第1章点直线平面的投影.docx

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第1章点直线平面的投影

第1章点、直线、平面的投影

在工程图样中，为了在平面上表达空间物体的形状，广泛采用投影的方法。

本章介绍投影法的基本概念和如何在平面上表示空间几何要素（点、直线和平面）的方法。

1.1投影法的基本知识

在日常生活中，物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生一个物体的影子。

人们根据这一自然物理现象，创造了用投影来表达物体形状的方法，即：

光线通过物体向选定的面投射，并在该面上得到图形,这种现象就叫投影（projection）。

这种确定空间几何元素和物体投影的方法，称为投影法（projectionmethod）。

投影法通常分为中心投影法（perspectiveprojectionmethod）和平行投影法（parallelprojectionmethod）两种。

1.1.1中心投影法

如图1-1所示，设一平面P（投影面）与光源S（投影中心）之间，有一个△ABC（被投影物）。

经投影中心S分别向△ABC顶点A、B、C各引一直线SA、SB、SC（称为投射线），并与投影面P交于a、b、c三点。

则a、b、c三点就是空间A、B、C三点在P平面上的投影，△abc就是空间△ABC在P平面上的投影。

图1-1中心投影法

这种投射线汇交于一点的投影方法称为中心投影法。

中心投影法的投影中心位于有限远处，该投影法得到的投影图形称为中心投影。

由于中心投影法得到的物体投影的大小与物体的位置有关，如果改变物体（△ABC）与投影中心（S）的距离，投影（△abc）的大小也随之改变，即不能反映空间物体的实际大小。

因此，中心投影法通常不用于绘制机械图样，而用于建筑物的外观透视图等。

1.1.2平行投影法

如图1-2所示，若将投影中心S沿一不平行于投影面的方向移到无穷远处，则所有投射线将趋于相互平行。

这种投射线相互平行的投影方法，称为平行投影法。

平行投影法的投影中心位于无穷远处，该投影法得到的投影图形称为平行投影。

投射线的方向称为投影方向。

由于平行投影法中，平行移动空间物体，即改变物体与投影面的距离时，它的投影的形状和大小都不会改变。

平行投影法按照投射线与投影面倾角的不同又分为正投影法（Orthogonalmethod）和斜投影法（Obliqueprojectionmethod）两种：

当投影方向（即投射线的方向）垂直于投影面时称为正投影法，如图1-2（a）所示；当投影方向倾斜于投影面时称为斜投影法，如图1-2（b）所示。

正投影法得到的投影称为正投影，斜投影法得到的投影称为斜投影。

（a）正投影法（b）斜投影法

图1-2平行投影法

正投影法是机械图样绘制中最常用的一种方法。

本教材后续章节中提及的投影，若无特殊说明，均指正投影。

1.2点的投影

点（point）是构成形体最基本的几何元素,一切几何形体都可看作是点的集合。

点的投影（pointprojection）是线（line）、面（surface）、体（body）的投影基础。

1.2.1点的单面投影

如图1-3所示，已知投影面P和空间点A，过点A作P平面的垂线（投射线），得唯一投影a。

反之，若已知点的投影a，就不能唯一确定A点的空间位置。

也就是说，点的一个投影不能确定点的空间位置，即：

单面投影不具有“可逆性”。

因此，常将几何形体放置在相互垂直的两个或三个投影面之间，然后向这些投影面作投影，形成多面正投影。

图1-3点的单面投影及其空间位置关系

1.2.2点的两面投影

如图1-4（a）所示，设置两个互相垂直的平面为投影面（projectionplane）,其中一个是正立投影面（verticalprojectionplane）用V表示，另一个是水平投影面（horizontalprojectionplane）用H表示，V面和H面组成两投影面体系。

两投影面的交线为投影轴（projectionaxis）用OX表示。

（a）立体图（b）投影面展开后（c）投影图

图1-4点在V、H两面体系中的投影

在两面投影体系中，设一空间点A，从A点分别向H面、V面作垂线（投射线），其垂足分别是点A的水平投影a和正面投影a'。

由于Aa'⊥V、Aa⊥H，故投射面Aaa'⊥OX轴并交于点aX，因此，a'aX⊥OX、aaX⊥OX。

如图1-4（a）中A点投影a、a'分别在H面、V面上，要把两个投影表示在一个平面上，按照国家制图标准规定：

V面不动，将H面绕OX轴、按图1-4（a）中所示箭头的方向，自前向下旋转90°与V面重合，如图1-4（b）所示，称为点的两面投影图。

由于投影面是无限的，故在投影图上通常不画出它的边框线，这样便得到如图1-4（c）所示的点的两面投影图。

从图1-4（a）和图1-4（c），根据立体几何知识，可以知道平面AaaXa'为一矩形，展开后aa'形成一条投影连线并与OX轴交于点aX，且aa'⊥OX轴。

同时，a'aX=Aa，反映点A到H面的距离；aaX=Aa'，反映点A到V面的距离。

这里需要说明的是：

规定空间点用大写字母表示（如A），点的水平投影用相应的小写字母表示（如a），点的正面投影用相应的小写字母并在右上角加一撇表示（如a'）。

从上面可以概括出点的两面投影特性：

（1）点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即：

aa'⊥OX；

（2）点的正面投影到OX轴的距离等于点到H面的距离，点的水平投影到OX轴的距离等于点到V面的距离，即：

a'aX=Aa，aaX=Aa'。

1.2.3点的三面投影

虽然点的两面投影已能确定该点的位置，但为了更清楚地图示某些几何形体，在两投影面体系的基础上，再增加一个与V面、H面都垂直的侧立投影面（profileprojectionplane）,用W表示，如图1-5（a）所示。

三个投影面之间两两相交产生三条交线，即三条投影轴OX、OY、OZ，它们相互垂直并交于O点，形成三投影面体系。

（a）立体图（b）投影面展开后（c）投影图

图1-5点在V、H、W三面体系中的投影

如图1-5（a）所示：

从A向W面作垂线（投射线），垂足即为A点的侧面投影，记作a"。

这里需要指出的是，规定点的侧面（W面）投影用空间点的相应小写字母右上角加两撇表示。

在三投影面体系中，三条投射线每两条可以确定一个投射面，即平面Aaa'、Aaa"、Aa'a",它们分别与三投影轴OX、OY、OZ交于点aX、aY、aZ。

为了将三个投影a、a'、a"表示在一个平面上，参照两面投影体系，根据国家制图标准规定：

V面不动，H面、W面按图1-5（a）中箭头所示方向分别绕OX轴自前向下旋转90°、绕OZ轴自前向右旋转90°。

这样，H面、W面与V面就重合成一个平面。

这里投影轴OY被分成YH、YW两支，随H面旋转的OY轴用OYH表示，随W面旋转的OY轴用OYW表示，且OY轴上的aY点也相应地用aYH、aYW表示，如图1-5（b）。

与两面投影体系一样，投影图上不画边框线，得到空间点A在三投影面体系中的投影图，如图1-5（c）。

在投影图中，OY轴上的点aY因展开而分成aYH、aYW。

为了方便作图，可以过O点作一条45°的辅助线，aaYH、a"aYW的延长线必与该辅助线相交于一点。

从图1-5（a）和图1-5（c），同样，根据立体几何知识，可知：

展开后a'a"形成一条投影连线并与OZ轴交于点aZ，且a'a"⊥OZ轴。

同时，a'aX=a"aYW=Aa，反映点A到H面的距离；a'aZ=aaYH=Aa"，反映点A到W面的距离；a"aZ=aaX=Aa'，反映点A到V面的距离。

从上面可以概括出点的三面投影特性：

（1）点的投影连线垂直于相应的投影轴，即：

aa'⊥OX，a'a"⊥OZ；

（2）点的投影到相应投影轴的距离等于点到相应投影面的距离，即：

a'aX=a"aYW=Aa，a'aZ=aaYH=Aa"，a"aZ=aaX=Aa'。

利用点在三投影面体系中的投影特性，只要知道空间一点的任意两个投影，就能求出该点的第三面投影（简称为二求三）。

1.2.4点的三面投影与直角坐标的关系

如图1-6（a），若将三投影面当作三个坐标平面，三投影轴当作三坐标轴，三轴的交点O作为坐标原点，则三投影面体系便是一个笛卡儿空间直角坐标系。

因此，空间点A到三个投影面的距离，也就是A点的三个直角坐标X、Y、Z。

即，点的投影与坐标有如下关系：

点A到W面的距离Aa"=a'aZ=aaYH=OaX=XA；

点A到V面的距离Aa'=a"aZ=aaX=Oay=YA；

点A到H面的距离Aa=a'aX=a"aYW=OaZ=ZA。

由此可见，若已知A点的投影（a、a'、a"），即可确定该点的坐标，也就是确定了该点的空间位置，反之亦然。

从图1-6（b）可知，点的每个投影包含点的两个坐标，点的任意两个投影包含了点的三个坐标，所以，根据点的任意两个投影，也可确定点的空间位置。

（a）立体图（b）投影图

图1-6点的三面投影与直角坐标

【例】已知A点的直角坐标为（15，10，20），求点A的三面投影（图样中的尺寸单位为mm时，不需标注计量单位）。

〖解〗步骤如下：

（1）作相互垂直的两条细直线为投影轴，并且过原点O作一条45°辅助线平分∠YHOYW。

依据XA=OaX，沿OX轴取OaX=15mm，得到点aX，如图1-7（a）；

（2）过点aX作OX轴的垂线，在此垂线上，依据ZA=a'aX，从aX向上取a'aX=20mm，得到点A的正面投影a'；依据YA=aaX，从aX向下取aXa=10mm，得到点A的水平投影a，如图1-7（b）；

（3）现已知点A的两面投影a'、a，可求第三投影。

即：

过a作直线垂直于OYH并与45°辅助线交于一点，过此点作垂直于OYW的直线，并与过a'所作OZ轴的垂线a'aZ的延长线交于a"，a"即为点A侧面投影，如图1-7（c）。

（也可不作辅助角平分线，而在a'aZ的延长线上直接量取aZa"=aaX而确定a"）。

（a）（b）（c）

图1-7由点的坐标求其投影

1.2.5两点的相对位置及重影点

1.两点的相对位置

空间两点的相对位置，是指它们之间的左右、前后、上下的位置关系，可以根据两点的各同面投影之间的坐标关系来判别。

其左右关系由两点的X坐标差来确定，X值大者在左方；其前后关系由两点的Y坐标差来确定，Y值大者在前方；其上下关系由两点的Z坐标差来确定，Z值大者在上方。

在图1-8（a）中，可以直观地看出A点在B点的左方、后方、下方。

在图1-8（b）中，也可从坐标值的大小判别出同样的结论。

（a）立体图（b）投影图

图1-8两点的相对位置

2.重影点（overlappingpoints）

若空间的两点位于某一个投影面的同一条投射线上，则它们在该投影面上的投影必重合，这两点称之为对该投影面的重影点。

重影点存在着在投影重合的投影面上的投影有一个可见，而另一个不可见的问题。

如图1-9（a），A、B两点的水平投影重合，沿水平投影方向从上往下看，先看见A点，B点被A点遮住，则B点不可见。

在投影图上若需判断可见性，应将不可见点的投影加圆括号以示区别，如图1-9（b）。

需要指出的是空间两点只能有一个投影面的投影重合，重影点的可见性判断方法如下：

（1）若两点的水平投影重合，称为对H面的重影点，且Z坐标值大者可见；

（2）若两点的正面投影重合，称为对V面的重影点，且Y坐标值大者可见；

（3）若两点的侧面投影重合，称为对W面的重影点，且X坐标值大者可见。

上述三原则，也可概括为：

前遮后，上遮下，左遮右。

（a）立体图（b）投影图

图1-9重影点及可见性

1.3直线的投影

空间任意两点确定一条直线，因此，直线的投影（lineprojection）就是直线上两点的同面投影（同一投影面上的投影）的连线。

需要注意的是直线的投影线（空间直线在某个投影面上的投影）规定用粗实线画。

如图1-10所示，直线的投影一般仍为直线（如图中直线CE），但在特殊情况下，当直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点（如图中直线AB）。

此外，点相对于直线具有从属性，如图中D点属于CE，则同面投影中，d属于ce。

图1-10直线的投影

1.3.1各种位置的直线

在三面投影体系中，直线相对于投影面的位置有三种：

投影面的平行线、投影面的垂直线、一般位置直线。

前两种又统称为特殊位置直线。

另外，根据国家标准规定：

空间直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角，且直线与H、V、W三个投影面的夹角依次用α、β、γ表示。

1.投影面的平行线（parallellineofprojectionplane）

平行于某一投影面而倾斜于另两投影面的直线，称为投影面的平行线。

根据直线所平行的投影面的不同，又可分为：

水平线（horizontalline）——平行于H面，倾斜于V、W面的直线；

正平线（frontalline）——平行于V面，倾斜于H、W面的直线；

侧平线（profileline）——平行于W面，倾斜于V、H面的直线。

表1-1列出了这三种平行线的立体图、投影图及其投影特性。

表1-1投影面的平行线

从表1-1可以概括出投影面平行线的投影特性：

（1）直线平行于某投影面，则直线在该投影面的投影反映实长，且该投影与投影轴的夹角，分别反映直线对另外两投影面的真实倾角。

（2）直线另两个投影面的投影平行于相应的投影轴，且不反映实长，比实长短。

2.投影面的垂直线（verticallineofprojectionplane）

垂直于某一投影面（必与另外两个投影面平行）的直线，称为投影面的垂直线。

根据直线所垂直的投影面的不同，又可分为：

铅垂线（verticalline）——垂直于H面，平行于V、W面的直线；

正垂线（horizontal-profileline）——垂直于V面，平行于H、W面的直线；

侧垂线（frontal-profileline）——垂直于W面，平行于V、H面的直线。

表1-2列出了这三种垂直线的立体图、投影图及其投影特性。

表1-2投影面的垂直线

从表1-2可以概括出投影面垂直线的投影特性：

（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点。

（2）直线另两个投影面的投影垂直于相应的投影轴，并反映实长。

3.一般位置直线（generalpositionline）

倾斜于各投影面的直线，称为一般位置直线。

如图1-11（a）所示，空间直线AB对三个投影面都是倾斜关系，则直线的三面投影分别为ab=ABcosα,a'b'=ABcosβ,a"b"=ABcosγ，均小于实长AB。

图1-11（b）为直线AB的三面投影图，其投影特性是：

（1）三面投影都倾斜于投影轴，且投影长度小于空间直线的实长。

（2）投影与投影轴的夹角，不反映空间直线对投影面的倾角。

（a）立体图（b）投影图

图1-11一般位置直线的投影

1.3.2两直线的相对位置

空间两直线的相对位置关系有三种：

平行（parallel）、相交（intersection）和交叉（cross）。

其中平行和相交属于共面直线，交叉是异面直线。

1.平行两直线

若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必相互平行。

如图1-12（a），空间两直线AB∥CD，因为两投射平面ABba∥CDdc，所以在H面上的投影ab∥cd。

同理，可以得到a'b'∥c'd'，a"b"∥c"d"，如图1-12（b）。

反之，若两空间直线的同面投影是相互平行的，则该两直线在空间是平行关系。

（a）立体图（b）投影图

图1-12平行两直线

2.相交两直线

若空间两直线相交，则它们的同面投影必相交，且其交点符合点的投影规律。

如图1-13（a），空间两直线AB、CD相交于点K，因交点K在两直线上，故其投影也应在两直线的同面投影线上。

因此，空间相交两直线的同面投影一定相交，且交点的投影符合点的投影规律，如图1-13（b）。

反之，若空间两直线的同面投影相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线在空间必定是相交关系。

（a）立体图（b）投影图

图1-13相交两直线

3.交叉两直线

空间两直线既不平行又不相交的是交叉直线。

交叉两直线的同面投影可能相交，如图1-14（a），但投影交点是两直线对该投影面的一对重影点，图中ab与cd的交点，分别对应AB上的Ⅰ点和CD上的Ⅱ点，按重影点可见性的判别规定，对于不可见点的投影加括号表示。

交叉两直线同面投影的交点不符合点的投影规律，如图1-14（b）。

（a）立体图（b）投影图

图1-14交叉两直线

【例】已知如图1-15（a）所示两侧平线，判断其是否平行。

分析：

两直线处于一般位置时，只要其任意两面投影相互平行，即可判断空间两直线相互平行。

但是，当两直线同时平行于某一投影面时，则要检验两直线在所平行的投影面上的投影是否平行，才可判断空间两直线是否平行。

如图1-15（b），虽然ab∥cd、a'b'∥c'd'，但是，a"b"不平行于c"d"，因此，空间直线AB与CD不平行，是交叉两直线。

（a）已知条件（b）作图过程与结果

图1-15判断两直线是否平行

【例】已知如图1-16（a）所示一般位置直线AB与侧平线CD，判断其是否相交。

（a）已知条件（b）作图过程与结果

图1-16判断两直线是否相交

分析：

对于两条一般位置直线，通常只要其任意两面投影分别相交，且交点符合点的投影规律，则可判断空间两直线相交。

但是，当两直线中有投影面平行线时，则要检验它所平行的那个投影面上的投影，才能判断是否相交。

如图1-16（b），a"b"与c"d"虽然相交，但该交点与两直线正面投影交点的连线与Z轴不垂直，即：

交点不符合点的投影规律，因此，两直线不相交，为交叉两直线。

1.4平面的投影

1.4.1平面的表示法

在投影图上表示空间平面可以用下列几种方法来确定：

（1）不在同一直线的三点，如图1-17（a）所示；

（2）一直线和该直线外一点，如图1-17（b）所示；

（3）两条平行直线，如图1-17（c）所示；

（4）两条相交直线，如图1-17（d）所示；

（5）任意的平面图形（如三角形、四边形、圆等），如图1-17（e）所示。

以上几种确定平面的方法是可以相互转化的，且以平面图形来表示最为常见。

（a）（b）（c）（d）（e）

图1-17用几何元素表示平面

1.4.2各种位置平面及其投影特性

在三面投影体系中，平面相对于投影面有三种不同的位置：

投影面垂直面——垂直于某一个投影面而与另外两个投影面倾斜的平面；

投影面平行面——平行于某一个投影面的平面；

一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面。

通常我们将前两种统称为特殊位置平面。

平面对H、V、W三投影面的倾角，依次用α、β、γ表示。

平面的投影（planesprojection）一般仍为平面，特殊情况下积聚为一直线。

画平面图形的投影时，一般先画出组成平面图形各顶点的投影，然后将它们的同面投影相连即可。

下面分别介绍各种位置平面的投影及其特性。

1.投影面的垂直面（Verticalplaneofprojectionplane）

在投影面的垂直面中，只垂直于V面的平面，称为正垂面；只垂直于H面的平面，称为铅垂面；只垂直于W面的平面，称为侧垂面。

表1-3列出了三种垂直面的立体图、投影图及其投影特性。

由表1-3可以概括出投影面垂直面的投影特性：

（1）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线，该直线与投影轴的夹角反映

该平面对另外两个投影面的真实倾角；

（2）另外两个投影面上的投影，均为小于空间平面图形的类似形。

2.投影面的平行面（Parallelplaneofprojectionplane）

在投影面的平行面中，平行于H面的平面，称为水平面；平行于V面的平面，称为正平面；平行于W面的平面，称为侧平面。

表1-3投影面垂直面

平面的位置

立体图

投影图

投影特性

铅垂面

1.水平投影积聚成一直线，并反映真实倾角β、γ。

2.正面投影、侧面投影不反映实形，为空间平面的类似形。

正垂面

1.正面投影积聚成一直线，并反映真实倾角α、γ。

2.水平投影、侧面投影不反映实形，为空间平面的类似形。

侧垂面

1.侧面投影积聚成一直线，并反映真实倾角α、β。

2.水平投影、正面投影不反映实形，为空间平面的类似形。

表1-4列出了三种平行面的立体图、投影图及其投影特性。

由表1-4可以概括出投影面平行面的投影特性：

（1）在所平行的投影面上的投影，反映实形；

（2）另两个投影面上的投影，均积聚为平行于相应投影轴的直线。

表1-4投影面平行面

3.一般位置平面（generalpositionplane）

一般位置平面与三个投影面都是倾斜关系，如图1-18所示。

（a）立体图（b）投影图

图1-18一般位置平面

一般位置平面的投影特性是：

三面投影均是小于空间平面图形的类似形，不反映实形，也不反映空间平面对投影面的倾角真实大小。

4.特殊位置平面的迹线（vestigeline）表示法

当平面垂直于投影面，而在投影图上只需要表明其所在位置时，则可以用平面与该投影面的交线——迹线来表示。

用迹线表示垂直平面时，是用粗实线画出平面有积聚性的迹线，并注上相应的标记即可，如图1-19所示。

平面P与H面的交线称为水平迹线，用PH标记；平面Q与V面的交线称为正面迹线，用QV标记。

（a）铅垂面的迹线表示（b）水平面的迹线表示

图1-19用迹线表示特殊位置平面

1.4.3平面上的点和直线

点和直线在平面上的几何条件是：

（1）平面上的点，必定在该平面的某条直线上。

由此可见，在平面内取点，必须先在平面内取直线，然后在此直线上取点。

（2）平面上的直线，必定通过平面上的两点；或者通过平面内一点，且平行于平面内任一条直线。

图1-20给出了上述几何条件的立体图，图1-21是其投影图。

（a）点在平面ABC内的条件（b）直线在平面ABC内的条件

图1-20平面上的点和直线立体图

（a）点在平面ABC内（b）直线在平面ABC内

图1-21一般位置平面内取点、线投影图

特殊位置平面由于其所垂直的投影面上的投影积聚成直线，因此，这类平面上的点和直线，在该平面所垂直的投影面上的投影，位于平面有积聚性的投影或迹线上，如图1-22。

（a）在三角形平面内取点线（b）在迹线面内取点线

图1-22特殊位置平面内取点、线投影图

【例】如图1-23（a），已知平面△ABC以及点D的两面投影，求：

（1）判断点D是否在平面上；

（2）在平面上作一条正平线EF，使EF到V面距离为20mm。

（a）已知条件（b）判断点D是否在平面上（c）求正平线EF

图1-23判断点是否在平面上及平面上取线

〖解〗分析与作图

（1）D点若在△ABC平面内的某条直线上，则点D在平面上，否则就不在平面上。

判断方法如图1-23（b）所示：

连接ad并延长交bc于点m，在b'c'上作出m对应的正面投影点m'，连接a'm'，则AM必在平面△ABC上，但d'不在a'm'上，故点D不在平面上。

（2）因为EF是正平线，根据正平线的投影特性，EF的水平投影应平行于OX轴，且到OX轴的距离为EF到V面的距离。

因此，先从水平投影开始作图。

如图1-23（c），作ef平行于OX轴，且到OX轴的距离为20mm。

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