∃x∈R,sinx-cosx=-
,则下列命题中为真命题的是________.(填序号)
①p∧q②(綈p)∧q
③p∧(綈q)④(綈p)∧(綈q)
答案 ②
解析 若x31,∴命题p为假命题;
若sinx-cosx=
sin(x-
)=-
,
则x-
=
+2kπ(k∈Z),即x=
+2kπ(k∈Z),
∴命题q为真命题,∴(綈p)∧q为真命题.
7.(2017·江苏淮安中学月考)已知命题:
“∃x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”是真命题,则a的取值范围是________.
答案 [-8,+∞)
解析 由已知得,∃x∈[1,2],使a≥-x2-2x成立;若记f(x)=-x2-2x(1≤x≤2),则a≥f(x)min.而结合二次函数f(x)=-x2-2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f
(2)=-22-2×2=-8,所以a≥-8.
8.设p:
方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:
方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是__________.
答案 (-∞,-2]∪[-1,3)
解析 p:
x2+2mx+1=0有两个不相等的正根,
即m<-1.
q:
x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,
Δ=[2(m-2)]2-4(-3m+10)=4(m2-m-6)<0,
即-2<m<3.
分两种情况:
①p真q假,m≤-2;②p假q真,-1≤m<3.
综上可知,使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3).
9.下列命题中的假命题是________.(填序号)
①∀x∈R,2x-1>0②∀x∈N*,(x-1)2>0
③∃x0∈R,lgx0<1④∃x0∈R,tan
=5
答案 ②
解析 ①中,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得2x-1>0;②中,∵x∈N*,∴当x=1时,(x-1)2=0与(x-1)2>0矛盾;③中,当x0=
时,lg
=-1<1;④中,当x∈R时,tanx∈R,∴∃x0∈R,tan
=5.
10.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:
∀x∈A,2x∈B,则綈p为______________.
答案 ∃x∈A,2x∉B
解析 命题p:
∀x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定应为存在性命题.
∴綈p:
∃x∈A,2x∉B.
11.已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是________.
答案 (
,1)∪(1,+∞)
解析 ∵函数f(x)=a2x-2a+1,
命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,
∴原命题的否定是:
“∃x∈(0,1),使f(x)=0”是真命题,∴f
(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,
∴(a-1)2(2a-1)>0,解得a>
,且a≠1,
∴实数a的取值范围是(
,1)∪(1,+∞).
12.已知命题p:
x2+2x-3>0;命题q:
>1,若“(綈q)∧p”为真,则x的取值范围是________________.
答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)
解析 因为“(綈q)∧p”为真,即q假p真,而q为真命题时,
<0,即20,解得x>1或x<-3,由
得x≥3或1<x≤2或x<-3,
所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<-3}.
13.(2016·连云港模拟)已知命题p:
∃x0∈R,(m+1)·(x
+1)≤0,命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为____________.
答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞)
解析 由命题p:
∃x0∈R,(m+1)(x
+1)≤0可得m≤-1,由命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,可得-2-1.
14.已知命题p:
“∀x∈R,∃m∈R,4x-2x+1+m=0”,若命题綈p是假命题,则实数m的取值范围是________.
答案 (-∞,1]
解析 若綈p是假命题,则p是真命题,
即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解,
由于m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,
∴m≤1.
15.已知函数f(x)=
(x≥2),g(x)=ax(a>1,x≥2).
(1)若∃x0∈[2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为________________;
(2)若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为________________.
答案
(1)[3,+∞)
(2)(1,
]
解析
(1)因为f(x)=
=x+
=x-1+
+1≥2+1=3,当且仅当x=2时等号成立,所以若∃x0∈[2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为[3,+∞).
(2)因为当x≥2时,f(x)≥3,g(x)≥a2,若∀x1∈[2,+∞),∃x2∈[2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则
解得a∈(1,
].