高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案docx.docx

1、高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案docx第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意 n 阶矩阵 A ， B ，有 A B A B .错.2.如果 A20, 则 A0 .错 . 如 A110, 但A 0 .1, A213.如果 AA2E ，则 A 为可逆矩阵 .正确 . A A2EA( EA)E ，因此 A 可逆，且 A 1A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则 A, B 的秩一个等于 n ，一个小于 n .错 . 由 AB0 可得 r ( A)r (B)n . 若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆， 另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾 . 只可能两个秩都

2、小于 n .5 A, B, C 为 n 阶方阵，若 ABAC ,则 BC.错 . 如 A112132，有 ABAC ,但 B C .1, B2, C32116 A 为 m n 矩阵，若 r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 . 右边为矩阵 A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形 .7 n 阶矩阵 A 可逆，则 A * 也可逆 .正 确 . 由 A 可 逆 可 得 | A |0 ， 又 AA* A* A| A | E . 因 此 A * 也 可 逆 ， 且( A*) 1 1A .| A |8设 A, B 为 n 阶可逆矩阵，则 (

3、AB)* B * A* .正确 . ( AB)( AB)* | AB | E| A | B | E. 又( AB)( B * A*) A( BB*) A* A | B | EA* | B | AA* | A | B | E .因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) . 由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得 ( AB)*B * A * .二、 选择题1设 A 是 n 阶对称矩阵， B 是 n 阶反对称矩阵 (BTB) , 则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B)ABBA (C)( AB)2(D)BAB(A)(

4、D) 为对称矩阵， （ B）为反对称矩阵， （ C）当 A, B 可交换时为对称矩阵 .2.设 A 是任意一个 n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵 .(A) AT A (B) A AT (C) A2 (D) AT A3以下结论不正确的是（ C ） .(A)如果 A 是上三角矩阵，则 A2 也是上三角矩阵；(B)如果 A 是对称矩阵，则 A2 也是对称矩阵；(C)如果 A 是反对称矩阵，则 A2 也是反对称矩阵；(D)如果 A 是对角阵，则 A2 也是对角阵 .4 A 是 m k 矩阵 , B 是 k t 矩阵 , 若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ B ）( A) AB 的

5、 第 j 行 元 素 全 等 于 零 ； ( B) AB 的 第 j 列 元 素 全 等 于 零 ；( C) BA 的 第 j 行 元 素 全 等 于 零 ； ( D) BA 的 第 j 列 元 素 全 等 于 零 ；5 设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A)( AB)2A22 ABB2(B)A2B2( AB)( AB)(C)( AB)2A2 B2(D)A2E 2( AE)( AE)6下列命题正确的是（B ） .(A)若 ABAC ，则 BC(B)若 ABAC ，且 A0，则 BC(C)若 ABAC ，且 A0 ，则 BC(D)若 ABAC ，且

6、 B0, C 0 ，则 BC7.A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 mn 时，必有行列式AB0；(B) 当 mn 时，必有行列式AB0(C) 当 nm 时，必有行列式AB0；(D)当 n m 时，必有行列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以AB 0 .8以下结论正确的是（ C ）(A)如果矩阵 A 的行列式 A 0 , 则 A 0 ；(B) 如果矩阵 A 满足 A2 0 ，则 A 0；(C)n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵A,

7、B ，有 ( AB)( A B)A2B29设1 , 2 ,3 ,4 是非零的四维列向量， A( 1 ,2 ,3 , 4 ), A * 为 A 的伴随矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组A * x0 的基础解系为（C ） .（ A） 1 ,2 ,3 .（ B） 12 , 23 , 31 .（ C） 2 , 3 , 4 .（ D） 12 ,23 , 34 , 41 .1由 Ax 0 的基础解系为 (1,0, 2,0)T 可得 ( 1 ,2 , 3 ,4 )00, 1 2 30 .20因此（ A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（ C） . 由D）显然为线性相

8、关的，因此答案A* AA*(1 ,2 ,3,4 )( A *1, A*2 , A*3 , A *4 )O可得1 ,2 ,3 ,4 均为A* x0 的解 .10. 设 A 是 n 阶矩阵，A 适合下列条件（C）时，I nA 必是可逆矩阵(A) AnA(B)A 是可逆矩阵(C)An0(B)A 主对角线上的元素全为零11 n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A) A 1 (B)A 0 (C) A AT (D)A012 A, B, C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C)

9、若 A0 ，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若 BC ，则必有 ABAC13 A, B,C 均是 n 阶矩阵， E为 n 阶单位矩阵，若ABCE ，则有（ C ）(A) ACBE （ B） BACE （ C） BCAE (D)CBAE14 A 是 n 阶方阵， A* 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A* 也是可逆矩阵；(B) 若 A 是不可逆矩阵，则 A* 也是不可逆矩阵；(C)若 A*0 ，则 A 是可逆矩阵；（） AA*A .AA*A EnA .15设 A 是 5 阶方阵，且A0 ，则 A*（ ）(A)A(B)A23(D)4(C)AA16设 A*

10、 是 A(aij )n n 的伴随阵，则A* A 中位于 (i , j) 的元素为（）nnnn(A)a jkAki (B)akj Aki(C)a jk Aik(D)akiAkjk 1k 1k 1k1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11La1nA11LA1n17. 设 ALLL,BLLL, 其中 Aij 是 aij的代数余子式， 则（ C ）an1LannAn1LAnn(A) A 是 B 的伴随 (B) B 是 A 的伴随 (C) B 是 A 的伴随(D)以上结论都不对18设 A, B 为方阵，分块对角阵CA0*( )0, 则 CB(A)A*0(B)A

11、 A*0C0B*CB B*0(C)CB A*0(D)A B A*00A B*C0A B B*利用 CC*| C | E 验证 .4613519已知 A, B4，下列运算可行的是（C）1226(A)A B(B)A B(C)AB (D)ABBA20设 A, B 是两个 m n 矩阵， C 是 n 阶矩阵，那么（ D ）(A)C ( A B) CA CB(B)( AT BT )C AT C BT C(C) C T ( A B) C T A C T B(D)( A B)C AC BC21对任意一个 n 阶矩阵 A ，若 n 阶矩阵 B 能满足 ABBA ，那么 B 是一个（）(A)对称阵(B) 对角阵

12、(C)数量矩阵(D)A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵 .22设 A 是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）至少有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23设 A13D2，则 A 1（）0010101012332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1 b124 设 A a2 b2a3 b31 0 0(A)0 0 10 2 0c1a1c12b1c2，若 APa2c22b2，则 P（ B）c3a3c32b3100001200（ B） 002（ C） 020（D） 0010101000101

13、aaLaa1aLa25设 n(n3) 阶矩阵 Aaa1La ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）LLLLLaaaL1(A) 1（ B） -1（C）1（D）1nn 11矩阵 A 的任意两行成比例 .26.设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :若 A, B 为等价矩阵 ,则 A, B 的行向量组等价 ;若 A, B 的行列式相等, 即 | A | | B |, 则 A, B 为等价矩阵 ;若 Ax 0与 Bx 0均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ;若 A, B 为相似矩阵 ,则 Ax0与 Bx0 解空间的维数相同 .以上命题中正确的是 (D )(A) , .(B

14、) ,.(C) , .(D) , .当 B P 1 AP 时， A, B 为相似矩阵。 相似矩阵的秩相等。 齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。三、填空题1设 A 为三阶方阵，A* 为 A 的伴随矩阵，有 A2 ，则 ( 1A) 13A* | A | A 12A 1 ， ( 1A) 13 A 1 ，因此( 1 A) 132 A*3A 14A 1A1( 1)3 A132A *1.22设 A, B 为 4 阶方阵，且 A 3 ，则 (3A) 1 1/27 , BA2 B 1 9 。3设 A 是一个 m n 矩阵， B 是一个 n s矩阵，那么是 ( AB ) 一个 s m 阶矩阵

15、，它的n第 i 行第 j列元素为a jk bki .k14. n 阶矩阵 A可逆A 非退化| A |0A与单位矩阵等价A可以表示为一系列初等矩阵的乘积.a00bc004. 三阶对角矩阵 A0b0 ，则 A 的伴随矩阵 A*=0ac0 .00c00ab1231 A .5设 A0 2 3 ，则 ( A* ) 10036( A*) 1A| A |0a10L000a2L06设 ai0, i1,2,Ln ，矩阵LLLLL的逆矩阵为000Lan 1an00L000L0an1a 10L0010a 1L00 .2LLLLL00La10n 17设 A, B 都是可逆矩阵，矩阵C0A的逆矩阵为0B 1.B0A 1

16、08设 A1213, C31B(2 AC)（）3, B242，则449 A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为零矩阵 .b1x1c1b1y1c110设方阵 Ab2x2c2， Bb2y2c2，且 A2, B3 则行列式b3x3c3b3y3c3A B4.b1x1c1b1y1c12b1x1y12c1b1x1y1c1| A B | b2x2c2b2y2c22b2x2y22c24 b2x2y2c2b3x3c3b3y3c32b3x3y32c3b3x3y3c3b1x1c1b1y1c14 b2x2c24 b2y2c24 ( 2) 4 3 4.b3x3c3b3y3c311设 A 为 m 阶方阵， B 为 n

17、 阶方阵，已知 Aa, Bb ，则行列式0A1) mn ab .B(0将 A 的各列依次与 B 的各列交换，共需要交换mn 次，化为A00B12设 A 为 n 阶方阵，且A0，则 在 A 等价关系下的标准形为n 阶 单位矩阵 .12213. 设 A21a（ a 为某常数），B 为 43的非零矩阵， 且 BA0 ，则矩阵 B 的311秩为1 .由 BA0 可得 A 的各列为齐次线性方程组Bx0的解， A 的前两列线性无关，因此Bx 0 的基础解系至少有两个解，因此r ( B)1. 又 B 为非零矩阵，因此r ( B)1 . 即r ( B)1.四、解答下列各题1求解矩阵方程2546211113(1)X;(2)X2101321