人教A版高中数学必修二浙江专版学案31直线的倾斜角与斜率附答案.docx

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人教A版高中数学必修二浙江专版学案31直线的倾斜角与斜率附答案

3.1　

3．1.1　倾斜角与斜率

　预习课本P82～85，思考并完成以下问题

1．直线的倾斜角的定义是什么？

2．直线的倾斜角的范围是什么？

3．直线的斜率的计算公式是怎样的？

1．直线的倾斜角

（1）倾斜角的定义：

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.

（2）倾斜角的范围：

直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

[点睛]　

（1）倾斜角定义中含有三个条件：

①x轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．

（2）平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．

2．直线的斜率

（1）斜率的定义：

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.

（2）斜率公式：

经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．

（3）斜率的作用：

用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．

[点睛]　直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴（平行于y轴或与y轴重合）．

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）任一直线都有倾斜角，都存在斜率（　　）

（2）倾斜角为135°的直线的斜率为1（　　）

（3）若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα（　　）

（4）直线斜率的取值范围是（－∞，＋∞）（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．若直线l经过原点和（－1,1），则它的倾斜角是（　　）

A．45°　　　　　　　B．135°

C．45°或135°D．－45°

解析：

选B　作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.

3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（　　）

A.B.

C．1D.

解析：

选A　由题意可知，直线l的斜率k＝tan30°＝.

直线的倾斜角

[典例]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（　　）

A．α＋45°　　　　　　　B．α－135°

C．135°－αD．α＋45°或α－135°

[解析]　由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°（0°≤α＜180°），即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°（如图）．

[答案]　D

求直线的倾斜角的方法及两点注意

（1）方法：

结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角．

（2）两点注意：

①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.

②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.

[活学活用]

已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　）

A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°

C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°

解析：

选C　直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.

直线的斜率

[典例]　经过下列两点的直线的斜率是否存在？

如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.

（1）A（2,3），B（4,5）；

（2）C（－2,3），D（2，－1）；

（3）P（－3,1），Q（－3,10）．

[解]　

（1）存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tanα＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.

（2）存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.

（3）不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.

（1）利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项

①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；

②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．

（2）在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.

倾斜角α

0¡ã

30¡ã

45¡ã

60¡ã

120¡ã

135¡ã

150¡ã

斜率k

0

1

－

－1

－

[活学活用]

1．直线经过点（0,2）和点（3,0），则它的斜率为（　　）

A.　　　　　　　　B.

C．－D．－

解析：

选C　斜率k＝＝－.

2．已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A（－1,1），B（1,1），C（1，－1），求直线AB，BC，AC的斜率．

解：

已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．kAB＝＝0，kAC＝＝－1.

∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在.

直线的倾斜角、斜率的应用

题点一：

三点共线问题

1．如果A，B（4，－1），C（－4，－m）三点在同一条直线上，试确定常数m的值．

解：

由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC.

由斜率公式，得kAB＝＝，

kBC＝＝.

∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.

∴＝，即m2－3m－12＝0，

解得m1＝，m2＝.

∴m的值是或.

用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴．当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线．否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可．　

题点二：

数形结合法求倾斜角或斜率范围

2．直线l过点P（1,0），且与以A（2,1），B（0，）为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．

解：

如图所示．

∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，

∴k∈（－∞，－]∪[1，＋∞），

∴45°≤α≤120°.

（1）由倾斜角（或范围）求斜率（或范围）利用定义式k＝tanα（α≠90°）解决．

（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝（x1≠x2）求解．

（3）涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．

层级一　学业水平达标

1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是（　　）

A．45°，1　　　　　　　　　　B．135°，－1

C．90°，不存在D．180°，不存在

解析：

选C　作出图象，故C正确．

2．给出下列说法：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；

②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选C　显然①②③正确，④错误．

3．已知直线经过点A（－2,0），B（－5,3），则该直线的倾斜角为（　　）

A．150°B．135°

C．75°D．45°

解析：

选B　∵直线经过点A（－2,0），B（－5,3），

∴其斜率k＝＝－1.

设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），

则tanθ＝－1，∴θ＝135°.

4．过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的倾斜角为45°，则y＝（　　）

A．－B.

C．－1D．1

解析：

选C　tan45°＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1.

5．已知直线l经过点A（1,2），且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）

A．（－1,0]B．[0,1]

C．[1,2]D．[0,2]

解析：

选D　由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.

6.

如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．

解析：

因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×（90°－30°）＝30°.

答案：

30°

7．一束光线射到x轴上并经x轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝________.

解析：

作出入射光线和反射光线如图．因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角等于60°.又因反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°.

答案：

150°

8．已知点A（2，－1），若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．

解析：

设x轴上点P（m,0）或y轴上点P（0，n）．由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为（3,0）或（0，－3）．

答案：

（3,0）或（0，－3）

9．已知A（m，－m＋3），B（2，m－1），C（－1,4），直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．

解：

由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.

∴kAC＝，kBC＝.

∴＝3·.

整理得：

－m－1＝（m－5）（m＋1），

即（m＋1）（m－4）＝0，

∴m＝4或m＝－1（舍去）．

∴m＝4.

10．已知两点A（－3,4），B（3,2），过点P（2，－1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

解：

∵直线l与线段AB有公共点，∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间．当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.

∵kPA＝＝－1，kPB＝＝3，∴直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－1]∪[3，＋∞）．

层级二　应试能力达标

1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为（　　）

A．－2　　　　　　B．0

C.D．2

解析：

选B　由BC边所在直线的斜率是0，知直线BC与x轴平行，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC，AB的斜率之和为0.故选B.

2．已知经过点P（3，m）和点Q（m，－2）的直线的斜率等于2，则m的值为（　　）

A．－1B．1

C．2D.

解析：

选D　由直线的斜率公式，得＝2，∴m＝.

3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）

A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2

解析：

选D　直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.

4．若点P（x，y）在以A（－3,1），B（－1,0），C（－2,0）为顶点的△ABC的内部运动（不包含边界），则的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D　根据已知的条件，可知点P（x，y）是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P（x，y）与定点M（1,2）的直线的斜率．由已知，得kAM＝，kBM＝1，kCM＝.利用图象，可得的取值范围是.故选D.

5．若A（2,2），B（a,0），C（0，b）（ab≠0）三点共线，则＋的值为________．

解析：

∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝.

∴2（a＋b）＝ab，∴＝，∴＋＝.

答案：

6．若三点A（3,1），B（－2，k），C（8,1）能构成三角形，则实数k的取值范围为________．

解析：

kAB＝＝，kAC＝＝＝0.

要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，

即kAB≠kAC，∴≠0.∴k≠1.

答案（－∞，1）∪（1，＋∞）

7．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：

若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.

证明：

∵A，B，C是三个不同的点，

∴x1，x2，x3互不相等．

∵A，B，C三点共线，

∴kAB＝kAC，即＝，

∴＝，

整理，得x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x，

即（x2－x3）（x1＋x2＋x3）＝0.

∵x2≠x3，

∴x1＋x2＋x3＝0.

8．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2（－1≤x≤1），试求的最大值和最小值．

解：

如图，可知表示经过定点P（－2，－3）与曲线段AB上任一点（x，y）的直线的斜率k.

由已知条件，可得A（1,1），B（－1,5）．

易知kPA≤k≤kPB.

由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，

所以≤k≤8.

故的最大值是8，最小值是.

3．1.2　两条直线平行与垂直的判定

　预习课本P86～89，思考并完成以下问题

1．两直线平行，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？

2．两直线垂直，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？

1．两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.

[点睛]

（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：

①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．

（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.

2．两条直线垂直

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

[点睛]　l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：

①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行（　　）

（2）若l1∥l2，则k1＝k2（　　）

（3）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直（　　）

（4）若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（　　）

A．平行　　　　　　　　　B．重合

C．相交但不垂直D．垂直

解析：

选D　设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.

3．l1过点A（m,1），B（－3,4），l2过点C（0,2），D（1,1），且l1∥l2，则m＝________.

解析：

∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，

∴m＝0.

答案：

0

两条直线平行的判定

[典例]　判断下列各题中直线l1与l2是否平行．

（1）l1经过点A（－1，－2），B（2,1），l2经过点M（3,4），N（－1，－1）；

（2）l1经过点A（－3,2），B（－3,10），l2经过点M（5，－2），N（5,5）．

[解]　

（1）k1＝＝1，k2＝＝.

∵k1≠k2，∴l1与l2不平行．

（2）∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.

k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．

[活学活用]

1．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A（－2,0），B（6,8），C（8,6），则点D的坐标为________．

解析：

根据AB∥DC，AD∥BC，利用平行直线的斜率相等求解．设点D（x，y），则由AB∥DC，AD∥BC可得kAB＝kDC，kAD＝kBC，即＝，＝，解得x＝0，y＝－2.

答案：

（0，－2）

2．在△ABC中，A（0,3），B（2，－1），E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________．

解析：

∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF∥AB.

∴kEF＝kAB＝＝－2.

答案：

－2

两条直线垂直的判定

[典例]　判断下列各题中l1与l2是否垂直．

（1）l1经过点A（－3，－4），B（1,3），l2经过点M（－4，－3），N（3,1）；

（2）l1的斜率为－10，l2经过点A（10,2），B（20,3）；

（3）l1经过点A（3,4），B（3,10），l2经过点M（－10,40），N（10,40）．

[解]　

（1）k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，

∴l1与l2不垂直．

（2）k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.

（3）l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.

判断两条直线是否垂直的依据是：

在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．　

[活学活用]

1．若不同两点P，Q的坐标分别为（a，b），（3－b,3－a），则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．

解析：

由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.

答案：

－1

2．已知△ABC的顶点坐标分别为A（1,2），B（－1,1），C（0,2），求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角．

解：

设BC边上的高所在直线的斜率为k，

则有k·kBC＝－1.

∵kBC＝＝1，∴k＝－1.

∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.

根据两直线平行或垂直关系求参数

[典例]　已知直线l1经过点A（3，a），B（a－1,2），直线l2经过点C（1,2），D（－2，a＋2）．

（1）若l1∥l2，求a的值；

（2）若l1⊥l2，求a的值．

[解]　设直线l2的斜率为k2，

则k2＝＝－.

（1）若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－.

∵k1＝，∴＝－，

解得a＝1或a＝6.

经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.

（2）若l1⊥l2.

①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；

②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.

由k1k2＝－1可得·＝－1，解得a＝3或a＝－4.

∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.

当直线上点的坐标含有参数时，参数的不同取值决定了两条直线不同的位置关系，因此应对参数的取值情况分类讨论，一般分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况．

[活学活用]

已知四边形ABCD的顶点A（m，n），B（5，－1），C（4,2），D（2,2），求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．

解：

∵四边形ABCD是直角梯形，∴有2种情形：

（1）AB∥CD，AB⊥AD，

由图可知，A（2，－1）．

（2）AD∥BC，AD⊥AB，

⇒

∴综上可知，或

层级一　学业水平达标

1．设点P（－4,2），Q（6，－4），R（12,6），S（2,12），下面四个结论：

①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.

其中正确的个数是（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

解析：

选C　由斜率公式知kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，①②④正确，故选C.

2．直线l过（m，n），（n，m）两点，其中m≠n，mn≠0，则（　　）

A．l与x轴垂直　　　　　　　B．l与y轴垂直

C．l过原点和第一、三象限D．l的倾斜角为135°

解析：

选D　直线的斜率k＝＝－1，∴直线l的倾斜角为135°.

3．经过点P（－2，m）和Q（m,4）的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是（　　）

A．4B．1

C．1或3D．1或4

解析：

选B　由题意，知＝1，解得m＝1.

4．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A（3a，－2），B（0，a2＋1），且l1⊥l2，则实数a的值为（　　）

A．1B．3

C．0或1D．1或3

解析：

选D　∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即×＝－1，解得a＝1或a＝3.

5．已知点A（2,3），B（－2,6），C（6,6），D（10,3），则以A，B，C，D为顶点的四边形是（　　）

A．梯形B．平行四边形

C．菱形D．矩形

解析：

选B　

如图所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直，所以四边形ABCD为平行四边形．

6．已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A（1,2），B（2，a），若直线l1∥l2，则a＝________；若直线l1⊥l2，则a＝________.

解析：

l1∥l2时，＝3，则a＝5；l1⊥l2时，＝－，则a＝.

答案：

5　

7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.

解析：

由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，

若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.

若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，

∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2.

答案：

－2　2

8．已知△ABC的三个顶点分别是A（2,2＋2），B（0，2－2），C（4,2），则△ABC是________．（填△ABC的形状）

解析：

因为AB边所在直线的斜率kAB＝＝2，CB边所在直线的斜率kCB＝＝，AC边所在直线的斜率kAC＝＝－，kCB·kAC＝－1，所以CB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．

答案：

直角三角形

9．当m为何值时，过两点A（1,1），B（2m2＋1，m－2）的直线：

（1）倾斜角为135°；

（2）与过两点（3,2），（0，－7）的直线垂直；

（3）与过两点（2，－3），（－4,9）的直线平行．

解：

（1）由kAB＝＝－1，得2m2＋m－3＝0，

解得m＝－或1.

（2）由＝3及垂直关系，得＝－，

解得m＝或－3.

（3）令＝＝－2，解得m＝或－1.

10．已知△ABC的顶点分别为A（5，－1），B（1,1），C（2，m），若△ABC为直角三角形，求m的值．

解：

若∠A为直角，则AC⊥AB，

∴kAC·kAB＝－1，即×＝－1，解得m＝－7；

若∠B为直角，则AB⊥BC，

∴kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝3；

若∠C为直角，则AC⊥BC，

∴kAC·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝±2.

综上，m的值为－7，－2,2或3.

层级二　应试能力达标

1．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有（　　）

A．α1－α2＝90°　　　　　　B．α2－α1＝90°

C．|α2－α1|＝90°D．α1＋α2＝180°

解析：

选C　由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90