,那么△ABC∽△DEF
判定定理3:
三边对应成比例的两个三角形相似。
几何语言:
(如上图)在△ABC和△DEF中
如果
,那么△ABC∽△DEF
例1:
如图,
(1)若
________,则△ABC∽△AEF;
(2)若∠E=________,则△ABC∽△AEF。
直角三角形相似判定定理:
.有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
3.补充:
直角三角形中的相似问题:
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理:
CD²=AD·BD,
AC²=AD·AB,
BC²=BD·BA
(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).
例:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,
(1)求证:
AC2=AD·AB;BC2=BD·BA;
(2)求证:
CD2=AD·AD;
(3)求证:
AC·BC=AB·CD.
4.相似图形中常见的基本图形:
5.相似三角形的性质
①相似三角形对应角相等、对应边成比例.
②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).
③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
④两个相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根
⑤任意两个相似多边形的周长比都等于相似比,面积比都等于相似比的平方。
例1:
已知△ABC∽△DEF,BD和EG是它们的对应中线,
,求BD的长。
例2:
如果两个相似三角形的面积比为16:
25,那么这两个相似三角形对应边的比是_______。
例3:
如图,在△ABC中,点D、E分别是AB和AC上的点,DE//BC,AD=3BD,S⊿ABC=48
求S⊿ADE
相似的应用:
位似
(1)定义:
如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比。
需注意:
①位似是一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图形,必定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形。
②两个位似图形的位似中心只有一个。
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧。
④位似比就是相似比。
(2)性质:
①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比(相似比)。
②位似图形上任意位似对应点和位似中心在同一条直线上。
③位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上。
④位似图形是特殊的相似图形,所以它具有相似图形的一切性质。
画位似图形的一般步骤:
(1)确定位似中心(位似中心可能在图形内部也可能在图形外部也可能在图形上)
(2)确定原图形的关键点(通常是多边形的顶点)
(3)确定位似比
(4)根据位似比,找出新图形的关键点,最后将各点顺次连接。
坐标变换与图形的关系:
在直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘以同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,他们的相似比为∣k∣。
例1:
下列说法中正确的有()
(1)位似多边形一定是相似多边形。
(2)相似多边形一定是位似多边形
(3)两个位似多边形每一对对应点到位似中心的距离之比为2︰3,则两个多边形的面积之比为4︰9。
(4)两个位似多边形的对应边互相平行或在同一直线上。
例2:
若△ABC与△DEF关于点O位似,其位似比是1:
2,AO=5,则对应点A、D之间的距离是。
例3:
在平面直角坐标系中,已知A(6,3)、B(6,0)两点,以坐标原点O为位似中心,相似比为
,把线段AB缩短后得到线段A1B1,则A1B1,的长度等于。
历年中考试题练习
一、选择题
1、如图1,已知AD与BC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC的大小为()
A.60°B.70°C.80°D.120°
2、如图,已知D、E分别是
的AB、AC边上的点,
且
那么
等于()
A.1:
9B.1:
3C.1:
8D.1:
3、如图,
是由
经过位似变换得到的,点
是位似中心,
分别是
的中点,则
与
的面积比是()
A.
B.
C.
D.
第3题图第4题图
4、如上图,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且∠BEC=90°,将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,连EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,则DM:
MC的值为( )
A.5:
3B.3:
5C.4:
3D.3:
4
5、如图,在
中,
、
分别是
、
边的中点,若
,则
等于()
A.5B.4
C.3D.2
6、已知
,相似比为3,且
的周长为18,则
的周长为()
A.2B.3C.6D.54
7、如图,Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于
D,设BP=x,则PD+PE=()
A.
B.
C.
D.
8、如图,在Rt△ABC内有边长分别为
的三个正方形,则
满足的关系式是()
A、
B、
C、
D、
9、如图,△ABC是等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的()
A.
B.
C.
D.
10、下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是()
二、填空题
1、如图,
两点分别在
的边
上,
与
不平行,当满足条件(写出一个即可)时,
.
2、如果两个相似三角形的相似比是
,那么这两个三角形面积的比是.
3、如图,在Rt△ABC中,∠C为直角,CD⊥AB于点D,
BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是和;
并写出它的面积比.
4、两个相似三角形的面积比S1:
S2与它们对应高之比h1:
h2之间的关系为 .
5、如图4,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么AB=
9、如图,要测量A、B两点间距离,在O点打桩,取OA的中点C,OB的中点D,测得CD=30米,则AB=______米.
11、在同一时刻,身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米,一棵大树的影长为4.8米,则树的高度为______米.
三、解答题
1、如图,在△ABC中,BC>