8.已知函数f(x)=ax4+bx2+c的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)的单调递增区间.
解:
(1)由题意知f(0)=1,
(1)=1,f
(1)=-1.
∴
∴c=1,a=,b=-,
f(x)=x4-x2+1.
(2)∵(x)=10x3-9x,
由10x3-9x>0,得x∈(-,0)∪(,+∞),
则f(x)的单调递增区间为(-,0)和(,+∞).
9.已知函数f(x)=2ax-x3,a>0,若f(x)在x∈(0,1]上是增函数,求a的取值范围.
解:
(x)=2a-3x2在(0,1]上恒为正,
∴2a>3x2,即a>x2.
∵x∈(0,1],
∴x2∈(0,].
∴a>.当a=时也成立.∴a≥.
探究创新
10.有点难度哟!
证明方程x3-3x+c=0在[0,1]上至多有一实根.
证明:
设f(x)=x3-3x+c,则(x)=3x2-3=3(x2-1).
当x∈(0,1)时,(x)<0恒成立.
∴f(x)在(0,1)上单调递减.
∴f(x)的图象与x轴最多有一个交点.
因此方程x3-3x+c=0在[0,1)上至多有一实根.
●思悟小结
1.(x)>0f(x)为增函数((x)<0f(x)为减函数).
2.f(x)是增函数(x)≥0(f(x)为减函数(x)≤0).
●教师下载中心
教学点睛
1.可导函数f(x)在极值点的导数为0,但是导数为0的点不一定是极值点.如果f(x)在x0处连续,在x0两侧的导数异号,那么点x0是函数f(x)的极值点.
2.求可导函数f(x)的极值的步骤如下:
(1)求f(x)的定义域,求(x);
(2)由(x)=0,求其稳定点;
(3)检查(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取极小值;如果左右同号,那么f(x)在这个根处不取极值.
3.求可导函数f(x)的最值的方法:
(1)求f(x)在给定区间内的极值;
(2)将f(x)的各极值与端点值比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
拓展题例
【例1】若函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
解:
(x)=3ax2-2x+1>0恒成立.
∴即
∴a>.
当a=时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
∴a≥.
【例2】求证:
x>1时,2x3>x2+1.
证明:
令f(x)=2x3-x2-1,则(x)=6x2-2x=2x(3x-1).
当x>1时,(x)>0恒成立.
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增.
又∵f
(1)=0,
∴f(x)在(1,+∞)上恒大于零,即当x>1时,2x3>x2+1.
2019-2020年高考数学一轮复习2.1函数的概念教案
●网络体系总览
●考点目标定位
1.理解函数的概念,了解映射的概念.
2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法.
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数.
4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质.
5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质.
6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
●复习方略指南
基本函数:
一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数,它们的图象与性质是函数的基石.求反函数,判断、证明与应用函数的三大特性(单调性、奇偶性、周期性)是高考命题的切入点,有单一考查(如全国xx年第2题),也有综合考查(如江苏xx年第22题).函数的图象、图象的变换是高考热点(如全国xx年Ⅳ,北京xx年春季理2),应用函数知识解其他问题,特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力,这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等,这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性,这均符合高考试题改革的发展趋势.
特别在“函数”这一章中,数形结合的思想比比皆是,深刻理解和灵活运用这一思想方法,不仅会给解题带来方便,而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.
复习本章要注意:
1.深刻理解一些基本函数,如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质,对数与形的基本关系能相互转化.
2.掌握函数图象的基本变换,如平移、翻转、对称等.
3.二次函数是初中、高中的结合点,应引起重视,复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系,要沟通这些知识之间的内在联系,灵活运用它们去解决有关问题.
4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点,复习时应适当加强这方面的训练,做到条理清楚、分类明确、不重不漏.
5.利用函数知识解应用题是高考重点,应引起重视.
2.1函数的概念
●知识梳理
1.函数的定义:
设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
2.两个函数的相等:
函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
3.映射的定义:
一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合A、B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:
A→B.
由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A、B非空且皆为数集.
特别提示
函数定义的三要素是理解函数概念的关键,用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.
●点击双基
1.设集合A=R,集合B=正实数集,则从集合A到集合B的映射f只可能是
A.f:
x→y=|x|B.f:
x→y=
C.f:
x→y=3-xD.f:
x→y=log2(1+|x|)
解析:
指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞),所以f是x→y=3-x.
答案:
C
2.设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是
解析:
A项定义域为[-2,0],D项值域不是[0,2],C项对任一x都有两个y与之对应,都不符.故选B.
答案:
B
3.(xx年全国Ⅰ,理2)已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)等于
A.bB.-bC.D.-
解析:
f(-a)=lg=-lg=-f(a)=-b.
【答案】B
4.(xx年全国Ⅲ,理5)函数y=的定义域是
A.[-,-1)∪(1,]B.(-,-1)∪(1,)
C.[-2,-1)∪(1,2]D.(-2,-1)∪(1,2)
解析:
-≤x<-1或1<x≤.∴y=的定义域为[-,-1)∪(1,].
答案:
A
5.(xx年浙江,文9)若函数f(x)=loga(x+1)(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a等于
A.B.C.D.2
解析:
f(x)=loga(x+1)的定义域是[0,1],∴0≤x≤1,则1≤x+1≤2.
当a>1时,0=loga1≤loga(x+1)≤loga2=1,∴a=2;
当0<a<1时,loga2≤loga(x+1)≤loga1=0,与值域是[0,1]矛盾.
综上,a=2.
答案:
D
●典例剖析
【例1】试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f(x)=,g(x)=;
(2)f(x)=,g(x)=
(3)f(x)=,g(x)=()2n-1(n∈N*);
(4)f(x)=,g(x)=;
(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.
剖析:
对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然.
解:
(1)由于f(x)==|x|,g(x)==x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数.
(2)由于函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而g(x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数.
(3)由于当n∈N*时,2n±1为奇数,∴f(x)==x,g(x)=()2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数.
(4)由于函数f(x)=的定义域为{x|x≥0},而g(x)=的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数.
(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.
评述:
(1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透.要知道,在函数的定义域及对应法则f不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x2+1,f(t)=t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数.
(2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数.
【例2】集合A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从A到B的映射个数是__________,从B到A的映射个数是__________.
剖析:
从A到B可分两步进行:
第一步A中的元素3可有3种对应方法(可对应5或6或7),第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理,不同的映射种数N1=3×3=9.反之从B到A,道理相同,有N2=2×2×2=8种不同映射.
答案:
98
深化拓展
设集合A中含有4个元素,B中含有3个元素,现建立从A到B的映射f:
A→B,且使B中每个元素在A中都有原象,则这样的映射有___________________个.
提示:
因为集合A中有4个元素,集合B中有3个元素,根据题意,A中必须有2个元素有同一个象,因此,共有CA=36个映射.
答案:
36
【例3】(xx年广东,19)设函数f(x)=|1-|(x>0),证明:
当0<a<b,且f(a)=f(b)时,ab>1.
剖析一:
f(a)=f(b)|1-|=|1-|(1-)2=(1-)22ab=a+b≥2ab>1.
证明:
略.
剖析二:
f(x)=
证明:
f(x)在(0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b且-1=1-,即+=2a+b=2ab≥2ab>1.
评注:
证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.
●闯关训练
夯实基础
1.设集合A和B都是自然数集合N,映射f:
A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,则在映射f下,象20的原象是
A.2B.3C.4D.5
解析:
由2n+n=20求n,用代入法可知选C.
答案:
C
2.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的xx元降到1280元,则这种手机平均每次降价的百分率是
A.10%B.15%C.18%D.20%
解析:
设降价百分率为x%,
∴xx(1-x%)2=1280.解得x=20.
答案:
D
3.(xx年全国Ⅲ,理11)设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为
A.(-∞,-2]∪[0,10]B.(-∞,-2]∪[0,1]
C.(-∞,-2]∪[1,10]D.[-2,0]∪[1,10]
解析:
f(x)是分段函数,故f(x)≥1应分段求解.
当x<1时,f(x)≥1(x+1)2≥1x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.
当x≥1时,f(x)≥14-≥1≤3x≤10,∴1≤x≤10.
综上所述,x≤-2或0≤x≤10.
答案:
A
4.(xx年浙江,文13)已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是___________________.
解析:
x≥0时,f(x)=1,
xf(x)+x≤2x≤1,∴0≤x≤1;
当x<0时,f(x)=0,
xf(x)+x≤2x≤2,∴x<0.综上x≤1.
答案:
{x|x≤1}
5.(xx年全国Ⅳ,文)已知函数y=logx与y=kx的图象有公共点A,且A点的横坐标为2,则k的值等于
A.-B.C.-D.
解析:
由点A在y=logx的图象上可求出A点纵坐标y=log2=-.又A(2,-)在y=kx图象上,-=k·2,∴k=-.
答案:
A
培养能力
6.如下图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,△ABP的面积为y=f(x).
(1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式;
(2)作出函数的图象,并根据图象求y的最大值.
解:
(1)这个函数的定义域为(0,12).
当0<x≤4时,S=f(x)=·4·x=2x;
当4<x≤8时,S=f(x)=8;
当8<x<12时,S=f(x)=·4·(12-x)=2(12-x)=24-2x.
∴这个函数的解析式为f(x)=
(2)其图形为
由图知,[f(x)]max=8.
7.若f:
y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射,求自然数a、k的值及集合A、B.
解:
∵f
(1)=3×1+1=4,f
(2)=3×2+1=7,f(3)=3×3+1=10,f(k)=3k+1,由映射的定义知
(1)或
(2)
∵a∈N,∴方程组
(1)无解.
解方程组
(2),得a=2或a=-5(舍),3k+1=16,3k=15,k=5.∴A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.
8.如果函数f(x)=(x+a)3对任意x∈R都有f(1+x)=-f(1-x),试求f
(2)+f(-2)的值.
解:
∵对任意x∈R,总有f(1+x)=-f(1-x),
∴当x=0时应有f(1+0)=-f(1-0),
即f
(1)=-f
(1).∴f
(1)=0.
又∵f(x)=(x+a)3,∴f
(1)=(1+a)3.
故有(1+a)3=0a=-1.∴f(x)=(x-1)3.
∴f
(2)+f(-2)=(2-1)3+(-2-1)3=13+(-3)3=-26.
探究创新
9.集合M={a,b,c},N={-1,0,1},映射f:
M→N满足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么映射f:
M→N的个数是多少?
解:
∵f(a)∈N,f(b)∈N,f(c)∈N,且f(a)+f(b)+f(c)=0,
∴有0+0+0=0+1+(-1)=0.
当f(a)=f(b)=f(c)=0时,只有一个映射;
当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0,而另两个分别为1,-1时,有C·A=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7.
评述:
本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.
●思悟小结
1.本节重点内容是函数概念、定义域、值域,难点是映射及其意义.
2.理解映射的概念,应注意以下几点:
(1)集合A、B及对应法则f是确定的,是一个系统;
(2)对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的;
(3)集合A中每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的,这是映射区别于一般对应的本质特征;
(4)集合A中不同元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(5)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
3.函数的定义域是构成函数的非常重要的部分,如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围,即分式中分母应不等于0;偶次根式中被开方数应为非负数;零指数幂中,底数不等于0,负分数指数幂中,底数应大于0;对数式中,真数必须大于