自动控制原理实验211解析.docx
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自动控制原理实验211解析
实验二线性系统时域响应分析
一、实验目的
1．熟练掌握step（）函数和impulse（）函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。
2．通过响应曲线观测特征参量
和
对二阶系统性能的影响。
3．熟练掌握系统的稳定性的判断方法。
二、基础知识及MATLAB函数
（一）基础知识
时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。
为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。
本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。
用MATLAB求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s的降幂排列写为两个数组num、den。
由于控制系统分子的阶次m一般小于其分母的阶次n，所以num中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。
1．用MATLAB求控制系统的瞬态响应
1）阶跃响应
求系统阶跃响应的指令有：
step（num,den）时间向量t的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出
step（num,den,t）时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:
0.1:
10）
[y，x]=step（num,den）返回变量y为输出向量，x为状态向量
在MATLAB程序中，先定义num,den数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。
考虑下列系统：
该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s的降幂排列。
则matlab的调用语句：
num=[0025];%定义分子多项式
den=[1425];%定义分母多项式
step（num,den）%调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲线
grid%画网格标度线
xlabel（‘t/s’）,ylabel（‘c（t）’）%给坐标轴加上说明
title（‘Unit-stepRespinseofG（s）=25/（s^2+4s+25）’）%给图形加上标题名
则该单位阶跃响应曲线如图2-1所示：
为了在图形屏幕上书写文本，可以用text命令在图上的任何位置加标注。
例如：
text（3.4,-0.06,’Y1’）和text（3.4,1.4,’Y2’）
第一个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4,y=-0.06上书写出’Y1’。
类似地，第二个语句告诉计算机，在坐标点x=3.4,y=1.4上书写出’Y2’。
若要绘制系统t在指定时间（0-10s）内的响应曲线，则用以下语句：
num=[0025];
den=[1425];
t=0:
0.1:
10;
step（num,den,t）
即可得到系统的单位阶跃响应曲线在0-10s间的部分，如图2-2所示。
2）脉冲响应
①求系统脉冲响应的指令有：
impulse（num,den）时间向量t的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出
impulse（num,den,t）时间向量t的范围可以由人工给定（例如t=0:
0.1:
10）
[y,x]=impulse（num,den）返回变量y为输出向量，x为状态向量
[y,x,t]=impulse（num,den,t）向量t表示脉冲响应进行计算的时间
例：
试求下列系统的单位脉冲响应：
在matlab中可表示为
num=[001];
den=[10.21];
impulse（num,den）
grid
title（‘Unit-impulseResponseofG（s）=1/（s^2+0.2s+1）’）
由此得到的单位脉冲响应曲线如图2-3所示：
②求脉冲响应的另一种方法
应当指出，当初始条件为零时，G（s）的单位脉冲响应与sG（s）的单位阶跃响应相同。
考虑在上例题中求系统的单位脉冲响应，因为对于单位脉冲输入量，R（s）=1所以
因此，可以将G（s）的单位脉冲响应变换成sG（s）的单位阶跃响应。
向MATLAB输入下列num和den，给出阶跃响应命令，可以得到系统的单位脉冲响应曲线如图2-4所示。
num=[010];
den=[10.21];
step（num,den）
grid
title（‘Unit-stepResponseof
sG（s）=s/（s^2+0.2s+1）’）
3）斜坡响应
MATLAB没有直接调用求系统斜坡响应的功能指令。
在求取斜坡响应时，通常利用阶跃响应的指令。
基于单位阶跃信号的拉氏变换为1/s，而单位斜坡信号的拉氏变换为1/s2。
因此，当求系统G（s）的单位斜坡响应时，可以先用s除G（s），再利用阶跃响应命令，就能求出系统的斜坡响应。
例如，试求下列闭环系统的单位斜坡响应。
对于单位斜坡输入量，R（s）=1/s2，因此
在MATLAB中输入以下命令，得到如图2-5所示的响应曲线：
num=[0001];
den=[1110];
step（num,den）
title（‘Unit-RampResponseCuveforSystemG（s）=1/（s^2+s+1）’）
2.特征参量
和
对二阶系统性能的影响
标准二阶系统的闭环传递函数为：
二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。
1）
对二阶系统性能的影响
设定无阻尼自然振荡频率
，考虑5种不同的
值：
=0,0.25,0.5,1.0和2.0，利用MATLAB对每一种
求取单位阶跃响应曲线，分析参数
对系统的影响。
为便于观测和比较，在一幅图上绘出5条响应曲线（采用“hold”命令实现）。
num=[001];den1=[101];den2=[10.51];
den3=[111];den4=[121];den5=[141];
t=0:
0.1:
10;step（num,den1,t）
grid
text（4,1.7,’Zeta=0’）;hold
step（num,den2,t）
text（3.3,1.5,’0.25’）
step（num,den3,t）
text（3.5,1.2,’0.5’）
step（num,den4,t）
text（3.3,0.9,’1.0’）
step（num,den5,t）
text（3.3,0.6,’2.0’）
title（‘Step-ResponseCurvesforG（s）=1/[s^2+2（zeta）s+1]’）
由此得到的响应曲线如图2-6所示：
2）
对二阶系统性能的影响
同理，设定阻尼比
时，当
分别取1,2,3时，利用MATLAB求取单位阶跃响应曲线，分析参数
对系统的影响。
num1=[001];den1=[10.51];
t=0:
0.1:
10;step（num1,den1,t）;
grid;holdon
text（3.1,1.4,’wn=1’）
num2=[004];den2=[114];
step（num2,den2,t）;holdon
text（1.7,1.4,’wn=2’）
num3=[009];den3=[11.59];
step（num3,den3,t）;holdon
text（0.5,1.4,’wn=3’）
由此得到的响应曲线如图2-7所示：
3．系统稳定性判断
1）直接求根判稳roots（）
控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。
因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。
MATLAB中对多项式求根的函数为roots（）函数。
若求以下多项式的根
，则所用的MATLAB指令为：
>>roots（[1,10,35,50,24]）
ans=
-4.0000
-3.0000
-2.0000
-1.0000
特征方程的根都具有负实部，因而系统为稳定的。
2）劳斯稳定判据routh（）
劳斯判据的调用格式为：
[r,info]=routh（den）
该函数的功能是构造系统的劳斯表。
其中，den为系统的分母多项式系数向量，r为返回的routh表矩阵，info为返回的routh表的附加信息。
以上述多项式为例，由routh判据判定系统的稳定性。
den=[1,10,35,50,24];
[r,info]=routh（den）
r=
13524
10500
30240
4200
2400
info=
[]
由系统返回的routh表可以看出，其第一列没有符号的变化，系统是稳定的。
注意：
routh（）不是MATLAB中自带的功能函数，须加载自编才能运行，其代码如下。
function[RouthTable,Conclusion]=routh（polequ）
%劳斯判据求解系统稳定性函数
%输入：
%polequ=特征方程向量;
%输出：
%RouthTable=劳斯表
%Conclusion=系统是否稳定或存在多少个不稳定的根的结论
%事例:
%[RouthTable,Con]=routh（[12345]）;
%RouthTable=
%135
%240
%150
%-600
%500
%Con=
%所判定系统有2个不稳定根!
%
%
n=length（polequ）;
polequ=reshape（polequ,1,n）;
ifmod（n,2）==0
n1=n/2;
else
n1=（n+1）/2;
polequ=[polequ,0];
end
routh=reshape（polequ,2,n1）;
RouthTable=zeros（n,n1）;
RouthTable（1:
2,:
）=routh;
i=3;
while1;
%=========特殊情况1（第一列为0，其余列不为0）=====================
ifRouthTable（i-1,1）==0&&sum（RouthTable（i-1,2:
n1））~=0
polequ=conv（polequ,[13]）;
n=length（polequ）;
ifmod（n,2）==0
n1=n/2;
else
n1=（n+1）/2;
polequ=[polequ,0];
end
routh=reshape（polequ,2,n1）;
RouthTable=zeros（n,n1）;
RouthTable（1:
2,:
）=routh;
i=3;
end
%=========计算劳斯表===========================================
ai=RouthTable（i-2,1）/RouthTable（i-1,1）;
forj=1:
n1-1
RouthTable（i,j）=RouthTable（i-2,j+1）-ai*RouthTable（i-1,j+1）;
end
%==========特殊情况2（全0行）======================================
ifsum（RouthTable（i,:
））==0
k=0;
l=1;
F=zeros（1,n1）;
whilen-i-k>=0
F（l）=n-i+1-k;
k=k+2;
l=l+1;
end
RouthTable（i,:
）=RouthTable（i-1,:
）.*F（1,:
）;
end
%=========更新==================================================
i=i+1;
ifi>n
break;
end
end
%=============outhput===========
r=find（RouthTable（:
1）<0）;
ifisempty（r）==1
Conclusion='所要判定系统稳定!
';
else
n2=length（r）;
m=n2;
fori=1:
n2-1
ifr（i+1）-r（i）==1
m=m-1;
end
end
str1='所判定系统有';
ifr（n2）==n
str2=num2str（m*2-1）;
else
str2=num2str（m*2）;
end
str3='个不稳定根!
';
Conclusion=[str1,str2,str3];
end
三、实验内容
1．观察函数step（）和impulse（）的调用格式，假设系统的传递函数模型为
绘制出系统的阶跃响应曲线。
2．对典型二阶系统
1）分别绘出
，
分别取0,0.25,0.5,1.0和2.0时的单位阶跃响应曲线，分析参数
对系统的影响，并计算
=0.25时的时域性能指标
。
σ=（1.44-1）/1=44%
tr=1.7-0.6=1.1s
tp=3.2s
ts=10.8s
ess=0
2）绘制出当
=0.25,
分别取1,2,4,6时单位阶跃响应曲线，分析参数
对系统的影响。
3．系统的特征方程式为
，试用两种判稳方式判别该系统的稳定性。
方法1：
直接调用Matlab自带函数
>>roots（[1,10,35,50,24]）
ans=
0.4191+1.4081i
0.4191-1.4081i
-0.6691+0.1250i
-0.6691-0.1250i
方法2：
先构造一个劳斯稳定判据routh（）函数，并以routh.m保存后在commandwindow里调用即可
>>den=[2,1,3,5,10];
>>[r,info]=routh（den）
r=
2.00003.000010.0000
1.00005.00000
-7.000010.00000
6.428600
10.000000
info=
所判定系统有2个不稳定根!
>>
四、实验报告
1．根据内容要求，写出调试好的MATLAB语言程序，及对应的MATLAB运算结果。
2.记录各种输出波形，根据实验结果分析参数变化对系统的影响。
3．写出实验的心得与体会。
五、预习要求
1.预习实验中基础知识，运行编制好的MATLAB语句，熟悉MATLAB指令及step（）和impulse（）函数。
2.结合实验内容，提前编制相应的程序。
3．思考特征参量
和
对二阶系统性能的影响。
4．熟悉闭环系统稳定的充要条件及学过的稳定判据。
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