高考数学解题方法 函数方程稳妥实用理 Word版 含答案.docx

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高考数学解题方法函数方程稳妥实用理Word版含答案

函数方程　稳妥实用

一、函数与方程思想在不等式中的应用

函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．

【例1】　设不等式2x－1>m（x2－1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围．

【解析】　问题可以变成关于m的不等式：

即（x2－1）m－（2x－1）<0在[－2,2]上恒成立，

设f（m）＝（x2－1）m－（2x－1），

则

即

解得

，

故x的取值范围为

.

【类题通法】

一般地，对于多变元问题，需要确定合适的变量和参数，反客为主，主客换位思考，创设新的函数，并利用新的函数创造性地使原问题获解．求解本题的关键是变换自变量，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题．

【对点训练】

1．若0

A．

>lnx2－lnx1　　B．

C．x2

>x1

D．x2

【答案】C

【解析】设f（x）＝ex－lnx（0

则f′（x）＝ex－

＝

.

令f′（x）＝0，得xex－1＝0.

根据函数y＝ex与y＝

的图象可知两函数图象交点x0∈（0,1），因此函数f（x）在（0,1）上不是单调函数，故A、B选项不正确．

设g（x）＝

（0

.

又0

∴函数g（x）在（0,1）上是减函数．

又0g（x2），

∴x2

>x1

，故选C．

2．已知定义在R上的函数g（x）的导函数为g′（x），满足g′（x）－g（x）＜0，若函数g（x）的图象关于直线x＝2对称，且g（4）＝1，则不等式

＞1的解集为________．

【答案】（－∞，0）

【解析】∵函数g（x）的图象关于直线x＝2对称，

∴g（0）＝g（4）＝1.

设f（x）＝

，

则f′（x）＝

＝

.

又g′（x）－g（x）＜0，∴f′（x）＜0，

∴f（x）在R上单调递减．

又f（0）＝

＝1，∴f（x）＞f（0），∴x＜0.

3．已知f（t）＝log2t，t∈[

，8]，对于f（t）值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．

【解析】∵t∈[

，8]，∴f（t）∈

.

原题转化为m（x－2）＋（x－2）2>0恒成立，

当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.

令g（m）＝m（x－2）＋（x－2）2，m∈

.

问题转化为g（m）在m∈

上恒大于0，

则

即

解得x>2或x<－1.

∴x的取值范围是（－∞，－1）∪（2，＋∞）.

二、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用

三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．

【例2】　

（1）若方程cos2x－sinx＋a＝0在

上有解，则a的取值范围是________．

【答案】（－1,1]

【解析】法一：

把方程变形为a＝－cos2x＋sinx，

设f（x）＝－cos2x＋sinx，x∈

，

显然，当且仅当a属于f（x）的值域时有解．

因为f（x）＝－（1－sin2x）＋sinx＝

2－

，且由x∈

知sinx∈（0,1]，易求得f（x）的值域为（－1,1]，故a的取值范围是（－1,1]．

法二：

令t＝sinx，

由x∈

，可得t∈（0,1]．

将方程变为t2＋t－1－a＝0.

依题意，该方程在（0,1]上有解，

设f（t）＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－

，如图所示．

因此，f（t）＝0在（0,1]上有解等价于

即

所以－1

故a的取值范围是（－1,1]．

（2）已知a，b，c为平面上三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，则对于任意实数x，y，|c－xa－yb|的最小值为________．

【答案】2

【解析】由题意可知|a|＝|b|＝1，a·b＝0，

又|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，

所以|c－xa－yb|2＝|c|2＋x2|a|2＋y2|b|2－2xc·a－2yc·b＋2xya·b

＝9＋x2＋y2－4x－2y

＝（x－2）2＋（y－1）2＋4，

当且仅当x＝2，y＝1时，（|c－xa－yb|2）min＝4，

所以|c－xa－yb|的最小值为2.

【类题通法】

（1）研究此类含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：

一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域．二是换元，将复杂方程问题转化熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．

（2）平面向量中含函数（方程）的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．

【对点训练】

1．（2018届高三·广东五校协作体第一次诊断考试）已知向量a＝（λ，1），b＝（λ＋2,1），若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为（　　）

A．－1B．2

C．1D．－2

【答案】A

【解析】法一：

由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，故a·b＝（λ，1）·（λ＋2,1）＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.

法二：

a＋b＝（2λ＋2,2），a－b＝（－2,0），

由|a＋b|＝|a－b|，

可得（2λ＋2）2＋4＝4，解得λ＝－1.

2．若关于x的方程2sin

＝m在

上有两个不等实根，则m的取值范围是（　　）

A．（1，

）B．[0,2]

C．[1,2）D．[1，

]

【答案】C

【解析】2sin

＝m在

上有两个不等实根等价于函数f（x）＝2sin

的图象与直线y＝m有两个交点．在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝m的图象如图所示，由图可知m的取值范围是[1,2）．

3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知△ABC的面积为3

，b－c＝2，cosA＝－

，则a＝________.

【答案】8

【解析】在△ABC中，由cosA＝－

，可得sinA＝

，

所以

解得

三、函数与方程思想在数列中的应用

数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．

【例3】　已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝

＋

＋…＋

，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．

【解析】

（1）因为a1＝2，a

＝a2（a4＋1），

又因为{an}是正项等差数列，故公差d≥0，

所以（2＋2d）2＝（2＋d）（3＋3d），（列出方程）

解得d＝2或d＝－1（舍去），

所以数列{an}的通项公式an＝2n.

（2）由

（1）知Sn＝n（n＋1），

则bn＝

＋

＋…＋

＝

＋

＋…＋

＝

－

＋

－

＋…＋

－

＝

－

＝

＝

，

令f（x）＝2x＋

（x≥1），（构造函数）

则f′（x）＝2－

，

当x≥1时，f′（x）>0恒成立，

所以f（x）在[1，＋∞）上是增函数，

故当x＝1时，f（x）min＝f

（1）＝3，

即当n＝1时，（bn）max＝

，

要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，

则须使k≥（bn）max＝

，

所以实数k的最小值为

.

【类题通法】

本题完美体现了函数与方程思想的应用，第

（1）问直接列方程求公差；第

（2）问求出bn的表达式，说明要求bn≤k恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f（x）＝2x＋

（x≥1），利用函数求解．

【对点训练】

1．（2017·洛阳第一次统一考试）等差数列{an}为递增数列，若a

＋a

＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d的值为（　　）

A．1B．2

C．9D．10

【答案】A

【解析】依题意得（a1＋a10）2－2a1a10＝（a5＋a6）2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，∴a1a10＝10.

又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1

∴a1＝1，a10＝10，d＝

＝1.

2．设数列{an}，{bn}满足a1＝a>0，an＋1＝

an，且bn＝ln（1＋an）＋

a

，n∈N*，证明：

<

<1.

【解析】证明：

由a1＝a>0，an＋1＝

an知，an>0（n∈N*），

故bn>0（n∈N*）．

因为

<1，所以bn－an>0，

构造函数f（x）＝ln（1＋x）＋

x2－x（x>0），

则其导数f′（x）＝

＋x－1＝

，

当x>0时，f′（x）>0，故f（x）在（0，＋∞）上为增函数，所以f（x）>f（0）＝0，即bn－an>0，所以

<1.

因为

<

，所以ln（1＋an）－an<0，

构造函数g（x）＝ln（1＋x）－x（x>0），

则导函数g′（x）＝

－1＝

，

当x>0时，g′（x）<0，故g（x）在（0，＋∞）上为减函数，

故g（x）

所以ln（1＋an）＋

a

a

，即bn

a

，

所以

>

，所以

<

<1.

四、函数与方程思想在解析几何中的应用

解析几何中有关的求方程、求值等问题常常需要通过解方程（组）来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决．

【例4】　已知椭圆C：

＋

＝1（a>b>0）的右焦点为F（1,0），如图所示，设左顶点为A，上顶点为B，且

·

＝

·

.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定

·

的取值范围．

【解析】

（1）由已知，A（－a,0），B（0，b），F（1,0），

则由

·

＝

·

，得b2－a－1＝0.

∵b2＝a2－1，

∴a2－a－2＝0，

解得a＝2.（列出方程）

∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为

＋

＝1.

（2）①若直线l斜率不存在，则l：

x＝1，

此时M

，N

，

·

＝－

.

②若直线l斜率存在，设l：

y＝k（x－1），M（x1，y1），N（x2，y2），则由

消去y得

（4k2＋3）x2－8k2x＋4k2－12＝0，（列出方程）

∴x1＋x2＝

，x1x2＝

.

∴

·

＝（x1－1，y1）·（x2－1，y2）

＝（1＋k2）[x1x2－（x1＋x2）＋1]

＝

.（转化为函数）

∵k2≥0，∴0<

≤1，∴3≤4－

<4，

∴－3≤

·

<－

.

综上所述，

·

的取值范围为

.

【类题通法】

本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，b的方程，求出a，b值，再求

·

的范围时转化为关于k的函数，利用函数性质求解．

【对点训练】

1．设椭圆中心在坐标原点，A（2,0），B（0,1）是它的两个顶点，直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若

＝6

，则k的值为________．

【答案】

或

【解析】依题意得椭圆的方程为

＋y2