《流体力学》典型例题讲课稿.docx

《流体力学》典型例题讲课稿.docx

《《流体力学》典型例题讲课稿.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《流体力学》典型例题讲课稿.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《流体力学》典型例题讲课稿

《流体力学》典型例题

《例题力学》典型例题

例题1：

如图所示，质量为m＝5kg、底面积为S＝40cm×60cm的矩形平板，以U＝1m/s的速度沿着与水平面成倾角

＝

的斜面作等速下滑运动。

已知平板与斜面之间的油层厚度

＝1mm，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。

求油的动力粘性系数。

解：

由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力

又因等速运动，惯性力为零。

根据牛顿第二定律：

，即：

例题2：

如图所示，转轴的直径d＝0.36m、轴承的长度l＝1m，轴与轴承的缝隙宽度

＝0.23mm，缝隙中充满动力粘性系数

的油，若轴的转速

。

求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

解：

由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力

粘性阻力（摩擦力）：

克服油的粘性阻力所消耗的功率：

例题3：

如图所示，直径为

的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为

，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度

旋转，此时所需力矩为

，求间隙厚度

的表达式。

解：

根据牛顿黏性定律

例题4：

如图所示的双U型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度

（取管中水的密度

＝1000kg/m3）。

解：

根据等压面的性质，采用相对压强可得：

例题5：

如图所示，U型管中水银面的高差h＝0.32m，其他流体为水。

容器A和容器B中心的位置高差z＝1m。

求A、B两容器中心处的压强差（取管中水的重度

＝9810N/m3，水银的重度

＝133416N/m3）。

解：

根据等压面的性质可得：

，

，

例题6：

如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H＝1.2m，长L＝3m，静止时盛水深度h=0.9m。

现水箱以

的加速度沿水平方向做直线运动。

若取水的密度

，水箱中自由水面的压强

＝98000Pa。

试求：

（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。

（2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度

。

解：

（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z轴垂直向上，x轴与加速度的方向一致。

则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为

代入非惯性坐标系中的压力全微分公式

，得

①

积分得

利用边界条件确定积分常数

：

在坐标原点O（

）处，

，得

由式①可得水箱内的压强分布

对于水箱中的等压面，有

，所以由式①可得等压面的微分方程

积分得

上式给出了一簇斜率为

的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数

。

因此自由水面方程为

（2）假设水箱以加速度

运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为

，则根据加速前后水的体积不变的性质可得

②

又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系

③

②和③式联立求解，得：

例题7：

有一盛水的旋转圆筒，直径D＝1m，高H＝2m，静止时水深为h＝1.5m。

求：

（1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度

应控制在多大？

（2）当

＝6rad/s时，筒底G、C点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？

解：

（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为

，则由：

，可推出自由水面（为一等压面）的方程：

根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：

由此可求得：

，带入自由表面方程得：

若使

达到某一最大值而水不溢出，则有

时，

，带入上式，得

（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为

将G点条件：

带入得：

同理，将C点条件：

带入得：

例题8：

如图所示为一圆柱形容器，直径为

，高

，容器内装水，水深为

，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速

。

解：

以自由液面的最低处为坐标原点，自由液面方程为

旋转后无水的体积为：

例9已知平面直角坐标系中的二维速度场

。

试求：

（1）迹线方程；

（2）流线方程；

（3）

时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度；

（4）涡量，并判断流动是否有旋。

解：

（1）将

代入迹线方程

得：

解这个微分方程得迹线的参数方程：

其中，

是积分常数（拉格朗日变数）。

消掉时间t，并给定

即可得到以

表示的流体质点

的迹线方程。

例如：

已知欧拉法表示的速度场

，求流体质点的迹线方程，并说明迹线形状。

将

代入迹线微分方程：

，得：

分离变量并积分，得：

从上两式中消去时间t得迹线方程：

即：

可见，该流场中流体质点的迹线为一双曲线。

（2）将

代入流线微分方程

得：

将

看成常数，积分上式得流线方程：

或

（3）由质点导数的定义可得流动在x和y方向的加速度分量分别为：

所以，

时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度为：

（4）由涡量的定义，对于题中所给的平面流动有：

所以流动无旋。

例10已知二维速度场为

，

。

（教材P68）

（1）证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动；

（2）求该二维流场的流函数；

（3）证明该流动为势流；

（4）求速度势函数。

解：

（1）平面流动判定

不可压缩流体平面流动的连续方程为

由已知条件可求

，

，可见速度分布满足连续方程。

故可以表示不可压缩流体的平面运动。

（2）流函数

的确定

按流函数定义和已知条件有

（1）

（2）

积分式

（1）得

（3）

为确定函数

，将式（3）对

求偏导，并按流函数定义令其等于

，即

（4）

由式（4）可以判定

，积分求

得

（5）

其中

为积分常数。

将式（5）代入式（3），得：

（3）有势流动判定

判定流动是否为有势流有两种方法。

方法一：

是直接利用速度场求旋度看其是否为零

由此可以判定流动为有势流。

方法二：

看流函数是否满足拉普拉斯方程（因为平面不可压缩势流同时存在流函数和势函数）：

流函数满足拉普拉斯方程，流动为势流。

（4）势函数

方法一：

按势函数定义和已知条件有

（6）

（7）

积分式（6）得

（8）

为确定函数

，将式（8）对

求偏导，并按势函数定义式（7）令其等于

，即

（9）

由式（9）可以判定

，积分求

得

（10）

其中

为积分常数。

将式（10）代入式（8），得：

方法二：

因已证明流动为有势流，则必然存在势函数，且

和

已知，可利用势函数的全微分：

，作不定积分求

：

例11：

证明：

所表示的流动是势流，并求出该流动的速度势函数。

解：

1）判断流动是否为势流

方法一

对于

平面内的流动，

说明流动无旋，所以是势流。

方法二

，

，

流函数

满足Laplace方程，所以流动是势流。

2）因为

所以

又因为

所以

，

于是

教材习题：

3.8三维不可压缩流场中

，

，且已知

处

，试求流场中的

表达式，并检验是否无旋？

解：

由连续方程

得：

积分得：

由

处

=0得：

c=0

所以流场中的

表达式为

由于

，

，

可见，当

时，该流体运动是无旋的；当

时，该流体运动是有旋的。

3.9已知二元流场的速度势为

（1）试求

和

，并检验是否满足连续条件和无旋条件。

（2）求流函数。

解：

（1）

，

由于

，满足连续方程；由于

，流动无旋。

（2）由流函数的定义：

积分式

得

将式③对x求偏导，并令其等于

，即

，可得

，

于是，流函数为：

3.10不可压缩流场的流函数为

（1）证明流动有势

（2）并求速度势函数。

（3）求（1，1）点的速度。

解：

（1）因为

，

所以，

，即流动无旋，也即有势。

（2）因为

，

所以，

对上式作不定积分得速度势函数：

（3）由

，

，得，（1，1）点的速度为：

，

即：

3.11已知

，

，试求此流场中在

，

点处的线变率、角变率和角速度。

解：

由

，

，

，

，得

线变率为：

，

角变率为：

角速度为：

例题12：

如图所示，有一水平放置的喷管水射流装置，由直管段和收缩形喷管组成，喷嘴与直管段的接头用螺栓连接。

水流从喷嘴喷出，冲击到一块垂直平板上。

已知：

喷管上游直管段的截面积

，水的压强

（表压，即相对于大气压的值），喷管出口截面积

。

若将射流视为不可压缩流体的稳态流动，且不计粘性和重力的影响。

试求：

（1）喷管与直管段接头处所受的拉力；

（2）平板所受的水流的冲击力。

解：

建立如图所示的坐标系，取x轴所在的水平面为基准面；选取控制体，确定控制面；分析控制体受力：

假定喷管壁面对水的作用力在水平方向的分量为

，沿x轴的负方向；垂直平板对射流的作用力为

，沿x轴的负方向。

对1－1和2－2截面列伯努利方程：

，将已知条件

，

，

（相对压强）代入伯努利方程，得：

（A）

又由质量守恒方程

，可得：

（B）

联立求解（A）和（B）可得：

，

，

。

（1）针对1－1和2－2截面间的控制体，列x方向的动量方程：

可求得喷管壁面对水流的作用力：

为正值，说明喷管壁面对水流的作用力方向与初始假定的方向相同，水流对喷管壁面沿水平方向的作用力

为

的反作用力，故有

，即喷管与直管段接头处所受的拉力为57.6N。

（2）针对2－2、3－4和4－4截面间的控制体（该控制体周围的压强均为大气压强，故不考虑压强引起的作用力），列x方向的动量方程：

可求得垂直平板对射流的作用力：

为正值，说明垂直平板对射流的作用力方向与初始假定的方向相同，射流对垂直平板的作用力

为

的反作用力，故有

。

例题13：

如图所示，将一平板放在自由水射流中，并垂直于射流的轴线，该平板截去射流的一部分

，并引起射流其余部分偏转角度

。

已知

，

（升/秒），

。

求射流对平板的作用力R及射流的偏转角

（不计摩擦力及水的重量的影响，取水的密度

）。

解：

建立坐标系，选取控制体，确定控制面。

分析受力（假定力的方向）：

由于不计摩擦力的影响，平板对射流只有沿垂直于平板方向的法向作用力

（假设其方向向左），而沿平行于平板方向的切向摩擦力

。

于是可列出x和y方向的动量方程：

根据已知条件和连续性方程：

将其他已知条件带入，可以求得：

，

射流对平板的作用力

，方向向右。

例题14：

如图所示连续管系中的90

渐缩弯管放在水平面上，管径

，

，入口处平均流速

，静压

（计示压强）。

如不计能量损失，试求支撑弯管在其位置所需的水平力？

解：

由

可得：

由

，得：

由

，得：

例题15：

离心式风机可采用如图3所示的集流器来测量流量，已知风机入口侧管道直径

，U形管读数

水与空气的密度分别为

，忽略流动的能量损失，求空气的体积流量

。

解：

针对在风机入口前断面1－1和U型管所在的风筒截面2－2列伯努里方程：

得

由静力学基本方程：

带入上式，得：

空气的体积流量