2《三角恒等变换单元教学设计》教案新人教A版必修4.docx
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2《三角恒等变换单元教学设计》教案新人教A版必修4
必修4第三章三角恒等变换单元教学设计
案例3.1.1两角和与差的余弦
(一)教学目标
知识目标:
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式,通过简单运用,使学生初步理解公式的结构及其功能,为建立其它和(差)公式打好基础.
能力目标:
进一步理解向量法解决问题的方法,培养学生运用数学工具在实践中探索知识,进而获取知识的能力.
情感目标:
培养学生探索和创新的意识,构建良好的数学思维品质.
(二)教学重点,难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式.难点是两角差的余弦公式的推导与证明.
(三)学法与教学用具
1.学法:
启发式教学
2.教学用具:
多媒体
(四)教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
探究
提出问题并引入新课
师:
探究
生:
反例:
问题:
的关系?
创设问题的情景,通过设疑,引导学生开展积极的思维活动
复习
复习有关知识,寻求解决问题的思路
复习:
1。
余弦的定义
在第一章三角函数的学习当中我们知道,在设角
的终边与单位圆的交点为P,
等于角
与单位圆交点的横坐标
2.能否用向量的方法求角的余弦?
师:
M、N是
两边上任一点,
(显然为了简化计算,取M、N为
两边与单位圆的交点,此时有
)
通过复习相关知识为下面公式的推导做好铺垫。
公式的推导
公式的推导证明
公式理解和基本掌握。
如图构造角
,终边与单位圆交于Q,,
师:
指出角
与
关系:
生:
则
师:
写出点P、Q坐标
生:
带领学生推导公式:
(板书)
因为:
所以:
公式记号
通过定义的复习,在坐标系中找到差角的几何表示,利用以上的铺垫引导学生试探采用向量方法去解决问题,同时也体会到向量的工具性作用。
公式的深化
对公式进行更深层次的认识
思考并讨论:
(投影)
1)问题解决的思路与方法
2)体现了α与β的任意性吗?
3)探究cos(α-β)的公式
由学生回答上述问题,教师点评:
结论如下
1)主要利用了向量这个工具,体会其作用与便利之处.。
回归到余弦的定义,数形结合,利用单位圆简化了计算。
2)α与β有任意性,有
说一该公式具有一般性。
3)把公式Cα-β中的β换成-β,则有
板书:
cos[α-(-β)]=cosα·cos(-β)+sinα·sin(-β)
=cosα·cosβ-sinα·sinβ,
即
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ(α,β∈R).
公式记号
师:
公式有何特点?
如何记忆
生:
公式的结构和特点:
“同名异和差”
主要是公式右端中间的“+、-”号与公式左端α与β间的“-、+”号正好相反.
对推导过程进行回顾,彻底理清解决问题的思路,体会用到的数学思想及方法。
同时通过对问题的讨论,让学生对公式对有一个清晰完整的认识,为公式的灵活运用打下基础,进一步培养学生探索的能力。
对公式进行深挖掘,显示其“辐射”的作用培养学生的分析、联想能力、优化思维品质。
公式的应用
例1、利用和、差角余弦公式求
及
的值
学生练习、板演,教师讲评
注意将一般角转化为特殊角的和或差,可以不查表求值
让学生初步掌握公式的应用,,并进一步熟悉公式的特征,为以后灵活应用作铺垫。
归纳小结
从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结
公式推导中向量的应用
公式的结构特征
在三角变换时,本公式应用中,首先应考虑根据题目的条件与结论来进行角的变换
使学生对本节知识有一个清晰完整地认识,并点出问题解决的基本思路与方法。
布置作业
教材
习题3.1.1
练习A1,2,3
练习B1
思考题:
巩固本节课所学知识,培养学生自觉学习的习惯,给学有余力的学生留出自由发展的空间
案例 3.1(2)
(一)教学目标
1.知识目标:
掌握公式结构特点,会用公式求值.
2.能力目标:
培养学生的观察,分析,类比,联想能力,间接推理能力,自学能力.
3.情感能力:
发展学生正向,逆向思维能力,构建良好的数学思维品质.
(二)教学重点,难点
重点是公式的结构特点,会用公式求值.
难点是公式的逆向和变形运用.
(三)教学方法
教师按照课本的知识结构先设计若干问题,课前印发给学生,引导他们阅读课本,课堂上在教师三导(引导,指导,辅导)下,以学生为主体,对所设问题进行读,议,练,讲,其间教师通过提问,参与讨论,巡视学生练习及板演,观察学生情绪等渠道,及时搜集反馈信息,及时作出评价,再发指令,使教学过程处于动态平衡中.
(四)教学过程
教 学 环节
教 学 内 容
师 生 互 动
设计意图
复
习
引
入
复习公式
先让学生默写两角和与差的余弦公式,然后指出这两个公式是讨论复角
与单角
的余弦函数间的关系,且此关系对任意角
均成立,并且要注意
是错误的.
以旧引新,注意创设情境,通过设疑,引导学生开展积极的思维活动.
公
式
的
运
用
例2,已知
,求
.
例2 学生练习,板演,教师讲评注意几个问题:
(1)特殊角不需要查表,直接求出三角函数值.
(2)再求
时,要注意角的取值范围,三角函数值的正负.
(3)代入时,从左至右依次代入.
(4)注意
可以象上面这样逆用.
例2是使学生掌握公式的正向应用,并进一步熟悉公式的特征,为后面的灵活运用奠定基础.
变式1:
已知
且
均为锐角,求
变式1教师讲评注意几个问题:
(1)将
看作一个整体,
角由
得到.
(2)应用公式
(3)由
得到
,再进一步参考
.确定
的值.
变式1是一个典型例题,在变式中注意配凑公式,对它的解法深入讨论,有益于启发学生
思维,提高学生的解题能力,且在解题过程中提炼思想方法,有利于培养学生良好的思维品质.
公式的运用
例3 利用
证明:
例3 学生练习,教师讲评注意两个问题:
(1)方法1可以按和差角的余弦公式直接展开,将
看作一个整体角.
(2)方法2也可以
,再按诱导公式进行运算.
例3要求学生用两种方法来做,培养学生良好的思维品质.
公式的运用
练习1,已知
求
.
练习1使用平方法将两个等式平方,然后相加,利用
只剩下
问题得解.思维过程可以逆向,(考虑由
入手,寻找
想到平方.)
通过这个练习,培养学生良好的发现问题解决问题的能力.
归纳小结
从知识,方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结.
对公式做到一掌握,二会想,三会用.
使学生对所学内容有一个清晰完整的认识,并点出三角公式的基本方法,体现了"授之以鱼,不如授之以渔"的教育思想.
布置作业
教材练习3.1B 2 ,3
教材p154页 1
思考题:
1.已知cos(α-β)=
求
(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2的值。
2.sinα-sinβ=-
,cosα-cosβ=
,
α∈(0,
),β∈(0,
),
求cos(α-β)的值
巩固本节课所学知识,培养学生自觉学习的习惯,同时给学有余力的学生留出自由发展的空间.
§3.1.2两角和与差的正弦
一、教学目标
1、知识与技能目标:
能从两角差的余弦公式导出两角和、差正弦公式,了解它们的内在联系。
2、过程与方法目标:
引导学生推导和角公式,使学生认识整个公式体系的推理和形成的过程。
从这一过程中,使学生领会其中体现出来的数学基本思想、蕴含的创新思想,掌握研究数学的基本方法,从而提高数学素质。
3、情感、态度与价值观目标:
通过公式的推导,了解它们的内在联系和知识的发展过程,体会一般与特殊的关系与转化,培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。
体会学科间的联系。
二、教学重点、难点
1.教学重点:
两角和、差正弦公式的应用和旋转变换公式。
2.教学难点:
利用两角和的正弦公式变
为一个角的三角函数的形式。
三、教学方法
研讨式教学,讲授式教学
四、教学过程:
(一)复习式导入:
大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:
;
.
这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢?
提示:
在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决今天的问题有帮助吗?
让学生动手完成两角和与差正弦公式.
.
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征
①里加外加,里减外减
②
顺序不变
简单应用:
(视学生情况,2可酌情删减)
1、求
的值(答案:
)
2、(口答)课本138页练习A1——4题
(二)例题讲解
例题安排:
例1与例2是三角与向量的综合问题,其过程是一次旋转变换。
例1是例2的一个特例,在编排上体现了由特殊到一般的认识规律,例2求证的结论是一组旋转变换公式。
由此,在安排上,例1作为重点讲解,而例2则留给学生自己课下解决。
培养学生举一反三,由特殊到一般的学习能力。
例3与例4也是由特殊到一般的关系。
先讲例3降低了难度,为例4打好了基础,这样例4便也可由同学仿照例3研讨得出。
例5体现了数学学科与物理学科的联系,增强了学生的学习兴趣,可留作思考作业课下完成。
例1、已知向量
,逆时针旋转
到
的位置。
求点
的坐标
解题分析:
问题1、P点坐标知道吗?
问题2、
旋转到
,什么变了,什么没变?
问题3、通过前面的学习,你能利用三角函数的知识解决这个问题吗?
解:
设
由
可知
所以
,而
又因为
同理
所以
同理
所以
例2(学生课下仿照例1研讨完成)
已知点
,与原点的距离保持不变,逆时针旋转
角到点
。
求证:
证明:
设
,
则
同理
从而
即
例3、化简
解题分析:
此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦不相象,但我们能否发现规律呢?
解:
思考:
是怎么得到的?
发现
,
我们是构造一个角使它的正、余弦分别等于
和
,即
和
例4、(教师引导学生仿照例3研讨完成)
求函数
的最大值、最小值和周期,其中
是不同时为零的实数。
解:
由例3知
可写为
,
其中
则,原式
所以函数
的最大值是
,最小值是
,周期是
注:
此题结论可作为公式记住,可方便解题。
例5、(学生课下完成)
已知三个电流瞬时值的函数式分别是
,求它们合成后的电流瞬时值的函数式,并指出这个函数的振幅和初相。
解:
其中
所以
。
振幅为
,初相为
(三)小结:
本节我们学习了两角和与差正弦公式及其应用,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用.
(四)作业:
课本141页习题3—1A第2——4题
3.1.3两角和与差的正切
一、教学目标:
1、知识与技能:
⑴掌握公式及其推导过程,理解公式成立的条件;会用公式求值。
⑵培养学生的观察、分析、类比、联想能力;间接推理能力;自学能力。
2、过程与方法:
由学生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式,引导学生推导出两角和与差的正切公式,通过教师的提问,学生观察,分析,讨论及练习。
及时搜集反馈信息,动态调整教学过程,引导学生攻克难点,掌握重点。
3、情感态度、价值观:
发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力,构建良好的数学思维品质。
二、教学重点:
公式的结构特点及其推导方法、成立条件,运用公式求值。
教学难点:
公式的逆向和变形应用。
三、教学过程:
1、复习引入
复习:
两角和与差的正、余弦