人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案.docx
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人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解及参考答案
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2020】人教版最新高中数学高考总复习椭圆习题及详解
及参考答案
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（附参考答案）
、选择题
A.∪
C.
∴－>>0，故选C.
2．（文）（20xx·瑞安中学）已知双曲线C的焦点、顶点分别恰好
是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）
∴a＝3，c＝5，∴b＝＝4，
轴上的椭圆，则α的取值范围是（
B.π2，34π
3π3π
D.34π，3π2
[答案]
∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
取值范围是（
[答案]
60°，则△F1PF2的面积是（
[答案]A
2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.
又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60
5．（20xx·××市模拟）若椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为（）
A．y＝±xB．y＝±2x
C．y＝±4xD．y＝±x
[答案]A
[解析]∵由椭圆的离心率e＝＝，∴＝＝，∴＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，选A.
6．（文）（20xx·××市模考）已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于（）
A.B.
C.D.45
5
[答案]A
[解析]设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，
又b2＝a2－c2＝（a＋c）（a－c）＝36，
故，∴，∴e＝＝.
（理）（20xx·北京崇文区）已知点F，A分别是椭圆＋＝1（a>b>0）
的左焦点、右顶点，B（0，b）满足·＝0，则椭圆的离心率等于（
A.
C.
[答案]B
[解析]∵＝（c，b），＝（－a，b），·＝0，∴－ac＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，
∴a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0，
∵e>0，∴e＝.
7．（20xx·浙江金华）若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若·＝0，则＋＝（）
A．2B.
C.D．3
[答案]A
[解析]设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a′，焦距为2c，则由条件知||PF1|－|PF2||＝2a′，|PF1|＋|PF2|＝2a，将两式两边平方相加得：
|PF1|2＋|PF2|2＝2（a2＋a′2），
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴a2＋a′2＝2c2，
∴＋＝＋＝＝2.
8．（20xx·重庆南开中学）已知椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：
①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝；正确结论的个数为（）
A．3B．2
C．1D．0
[答案]A
[解析]∵a＝2，∴△ABF1的周长为|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故①正确；
∵F2（，0），∴l：
y＝x－，原点到l的距离d＝＝1，故②正确；将y＝x－代入＋＝1中得3x2－4x＝0，∴x1＝0，x2＝，∴|AB|＝＝，故③正确．
9．（文）（20xx·北京西××区）已知圆（x＋2）2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2,0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
[答案]B
[解析]点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．
（理）F1、F2是椭圆＋＝1（a>b>0）的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为（）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
[答案]A
[解析]∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，
∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，
∴|OQ|＝|AF2|＝（|PA|＋|PF2|）＝a，
∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．
10．（文）（20xx·辽宁沈阳）过椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若A.B.23，1
1
C.
D.0，12
[答案]C
[解析]点B的横坐标是c，故B的坐标，已知k∈，∴B.斜率k＝＝＝＝.
由（理）（20xx·宁波余姚）如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为（）
A．e－1B．1－e
C．e2－1D．1－e2
[答案]C
[解析]设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），由点差法，＋＝1，＋＝1，作差得＝，∴kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1.故选C.
二、填空题
11．（文）过椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°（O为坐标原点），则椭圆C的离心率为．
[答案]2
[解析]因为∠AOB＝90°，所以∠AOF＝45°，所以＝，所以e2＝＝＝1－＝，即e＝.
（理）（20xx·××市模拟）若椭圆＋＝1（a>b>0）与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是．
[答案]0，2
[解析]易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部，故b>c，
∴b2>c2，即a2>2c2，
∴<.
12．（20xx·××市）已知△ABC顶点A（－4,0）和C（4,0），顶点B在椭圆＋＝1上，则＝.
[答案]54
[解析]易知A，C为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×5＝10，又AC＝8，由正弦定理知，
sinA＋sinCsinB＝＝.
13．（文）若右顶点为A的椭圆＋＝1（a>b>0）上存在点P（x，y），使得·＝0，则椭圆离心率的范围是．
[答案][解析]在椭圆＋＝1上存在点P，使·＝0，即以OA为直径的圆与椭圆有异于A的公共点．
以OA为直径的圆的方程为x2－ax＋y2＝0与椭圆方程b2x2＋a2y2＝a2b2联立消去y得
（a2－b2）x2－a3x＋a2b2＝0，
将a2－b2＝c2代入化为（x－a）（c2x－ab2）＝0，
∵x≠a，∴x＝，由题设即e>，∵0（理）已知A（4,0），B（2,2）是椭圆＋＝1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最大值是．
[答案]10＋210
[解析]如图，直线BF与椭圆交于M1、M2.
任取椭圆上一点M，则|MB|＋|BF|＋|MA|≥|MF|＋|MA|＝2a
＝|M1A|＋|M1F|＝|M1A|＋|M1B|＋|BF|∴|MB|＋|MA|≥|M1B|＋|M1A|＝2a－|BF|.
同理可证|MB|＋|MA|≤|M2B|＋|M2A|＝2a＋|BF|，10－2≤|MB|＋|MA|≤10＋2.
14．（文）已知实数k使函数y＝coskx的周期不小于2，则方程＋＝1表示椭圆的概率为．
1
[答案]12
[解析]由条件≥2，∴－π≤k≤π，
当0∴概率P＝.
（理）（20xx·××市调研）已知椭圆M：
＋＝1（a>0，b>0）的面积为πab，M包含于平面区域Ω：
内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为．
[答案]＋＝1
[解析]平面区域Ω：
是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得＝，
即ab＝2.
因为0所以a＝2，b＝.
所以，椭圆M的方程为＋＝1.
三、解答题
15．（文）（20xx·山东××市模拟）已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的长轴长为4.
（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM·kPN＝－时，求椭圆的方程．
[解析]
（1）∵圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋2相切，∴b＝，得b＝.
又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为（，0），（－，0）．
（2）由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
不妨设：
M（x0，y0），N（－x0，－y0），P（x，y），由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有＋＝1，＋＝1.
两式相减得：
＝－.由题意可知直线PM、PN的斜率存在，则kPM＝，kPN＝，kPM·kPN＝·＝＝－，则－＝－，由a＝2得b＝1，故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
（理）（20xx·北京东××区）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（－2,0），且长轴长与短轴长的比是2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（m,0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
[解析]
（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a>b>0）由题意，解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.
因为＝（x－m，y），所以||2＝（x－m）2＋y2＝（x－m）2＋12×.
＝x2－2mx＋m2＋12＝（x－4m）2＋12－3m2.
因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x＝4时，||2取得最小值．而x∈[－4,4]，故有4m≥4，解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.
故实数m的取值范围是m∈[1,4]．
16．（20xx·辽宁文，20）设F1，F2分别为椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
（1）求椭圆C的焦距；
（2）如果＝2，求椭圆C的方程．
[解析]
（1）设焦距为2c，则F1（－c,0），F2（c,0）
∵kl＝tan60°＝3
∴l的方程为y＝（x－c）
即：
x－y－c＝0
∵F1到直线l的距离为23
∴＝c＝23
∴c＝2
∴椭圆C的焦距为4
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由题可知y1<0，y2>0直线l的方程为y＝（x－2）
由消去x得，
（3a2＋b2）y2＋4b2y－3b2（a2－4）＝0由韦达定理可得错误!
∵＝2，∴－y1＝2y2，代入①②得
③④2得＝·错误!
又a2＝b2＋4⑥
由⑤⑥解得a2＝9b2＝5∴椭圆C的方程为＋＝1.
17．（文）（20xx·安徽文）椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
（1）求椭圆E的方程；
（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．
[解析]
（1）由题意可设椭圆方程为＋＝1（a>b>0）
∵e＝，即＝，∴a＝2c
又b2＝a2－c2＝3c2
∴椭圆方程为＋＝1.又∵椭圆过点A（2,3）∴＋＝1，解得c2＝4，∴椭圆方程为＋＝1.
（2）法一：
由
（1）知F1（－2,0），F2（2,0），∴直线AF1的方程y＝（x＋2），即3x－4y＋6＝0，
直线AF2的方程为x＝2.
设P（x，y）为角平分线上任意一点，则点P到两直线的距离相等．即＝|x－2|
∴3x－4y＋6＝5（x－2）或3x－4y＋6＝5（2－x）
即x＋2y－8＝0或2x－y－1＝0.
由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.
法二：
设AM平分∠F1AF2，则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称．
由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设为k.则直线AM方程y－3＝k（x－2）．
由
（1）知F1（－2,0），F2（2,0），
∴直线AF1方程为y＝（x＋2），即3x－4y＋6＝0设点F2（2,0）关于直线AM的对称点F2′（x0，y0），则错误!
解之得F2′（，）．
∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称，
∴点F2′在直线AF1上．
即3×－4×＋6＝0.
解得k＝－或k＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，
∴k＝－（舍去）．
故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.法三：
∵A（2,3），F1（－2,0），F2（2,0），
∴＝（－4，－3），＝（0，－3），
∴＋＝（－4，－3）＋（0，－3）
＝－（1,2），
∴kl＝2，∴l：
y－3＝2（x－2），即2x－y－1＝0.
[点评]因为l为∠F1AF2的平分线，∴与的单位向量的和与l共线．从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量，进而求出其斜率．
（理）（20xx·湖北黄冈）已知点A（1,1）是椭圆＋＝1（a>b>0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.
（1）求椭圆的两焦点坐标；
（2）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；
（3）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？
若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．
[解析]
（1）由椭圆定义知：
2a＝4，
∴a＝2，∴＋＝1
把（1,1）代入得＋＝1
∴b2＝，则椭圆方程为＋＝1
∴c2＝a2－b2＝4－＝，∴c＝236故两焦点坐标为，.
（2）用反证法：
假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（－1，－1），此时|AB|＝2，取椭圆上一点M（－2,0），则|AM|＝10
∴|AM|>|AB|.
从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．
（3）设AC方程为：
y＝k（x－1）＋1
联立消去y得
（1＋3k2）x2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0
∵点A（1,1）在椭圆上
xC＝
3k2－6k－1
3k2＋1
∵直线AC、AD倾斜角互补
∴AD的方程为y＝－k（x－1）＋1
又yC＝k（xC－1）＋1，yD＝－k（xD－1）＋1yC－yD＝k（xC＋xD）－2k
1
所以kCD＝＝13
即直线CD的斜率为定值.
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