精品试论中学数学函数最值问题的求法Ydoc.docx
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试论中学数学函数最值问题的求法
摘要：
关于函数的值域与最值的求法，是高中数学教学中的一个难点，也是一个重点。
在现行高中教材中没有专门安排有关内容作出介绍，但在高中数学教学中、练习、习题中，乃至高中毕业会考题中、高考题中，却处处可遇到求函数值域与最值的问题。
因此，我们有必要对求函数的值域与最值的方法作出充分的归纳与认识。
本文就高中数学的要求，对常见的一些方法作出下列归纳与介绍。
关键词：
函数的值域,函数的最值，方法。
Abstract:
concerningthedomainandthemostvaluefunctionofsapce,isoneofthehighschoolmathematicsteachingdifficulty,isalsoakeypoint.Inthecurrentseniorhighschooltextbooknospecificarrangementsrelatedcontenttointroduce,butinthehighschoolmathematicsteaching,practiceandexercises,andevenhighschoolgraduationwillexaminationquestion,theuniversityentranceexamquestions,everywherehowevercanencounterswiththemostvalueoffunctiondomainproblem.Therefore,itisnecessaryforustoaskthedomainandthemostvaluefunctionmethodtomakesufficientsummedupandunderstanding.Thispaperisthehighschoolmathematics,attherequestofsomecommonmethodstomakethefollowingsummedupandintroduction.
Keywords:
functiondomain,themaximumorminimumvalueofthefunction,method
引言
求函数的函数的最值问题常和求函数的值域紧密相关，函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求岀了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域,反Z,—个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。
但是，在许多常见的函数屮，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。
最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占有比较重耍的位置，是历年高考重点考查的知识点Z-,也是近儿年数学竞赛中的常见题型。
在高考中，它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些儿何知识紧密联系，并以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现。
由于其解法灵活，综合性强，能力耍求高，故而解决这类问题，耍掌握齐数学分支知识，能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法。
本文现拟对求函数最值问题的方法作一个综述，以便于广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法。
其中，本文大致按八个方面分类选谈求函数最值问题的方法，它们分别是：
判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、儿何法、构造方差法、复数法和导数法。
1•判别式法
若函数y二/（x）可化成一个系数含有y的关J'%的二次方程：
a（y）x2+b（y）x+c（y）=O。
在°（刃工0吋，由Txyy为实数，则有A=/r（y）-Myk（y）>0,由此可以求出y所在的范围，确定函数的最值。
例1.1（1987,江苏省初中数学竞赛）已知戸+/=2,其屮是实数，则p+q的最大值为。
解:
设s=p+g,由+g3=2得，（p+q）（p?
+-pq）=2
（p+q）[（p+q）2-3p]q=2
（p+q）‘_3卩s+g）=2
1717
.・.pq=丄（$2一±）.・.p,g是方程X2-5X+-（52--）=0的两个实根.
3s3s
3s
整理化简，得?
<8,故M2・即p+q的最大值为2
例1.2（1993,全国高屮数学联赛）实数满足4x2-5x^+4/=5,设5=+则丄+丄的值为。
44
解：
由题意知,xy=-s-l,故（xy）2=（-5-l）2
乂F+员=$...”,『2是方程f2_st*<$一]）2二。
的两个实根.
Ara/4z39232八c
二△=—4（—$—1）。
=S*d5—4>0
5255
10
13,max
2.函数的单调性法
当自变量的取值范用为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。
若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。
若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。
例2.1求函数f（x）=yJSx-x2-V14x-x2-48的最小值和最大值。
Qr_y2>A
解:
先求定义域，由h丄心得6*8
乂•・•f（X）=yl8-X^y[x-y/x-6^
6丁8-兀
y/x+yfx-6
xg[6,8]
故当AG[6,8],且X增加吋，yJx+y/x-6增大，而7§二7减小•丁•是/⑴是随着X的增大而减小，即/⑴在区间[6,8]±是减函数，所以
H（8）=0,/_（%）=/（6）=2^3
例2.2求函数尸一,-x2-2x+52
解:
"Hl
_x-1_1
）（兀一1）「+4兀_]+丄
X-1
”当打心1吋，有
444
/（$2）-/4）=（『2-G+（）=（Z2一GO）<0
，24也
5）“+扌在1,1上是减函数，因此/min（r）=/（!
）=5，.為（”鸥）=¥
2
~n
）11U1X
3.均值不等式法
均值不等式：
设4，°2，.・・，。
“是斤个正数，则有均、站61如・化，其中等号成立的条件是a}=a2=...=an。
运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可。
“正”是指各项均为正数,这是前提条件「'定”是指各项的和或积为定值;
“等”是等号成立的条件。
例3.1（1990,全国高中数学联赛）设n为自然数，⑦方为实数，且满足a+b=2，贝U——+―!
一的最小值是。
1+a"1+b"
解：
•・•a,b〉0・由均值不等式得，ab<（旦尸=1/.anbn<1
2
11l+Z/+l+d"l+Z/+l+d"―
1+d"1+b"（l+a"）（l+Zf）l+b"+N7/+"
当且仅当a"=1吋,上式取等号•故丄+丄的最小值是1
l+a“1+b"
例3.2（1997,全国高屮数学联赛）设a=lgz+lg[x（w）J+1]，
b=\gx'}+lg（A>z+l）,c=\gy+lg[（xyz）“+1],记a,b,c中最大数为M,则M的最小值为o
解:
由已知条件得a=lg（xy_,+z）,b=\g（yz+x~'\c=lg[（xz）_,+y]
设+z,yz+才,（xz）T+y中的最小数为A,则M=IgA
由已知条件知，x,y,zw/T,于是
A2>（xy_l+z）[（xz）T+y]=[（yz）~'+^]+（x+x_l）>2+2=4
所以，A>2,且当x=y=z=时，A=2,故4的最小值为2，从而M的最小值为lg2
注:
在用均值不等式求函数的最值时，往往需耍配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的问题。
例3.3（1994,全国高屮数学联赛）设则sin0（l+cos?
）的最大值22
是0
解：
由0v0v兀，有sin?
〉（）
2
7.00070
乂tsin—（1+cos—）=2sin—cos~—
2222
V2j2sin2-|
709
cos~—cos"
2
•2〃2e2e_
2sin—cos—cos—人£222、3_4"3
3）
其+当2sin2—=cos2@时，上式等号成立，即0=2arccot41时成立，故
22
sin—（1+cos0）的最大值为纟3
29
4.换元法
用换元法求函数最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替，达到化繁难为简易，化陌生为熟悉，从而使原问题得解。
换元法通常有三幷代换和代数代换两种。
例4.1正数满足-+-=1,其中。
方为不相等的正常数，求兀+y的最小值。
解：
令亠厶上=亠,s〉o
xu+vyv
则兀+汁咚也+如巴
6z+/?
+—+—>a+b+2y[ab=（奶+丽）UVUV\）
当且仅当2弋,即丽2*u时上式取等号•故（x+刃俪=（丽+丽）'例4.2（第九届“希望杯”全国数学邀请赛）实数兀,y适合条£<£+），52,
则函数2x2+3xy+2）"的值域是
解：
由已知可设，x=kcos0.y=sin0,其中1「22
3则s=2x2+3卩+2y2=2k2cos2&+3疋sin&cos&+2k2sin20=2^2+-k2sin20
:
.当k=近,sin2&=l,即&二仝，x=y=l时，5niax=7；当k=\,sin2&=-l,"11l<4A
即0=--9
4
孕,
^inin=-.故2疋+3小+2代的值域是1,7
iiiiii2**2
5.几何法
某些二元函数最值问题具有图形背景，这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定儿何意义的代数表达式，再利用儿何图形,对函数最值作出直观的说明和解释。
根据函数所表示的儿何意义，我们可以将函数分为以下儿种：
5.1可视为直线斜率的函数的最值
例5.1.1求函数的最小值。
x+2
解:
令=y,则/（兀）=&「」）二注且扌+才=1（沖0）,丁是问题转
xI2
化为：
的连线AP的斜率的最值（如图）•显然，当点P与点
当点P（x,y）在上半个单位圆x24-y2=l（y>0）±运动时，求A（-2,-1）与P（x,y）
重合时，直线AP的斜率最小，此时KA8=-・当直线4P与上半个单位圆x2+y2=l（y>0）相切时，直线AP的斜率最大.
设Kap=K,则直线AP的方程为y+\=K（无+2）
•・•直线AP与上半个单位圆x2+于=1（y>0）相切
5・2可视为距离的函数的最值
例5.2.1
（1992,
全国高中数学
/（x）=y/x4-3x2-6x+13-Vx4-x2+1的最大值是o
解：
将函数式变形，得
f（X）-J（X-3）2+（兀2-2）2_J（X_0）2+（%2_1于可知函数y=/（x）的儿何意义是：
在抛物线y=x2±的点P（x,x2）分别到点4（3,2）和点B（0,l）的距离Z差，现求其最大值.
由||PA|-|PB||S|AB|知，当P在佔的延长线上P处时，/⑴取得最大值|AB|•••"⑴h=IASI=北3-0）'+（2-1）2=顶
5.3可视为曲线截距的函数的最值
例5.3.1（1990,高考理工科试题）求函数v=sinucosw+sinw+cosu的最大值。
解：
令cosu=x,s\nu=y,则v=xy+x-^-yf且F+y?
=1・则问题转化为:
-y+v
y=
当点（兀y）在单位圆A+才=1上运动时，求双曲线族xy^+x+y-v=O（视卩为常
数）在y轴上的截距y的最大值.
当心一1时，由方程巧+x+y-v=O得
-x+V
由此可知：
当yT-1时，XT0O；当XT-1时，yTOO
・•・此双曲线族有公共的渐进线x=-l和y=-l,有公共的中心O'（-1,-1）
由此不难得出，当双曲线族xy+x+y-v=（）与单位圆x2+y2=1切于点
时,纵截距”取得极大值卜『吗+屁I,故所求纵截距V的极
大值就是最大值.
因此，所求函数卩的最大值为-+V22
6.构造方差法
设"个数据X],X2，・・・,X”的平均数为X，则其方差为
—（Jl+sinx）+（—sinx）—（Jl+sinx+>J\—sinx）解得y2<4.故儿沐=2
例6.2（加拿大第七届中学生数学竞赛试题）确定最大的实数乙，使得实数
满足：
x+y+z=5,xy+yz+zx=3
解：
由己知得,x+y=5—z,=3-z（x+y）=3-z（5-z）=Z2-5z+3
f）-扣+卄
|^（5-z）2-2（r-5z+3
>0
3^2-10z-13<0
解得-m2故z的最大值为-
33
注：
对丁例1,我们也可以用构造方差法來求解，解题过程如下：
解法2：
不妨设〃+q=则由已知p'+q‘=2,即（p+q）（p‘一pq）=2
i/2、
得k（k?
_3pq）=2:
・pq=q「一二
XvP，q的方差是
2古讪-2pq
=--k2--（k2--）>0
2[_23k」
Q
即3k2>4k2——,由此判定k〉0,解得O<^3<8,即0故p+q的最大值为2
7・复数法
用复数的方法解函数的最值，就是运用复数的模以及绝对不等式的性质来解题。
复数的模的不等式:
憾卜1勺±乙2卜|知|+韵
例7.1求函数y=Jr2+1+J（12-x『+16的最小值。
解：
令召=兀+「,乙2=12—x+4i
则y=7?
TT+J（12—卄+16=|胡+|?
2恰忆+°|=卩2+5补=13
其中，当且仅当勺=Az2（A>0）时,上述不等式取等号.
1?
7
由两个复数相等的条件可求得，A=-,x=-.•.当x=-Ut,函数yn,n=13
455
例7.2已知兀，”z是不全为零的非负实数，求
Io7IoIoo
収+）厂+小+J*+旷+>7+后+对+◎U=-:
:
:
x+y+z
的最小值。
解：
设勺巧+拿让严+?
+£力
贝|Jy]x2+y2+xy+yjy2+z2+yz++x2+zx
Zil+BI+kl
'Zi+e+e
=|（兀+y+z）+£（兀+y+z）i
=a/3|x+y+^|=V3（x+y+z）
.・.w>a/3,当且仅当arg知=arg=arg,即x=y=z〉0时，等号成立.
8.导数法
设函数/⑴在［a问上连续,在仏b）上可导，则/⑴在［讷上的最大值和
最小值为/（x）在（a,方）内的各极值与/（«）,/（/?
）中的最大值与最小值。
要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数似的最值，通常都用该方法。
导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视。
例8.1求函数/（x）=x3-3x~+6x-2,xe[-l,l]的最大值和最小值。
解：
/*（x）=3x2-6x+6,令厂⑴=0,方程无解.
v/,（x）=3x2-6x+6=3（x-1）2+3>0.・.函数/⑴在xe[-l,l]±是增函数.
故当x=-l时’九（兀）=/、（—1）=—12,当兀=1时，=/（!
）=2
例8.2求数列
/z+10000
»的最大项。
10000-x
解：
设/（X）=7710000'则厂⑴一2旅（x+1oooo）2
令厂（X）=0,则得X=10000,/（10000）=
乂••/（"）=10001，!
史/（兀）=吸X+10000=0
将/（1（）000）,/⑴及lhnf（x）加以比较，得/（兀）的最大值为/（10000）=金
・•・数列的最大项为第1（）（）（）（）项,这一项的值为丄
+10000]200
以上就是本文整理岀的有关丁求函数最值问题的八种解法。
当然解函数最值问题的方法不止这些，例如：
二次函数法，反函数法，配方法等等。
这里只是对求最值问题的方法作部分的归纳,具体的方法还有待读者去进一步的发现和总结。
由于最值问题的解题方法的灵活多样性，所以教师在对最值问题的教学活动中,M重视思想方法的渗透，把建构和发展学生数学思维作为教学活动的一项重耍任务。
参考文献：
（1）求儿类无理函数值域的方法[J]・甘肃教育■王菊萍2007年
（2）求函数值域的方法简介[J]・中国基础教育研究・赵建新2007年
一月第一期
（3）例析求三角函数值域的方法[J]・数理化学习：
高中版・侯守
（4）《中学数学方法与能力培养》［M］,贾士代主编
（5）《高中总复习教学参考》［M］天津教育出版社
（6）《中学数学教材分析》［M］云南教育岀版社
（7）《中学数学教与学》［J］93年第1期
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