数学中的分类讨论思想之等腰三角形专题.docx

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数学中的分类讨论思想之等腰三角形专题

教师姓名：

钱小军

　　　　　　　　单位：

沈阳市第一五七中学

北师大教材：

九年级数学复习课

数学中的分类讨论思想——等腰三角形专题

——教学设计

教材名称

数学

教材版本

北师大版

执教

钱小军

学习对象

九年级

教材

分析

北师教材是从七下第七章的轴对称图形中引出等腰三角形的，并通过学生操作、观察、发现等腰三角形的基本性质，然后在九上的证明中再次深度提及，对等腰三角形的性质进行了证明，引出等腰三角形的判定定理。

同时又加入对等边三角形的性质及判定的证明，从而完成了从等腰三角形到等边三角形的过渡，将二者联系起来。

根据等腰三角形的特点，教材又发散性的引出等腰三角形两腰上的中线、高线和角平分线相等的相关结论，完成了等腰三角形性质的延伸。

由于等腰三角形的边有底边和腰之分、角有底角和顶角之分的特点，在具体的问题中会由于题目条件的不确定性和由题目条件得到的图形不确定而引发问题结论的不唯一，所以培养学生分类讨论的思想显的尤为重要，让学生学会在具体的问题中，根据实际情境数形结合、分类讨论。

学情

分析

学生从七年级就开始接触等腰三角形，经过三年的学习与磨合，学生对等腰三角形知识基本掌握，但在特定的条件下，学生对等腰三角形的分类讨论问题的思路还不是很清晰，所以希望通过这节课的讲授，能够使学生对此类问题有一个基本的掌控。

教学

目标

◆知识与技能

1、通过题组式的训练，让学生掌握在计算中关于边、角、高线等问题的分类讨论，利用电子白板形象生动的呈现在学生面前，有利用培养学生的数形结合的能力。

2、培养学生的空间能力，利用电子白板的多媒体教学和几何画板的演示功能，使学生在特定的教学情境中掌握等腰三角形在动态中的分类讨论问题

◆过程与方法

通过对引发等腰三角形分类讨论问题的原因的具体分析，让学生以自主学习、合作交流的学习方法体会和把握等腰三角形多解问题。

◆情感态度与价值观

1、鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．

2、体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．

教学重点难点

◆重点

1、等腰三角形在计算中的分类讨论问题

2、等腰三角形在动态中的分类讨论问题

◆难点

培养学生数形结合和分类讨论的思想

教学策略

选择与设计

为了达到以上的教学目标，结合本课内容，主要运用实践探究和小组合作的教学方法，并利用教具、多媒体等辅助教学，让学生自主实践、合作交流、解决和掌握等腰三角形的分类讨论问题。

教学环境

资源准备

教学环境：

交互式电子白板

资源准备：

电子白板课件、实物投影

教学过程

情境导入——静态中的分类讨论（——角色之争——位置迁移——尝试归纳）——动态中的分类讨论——（动态情境揭秘——动态知识延伸）——谈收获

教学

环节

媒体整合

教师活动

学生活动

设计意图

情境导入

直接揭示本节课的主题是等腰三角形

引发学生的思考

明确本节课的教学目的

静

态

中

的

分

类

讨

论

静

态

中

的

分

类

讨

论

角色之争

以实际生活为背景：

小明的等腰三角形的玻璃板碎了只剩下一个完整的30°的角，来确定三角形的顶角大小。

利用电子白板演示相应的几何图形，让学生更加直观的感受图形的不唯一

即：

等腰三角形的顶角与底角之争

改变已知角为110°时答案唯一

学生分析问题，计算解决，分析得到双解的原因，和分类讨论的理论依据是三角形的内角和。

使学生明确等腰三角形的角有顶角和底角之分，边有底和腰之分，在满足三角形内角和和三边关系的基础上要合理适当的进行分类讨论。

此环节利用电子白板的拖拽演示功能可以让学生形象生动的感受到图形的不唯一和要进行分类讨论的必要性

已知等腰三角形的一边等于3，另一边等于4，求周长

即：

等腰三角形的底和腰之争。

改变已知边的大小：

一边为3一边为6时，周长为？

学生经历上面的问题，自然就开始对边进行分类讨论，掌握分类讨论的理论依据是三角形的三边关系

位置迁移

位置迁移

已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为55°，则其顶角为多少度？

即：

由于高线的位置不确定导致图形的不唯一

在学生操作过程中，教师巡视，并发现作图较好的学生到实物投影上展示并讲解

学生要自主完成图形，根据数形结合解决问题。

由一名学生到实物展台上展示自己的图形，讲解自己的想法和作法。

学生在教师的引导下，理解一腰上的高有两种位置，从而培养学生动手作图能力,请学生到实物展台上讲解，培养学生的动口和逻辑思维能力。

等腰△ABC是直径为10厘米的圆的内接三角形，如果底边BC=8厘米,那么三角形ABC的面积为多少？

（由于圆的内接等腰三角形可以是锐角三角形和钝角三角形，所以导致结论不唯一）

利用电子白板的智能画笔在白板上画图，让学生画出他所想的的图形，充分体现电子白板在数学课上的优越性

学生进行小组分工合作交流，让学生在交流中完成探究，利用电子白板的书写功能，让讨论出的小组派代表到电子白板上进行讲解

在这一环节上利用电子白板这样的媒体教学，显得更加生动。

并培养学生小组合作和数形结合的能力，培养学生动口、动手能力。

激发学生学习积极性和主动性。

尝试归纳

1.等腰三角形的双解问题产生的原因？

2.解决等腰三角形双解问题的基本方法

让学生及时总结等腰三角形双解问题产生的原因和解决方法。

利用电子白板的拖拽功能给出答案，培养学生及时总结、巩固知识的能力。

动

态

中

的

分

类

讨

论

动态中的分类讨

论

动态情境揭秘

知识呈现：

电子白板的智能绘图功能

情境一：

以AB为一边在直线l上确定一点C使△ABC为等腰三角形

问题：

这样的点C的唯一的吗？

此问题情境利用电子白板的教具功能——圆规，演示确定点的过程，再利用电子白板的智能绘图功能作线段的垂线

首先让学生在问题中体会点C的不唯一的同时复习巩固了由于边的不确定性引发的不唯一的问题。

让学生回忆解决问题的方法，并辅助教师完成情境一中的问题

利用电子白板的教具演示功能，让此环节更加的形象、生动，让学生感觉耳目一新，激发学生的学习兴趣的同时让学生理解并掌握此类问题的解决方法

知识呈现：

电子白板与几何画板的绘图功能。

情境二：

当点A、B完全脱离直线时。

以AB为一边在直线l上确定一点C使△ABC为等腰三角形

利用几何画板的画图功能更快捷的完成确定点C的个数

此问题完全放手让学生去尝试完成，给学生充足的时间去探索、发现点C的个数，并让一名学生到电子白板前，利用几何画板演示并讲解具体的做法

培养学生空间能力和动手操作的能力，利用几何画板的绘图功能，快捷形象的完成操作。

让学生能够直观的感受和发现掌握解决问题的方法

动态知识延伸

知识呈现：

电子白板和几何画板超链接功能。

1.知识延伸到一次函数中：

直线y=-3x+5与x轴交于点B，与y轴交于点A，请在坐标轴上确定点C，使三角形ABC为等腰三角形，这样的点C有几个？

让学生再次动手操作，完成探究，掌握方法。

在几何画板中快捷的完成

学生在新的问题情境中，感受问题是从刚才的情境一中延伸出来的，从而培养学生一种发现和应变的能力，并且再次在让学生经历、探索点的个数的过程，培养学生绘图能力和知识的应变能力。

让学生体会知识学以致用的原则，如何将所学知识正确无误的应用到其他问题中，在自己的头脑中形成一种解决问题的方式方法。

知识呈现：

电子白板与几何画板的演示功能。

知识延伸到二次函数中：

抛物线与X轴交于点B与y轴交于点C请在对称轴上确定点P使三角形BCP为等腰三角形，这样的点P有几个？

几何画板情境演示

学生在这个问题情境中，发现是上面情境二知识的延伸，学生动手操作确定点P的个数

通过问题的延伸，让学生在解决此类问题时，能够形成一种以不变应万变的解题方法，提高学生的解题能力。

谈收获

引导学生总结本节课的知识点

学生在教师的引导下，回想本课所学内容，及时总结。

培养学生及时总结，巩固知识的能力，利用白板的拖拽功能出示本节内容。

让学生对本节课的知识重组一目了然。

教学

评价

本节课以表扬、鼓励为原则，对学生的表现及成果进行了评价，具体表现在学生回答问题时的准确性评价和有问题时学生之间的互评为主要方法，培养学生的评价能力，及小组合作结果评估，学生讲解问题，演示操作的鼓励性评价。

《数学中的分类讨论思想——等腰三角形专题》教学流程图

《数学中的分类讨论思想——等腰三角形专题》教学反思

“复习课难上。

”这是许多数学教师经常发出的感叹，到目前为止，复习课还不像新授课有一个基本公认的课堂教学模式。

但我喜欢上复习课，虽然比较费功夫，可是我喜欢那种经历教材知识重组和总结归纳的过程。

既能让学生体验知识的再形成过程，做到对知识点的总结和解题方法的掌握，又能让我体验一种“成功感”。

本节课是总结和巩固等腰三角形有关分类讨论问题的一节复习课，并在交互式电子白板这种新的信息技术的背景下，应用电子白板优化课堂，激发学生的学习兴趣，使学生融入到形象生动和积极思维的学习中，具体来说主要有以下体会：

一．来源于教材，又高于教材，有新意，又能提高综合应用知识的能力，这应该是设计复习课原则。

数学复习课，学生单纯的做、练激不起求知的欲望，复习课在学生掌握课本基础知识和技能的前提下，对先前习题进行适当的挖掘、拓展、整合，是提高学生思维能力和解题能力，较好掌握课本知识与技能的重要方法。

本节课我没有拘泥于教材的讲解形式，而是创造性的将等腰三角形的分类讨论问题总结为两类：

一是静态中的分类讨论，二是动态中的分类讨论。

可以让学生感受到新鲜感的同时，更能够有一种想去弄明白到底什么是静态的，什么是动态的问题。

从而激发了学生学习的欲望。

整节课在交互式电子白板和几何画板的教学环境下，我将本课内容生动形象的展现在学生的面前，能够使学生不再像以前那样只能在头脑中构建模型，而是更加直观的感受等腰三角形在不同的问题情境下，所得到的图形是不同的，从而让学生理解分类讨论的必要性。

二、低起点、小步子的教学设计，才更有利于调动学生的学习积极性。

分类讨论问题对学生来说是比较模糊的一个概念，同时也是一个比较难的问题。

为了让学生一开始就能够跟上学习的步伐，所以我采用了底起点、小步子的递进教学方式。

开始的对等腰三角形有关边和角的分类讨论，是一般学生都能够掌握的问题，从而提高学生学习的信心，有一种想继续学习的欲望。

带着这种欲望去探究等腰三角形有关高线和外接圆的问题，为了培养学生数形结合的能力，让学生进行动手操作和小组合作相结合，使学生在合作中完成探究，在作图中发现问题、解决问题。

力求做到不让一个学生孤立和掉队，全员都参与到学习中来，让学生都融入到快乐的学习中。

在进入动态等腰三角形分类讨论的环节时，我适当的利用多媒体教学向学生展示基本问题情境的解决方法，再让学生自己去探究和操作，然后由浅入深的将知识延伸到一次函数和二次函数中，以一种循序渐进的教学理念向学生渗透各种问题的解决方法，培养学生在同类的分类讨论的问题中形成一种以不变应万变的解题能力

三．信息技术与多媒体教学贯穿整个课堂，提高课堂的有效性。

在静态的等腰三角形分类讨论中，我利用了电子白板的拖拽功能，将课前准备的教学知识点和图形一一展示给学生，利用电子白板的智能绘图功能和书写功能向学生演示作图的过程，传递动态信息使思维“可视”，帮助学生理解数学提供“直觉”材料；在动态的等腰三角形的分类讨论中，我利用了电子白板的教具演示功能，从而告别了笨重又不准确的圆规，使课堂教学更加的生动，学生掌握和理解的速度更快，然后我利用了几何画板超强的作图功能，在几何画板的环境中作一次函数和二次函数的函数图像和点、线、圆，使课堂更加快捷有效的进行，从而提高了课堂教学的直观性和有效性。

增大课堂信息容量和教师控制教学信息的灵活性，提高了教学效果。

本节在充分运用信息技术的强大整合功能有效地解决等腰三角形分类讨论问题的重点、难点，提高了教学效率，体现出新型的教学模式。

交互式电子白板正在完成现代的教学方式从黑板向白板的转化，信息技术与数学教学的整合，正在完成着学生的学习方式以及教学内容的呈现方式的改变，实现课堂教学的最优化。