江西省重点中学盟校届高三第一次联考数学理试题.docx
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江西省重点中学盟校届高三第一次联考数学理试题
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考
理科数学试卷
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：
高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：
每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷（选择题：
共60分）
1、选择题：
（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意）
1．已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数
，则
（）
A．
B．2 C．1 D．
3．已知定义在
上的奇函数
满足：
当
时，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
4．设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
5．已知条件
，条件
直线
与直线
平行，则
是
的（）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果
，则判断框中应填入（）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，且
，则向量
在
方向上的投影为（）
A．
B．
C．1D．
8．把函数
的图象上每个点的横坐标扩大到原来的
倍，再向左平移
个单位，得到函数
的图象，则函数
的一个单调递减区间为（）
A．
B．
C．
D．
9．
已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示,
则该几何体的棱的长度中，最大的是（）
A．
B．
C．
D．
10．以双曲线
上一点
为圆心作圆，该圆与
轴相切于
的一个焦点
，与
轴交于
两点，若
，则双曲线
的离心率是（）
A．
B．
C．
D．
11．今有
个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有（）种
A．
B．
C．
D．
12．若曲线
和
上分别存在点
使得
是以原点
为直角顶点的直角三角形,
交
轴于点
，且
，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题：
共90分）
2、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。
请将正确答案直接填在答题卡的相应位置）
13．若
，则
的展开式中常数项为．
14．在
中，
分别是内角
的对边，若
，
，
，则
的面积
等于．
15．已知关于实数
的不等式组
构成的平面区域为
，若
，使得
恒成立，则实数
的最小值是．
16．已知四棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
平面
，底面
是等腰梯形，
且满足
，
，则球
的表面积是．
三．解答题：
（本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）
已知数列
为正项等比数列，满足
，且
构成等差数列，数列
满足
.
（?
）求数列
，
的通项公式；
（?
）若数列
的前
项和为
，数列
满足
，求数列
的前
项和
．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，且
，平面
平面
，
，点
为线段
的中点，点
是线段
上的一个动点．
（?
）求证：
平面
平面
；
（?
）设二面角
的平面角为
，试判断在线段
上是否存在
这样的点
，使得
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分12分）
为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取
名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：
（记成绩不低于
分者为“成绩优秀”）
分数
甲班频数
乙班频数
（?
）由以上统计数据填写下面的
列联表，并判断是否有
以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？
甲班
乙班
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
（?
）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取
人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为
，求
的分布列和期望．
参考公式：
，其中
．
临界值表
20.（本小题满分12分）
已知椭圆
的离心率为
，焦点分别为
，点
是椭圆
上的点，
面积的最大值是
．
（?
）求椭圆
的方程；
（?
）设直线
与椭圆
交于
两点，点
是椭圆
上的点，
是坐标原点，若
判定四边形
的面积是否为定值？
若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数
，
．
（?
）若
在
上存在极大值点，求实数
的取值范围；
（?
）求证：
，其中
．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中，以原点为极点，以
轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的极坐标方程为
．
（?
）写出曲线
和直线
的直角坐标方程；
（?
）设直线
过点
与曲线
交于不同两点
，
的中点为
，
与
的交点为
，求
．
23．（本题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若关于
的不等式
在实数范围内有解．
（?
）求实数
的取值范围；
（?
）若实数
的最大值为
，且正实数
满足
，求证：
.
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学参考答案
1、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
B
C
D
A
B
B
A
C
D
二、填空题：
13．
14.
15.
16．
三、解答题：
17.解：
（Ⅰ）设等比数列
的公比为
，由题意，得
解得
或
（舍）…………………2分
又
所以
………………4分
………………6分
（Ⅱ）
．……………7分
∴
，…………………9分
∴
…………………12分
18.解：
（Ⅰ）
四边形
是正方形，∴
.
∵平面
平面
，∴
平面
.
∵
平面
，∴
.
∵
，点
为线段
的中点，∴
.
又∵
，∴
平面
.
又∵
平面
，∴平面
平面
.………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
平面
，∵
，∴
平面
.
在平面
内过
作
交
于点
，
∴
，故
，
，
两两垂直，以
为原点，
以
，
，
所在直线分别为
轴，建立如图所示空间直角坐标系
.
因为
，
，∴
.
∵
平面
，则
，
，
又
为
的中点，
，………………7分
假设在线段
上存在这样的点
，使得
设
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
∴
，令
，则
，则
………………9分
平面
，
平面
的一个法向量
则
∴
.
，解得
，∴
………………12分
19.解：
（1）补充的
列联表如下表：
甲班
乙班
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
根据
列联表中的数据，得
的观测值为
，
所以有
以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.………………5分
（2）
的可能取值为
，
，
，
，
，………………6分
，………………7分
，………………8分
，………………9分
所以
的分布列为
……………10分
………………12分
20.解：
（1）由
解得
得椭圆
的方程为
.………………4分
（2）当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
或
，此时四边形
的面积为
．……5分
当直线
的斜率存在时，设直线
方程是
，联立椭圆方程
，
……………7分
………………8分
点
到直线
的距离是
………………9分
由
得
因为点
在曲线
上，所以有
整理得
………………10分
由题意四边形
为平行四边形，所以四边形
的面积为
………………11分
由
得
故四边形
的面积是定值，其定值为
．………………12分
21.解：
（1）由于
，
则
当
时，
，
即当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
故
在
处取得极大值，
则
，解得：
；………………………………3分
当
时，
恒成立，
无极值，不合题意舍去；………………4分
当
时，
，
即当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
故
在
处取得极小值，不合题意舍去；
因此当
时，
在
上存在极大值点；………………6分
（2）法一：
令
，
，
由
（1）得：
在
处取得极大值1，且该极值是唯一的，
则
，即
，当且仅当
时取“=”，………………8分
故当
时，
，………………10分
因此
．………………12分
法二：
下面用数学归纳法证明：
，对
恒成立．
（1）当
时，左边
，右边
，
左边
右边，结论成立；
（2）假设当
时，结论成立，即
，
当
时，左边
，
而
，
令
，
，
由
（1）得：
在
处取得极大值1，且该极值是唯一的，
则
，即
，当且仅当
时取“=”，………………10分
则
对
恒成立，即
成立
故当
时
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