的第j行元素全等于零；（B）AB的第j列元素全等于零；

（C）BA的第j行元素全等于零；（D）BA的第j列元素全等于零；

5．设A,B为n阶方阵，

E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（

D）

（A）

（A

B）2

A2

2AB

B2

（B）

A2

B2

（A

B）（A

B）

（C）

（AB）

2

A2B2

（D）

A2

E2

（A

E）（A

E）

6．下列命题正确的是（

B）.

（A）

若AB

AC，则B

C

（B）

若AB

AC，且A

0

，则B

C

（C）

若AB

AC，且A

0，则B

C

（D）

若AB

AC，且B

0,C0，则B

C

7.A是mn矩阵，B是nm矩阵，则（B）.

（A）当m

n时，必有行列式

AB

0

；

（B）当m

n时，必有行列式

AB

0

（C）当n

m时，必有行列式

AB

0

；

（D）当nm时，必有行列式AB0.

AB为m阶方阵，当mn时，r（A）n,r（B）n,因此r（AB）nm，所以

AB0.

8．以下结论正确的是（C）

（A）如果矩阵A的行列式A0,则A0；

（B）如果矩阵A满足A20，则A0；

（C）n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；

（D）对任意方阵

A,B，有（A

B）（AB）

A2

B2

9．设

1,2,

3,

4是非零的四维列向量，A

（1,

2,

3,4）,A*为A的伴随矩阵，

已知Ax

0的基础解系为（1,0,2,0）T，则方程组

A*x

0的基础解系为（

C）.

（A）1,

2,

3.

（B）1

2,2

3,31.

（C）2,3,4.

（D）1

2,

2

3,3

4,4

1.

1

由Ax0的基础解系为（1,0,2,0）

T可得（1,

2,3,

4）

0

0,123

0.

2

0

因此（A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（C）.由

D）显然为线性相关的，因此答案

A*A

A*（

1,

2,

3,

4）

（A*

1,A*

2,A*

3,A*

4）

O

可得

1,

2,

3,

4均为

A*x

0的解.

10.设A是n阶矩阵，

A适合下列条件（

C

）时，

In

A必是可逆矩阵

（A）An

A

（B）

A是可逆矩阵

（C）

An

0

（B）A主对角线上的元素全为零

11

．n阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（

D

）

（A）A1（B）A0（C）AAT（D）

A

0

12

．A,B,C均是n阶矩阵，下列命题正确的是（

A

）

（A）若A是可逆矩阵，则从ABAC可推出BACA

（B）若A是可逆矩阵，则必有ABBA

（C）若A

0，则从ABAC可推出BC

（D）若B

C，则必有AB

AC

13．A,B,C均是n阶矩阵，E

为n阶单位矩阵，若

ABC

E，则有（C）

（A）ACB

E（B）BAC

E（C）BCA

E（D）

CBA

E

14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（

D

）

（A）若A是可逆矩阵，则A*也是可逆矩阵；

（B）若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；

（C）

若A*

0，则A是可逆矩阵；

（Ｄ）AA*

A.

AA*

AE

n

A.

15．设A是5阶方阵，且

A

0，则A*

（Ｄ

）

（A）

A

（B）

A

2

3

（D）

4

（C）

A

A

16．设A*是A

（aij）nn的伴随阵，则

A*A中位于（i,j）的元素为（Ｂ

）

n

n

n

n

（A）

ajk

Aki（B）

akjAki

（C）

ajkAik

（D）

aki

Akj

k1

k1

k1

k

1

应为A的第i列元素的代数余子式与

A的第j列元素对应乘积和.

a11

L

a1n

A11

L

A1n

17.设A

L

L

L

B

L

L

L

其中Aij是aij

的代数余子式，则（C）

an1

L

ann

An1

L

Ann

（A）A是B的伴随（B）B是A的伴随（C）B是A的伴随

（D）以上结论都不对

18．设A,B为方阵，分块对角阵

C

A

0

*

（

Ｃ）

0

则C

B

（A）

A*

0

（B）

AA*

0

C

0

B*

C

BB*

0

（C）

C

BA*

0

（D）

ABA*

0

0

AB*

C

0

ABB*

利用CC*

|C|E验证.

4

6

1

3

5

19．已知A

B

4

，下列运算可行的是（C

）

1

2

2

6

（A）

AB

（B）

AB

（C）

AB（D）

AB

BA

20．设A,B是两个mn矩阵，C是n阶矩阵，那么（D）

（A）C（AB）CACB

（B）（ATBT）CATCBTC

（C）CT（AB）CTACTB

（D）（AB）CACBC

21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB

BA，那么B是一个（

Ｃ

）

（A）

对称阵

（B）对角阵

（C）

数量矩阵

（D）

A的逆矩阵

与任意一个n阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.

22．设A是一个上三角阵，且

A

0

，那么A的主对角线上的元素（

Ｃ

）

（A）

全为零

（B）只有一个为零

（C）至少有一个为零

（D）可能有零，也可能没有零

23．设A

1

3

D

2

，则A1

（

）

0

0

1

0

1

0

1

0

1

2

3

3

2

（A）

（B）

（C）

（D）

1

1

1

1

1

1

1

1

3

6

3

6

2

6

3

6

a1b1

24．设Aa2b2

a3b3

100

（A）001

020

c1

a1

c1

2b1

c2

，若AP

a2

c2

2b2

，则P

（B

）

c3

a3

c3

2b3

1

0

0

0

0

1

2

0

0

（B）0

0

2

（C）0

2

0

（D）0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

a

a

L

a

a

1

a

L

a

25．设n（n

3）阶矩阵Aa

a

1

L

a，若矩阵A的秩为1，则a必为（A）

L

L

L

L

L

a

a

a

L

1

（A）1

（B）-1

（C）

1

（D）

1

n

n1

1

矩阵A的任意两行成比例.

26.设A,B为两个n阶矩阵,现有四个命题:

①若A,B为等价矩阵,

则A,B的行向量组等价;

②若A,B的行列式相等

即|A||B|,则A,B为等价矩阵;

③若Ax0

与Bx0

均只有零解,则A,B为等价矩阵;

④若A,B为相似矩阵,

则Ax

0

与Bx

0解空间的维数相同.

以上命题中正确的是（

D）

（A）①,③.

（B）

②,

④.

（C）

②,③.（D）③,④.

当BP1AP时，A,B为相似矩阵。

相似矩阵的秩相等。

齐次线性方程组基础解系所含

解的个数即为其解空间的维数。

三、填空题

1．设A为三阶方阵，

A*为A的伴随矩阵，有A

2，则（1

A）1

3

A*|A|A1

2A1，（1

A）1

3A1，因此

（1A）1

3

2A*

3A1

4A1

A

1

（1）3A

1

3

2A*

1

.

2

2．设A,B为4阶方阵，且A3，则（3A）11/27,BA2B19。

3．设A是一个mn矩阵，B是一个ns矩阵，那么是（AB）'一个sm阶矩阵，它的

n

第i行第j

列元素为

ajkbki.

k

1

4.n阶矩阵A可逆

A非退化

|A|

0

A

与单位矩阵等价

A

可以表示为一系列初等矩阵的乘积.

a

0

0

bc

0

0

4.三阶对角矩阵A

0

b

0，则A的伴随矩阵A*

=

0

ac

0.

0

0

c

0

0

ab

1

2

3

1A.

5．设A

023，则（A*）1

0

0

3

6

（A*）1

A

|A|

0

a1

0

L

0

0

0

a2

L

0

6．设ai

0,i

1,2,L

n，矩阵

L

L

L

L

L

的逆矩阵为

0

0

0

L

an1

an

0

0

L

0

0

0

L

0

an

1

a1

0

L

0

0

1

0

a1

L

0

0.

2

L

L

L

L

L

0

0

L

a

1

0

n1

7．设A,B都是可逆矩阵，矩阵

C

0

A

的逆矩阵为

0

B1

.

B

0

A1

0

8．设A

1

2

1

3

C

3

1

B（2A

C）

（

）．

3

B

2

4

2

，则

4

4

9．A既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则

A为

零

矩阵.

b1

x1

c1

b1

y1

c1

10．设方阵A

b2

x2

c2

，B

b2

y2

c2

，且A

2,B

3则行列式

b3

x3

c3

b3

y3

c3

AB

4

.

b1

x1

c1

b1

y1

c1

2b1

x1

y1

2c1

b1

x1

y1

c1

|AB|b2

x2

c2

b2

y2

c2

2b2

x2

y2

2c2

4b2

x2

y2

c2

b3

x3

c3

b3

y3

c3

2b3

x3

y3

2c3

b3

x3

y3

c3

b1

x1

c1

b1

y1

c1

4b2

x2

c2

4b2

y2

c2

4

（2）434.

b3

x3

c3

b3

y3

c3

11．设A为m阶方阵，B为n阶方阵，已知A

a,B

b，则行列式

0

A

1）mnab.

B

（

0

将A的各列依次与B的各列交换，共需要交换

mn次，化为

A

0

0

B

12．设A为n阶方阵，且

A

0

，则在A等价关系下的标准形为

n阶单位矩阵.

1

2

2

13.设A

2

1

a

（a为某常数），B为4

3

的非零矩阵，且BA

0，则矩阵B的

3

1

1

秩为

1.

由BA

0可得A的各列为齐次线性方程组

Bx

0

的解，A的前两列线性无关，因此

Bx0的基础解系至少有两个解，因此

r（B）

1.又B为非零矩阵，因此

r（B）

1.即

r（B）

1.

四、解答下列各题

1．求解矩阵方程

2

5

4

6

2

1

1

1

1

3

（1）

X

;

（2）

X

2

1

0

1

3

2

1