专题学习五.docx
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专题学习五
专题学习
统计与概率、综合与实践内容分析与建议
“统计与概率”的内容在新课程中得到了较大重视，成为和“数与代数”“图形与几何”“综合与实践”并列的四部分内容之一，而统计则成为这一部分内容的重点。
统计的核心是数据分析，数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图象，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计与概率就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学与艺术。
小学“统计与概率”的内容结构在课程标准中较课程标准实验稿有较大变化，即在第一学段内容大大减少，只保留3条要求。
主要是学会分类、会进行简单的数据收集与整理；第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现象发生的可能性”两部分，共8条。
这样调整的原因有，一是在实验过程中原来第一学段对于统计与概率内容的要求，按照学生现有的理解水平，学习有一定困难，教学设计与实施也有很大难度。
二是在内容上与后面两个学段也有较多的重复。
因此，较大幅度降低了第一学段统计与概率学习内容的要求，对后两个学段的内容也做相关的调整，如中数、众数等内容从第二学段移到第三学段。
这样使小学统计与概率内容与初中在学习的要求上有明显区分，在难度上也表现一定的梯度。
因此，《课程标准》小学“统计与概率”的课程内容主要是由数据分析观念与简单数据分析的过程﹑数据分析的基本方法﹑数据的随机性和随机现象及简单随机事件发生的概率构成。
通过本专题分析，使教师在教学中，通过让学生参与在简单问题中收集和处理数据，利用数据分析问题、获取信息的过程，初步认识统计与概率的基础知识和掌握统计数据的基本技能。
专题一统计与概率
（一）
数据分析过程是统计与概率课程的第一个主要内容。
什么是数据分析。
在前面10个核心概念之一数据分析观念中己经做了一些介绍。
在《课程标准》中，将数据分析观念解释为：
“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面，对于同样的事情每次收集到的数据可能不同；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
”这段表述点明了两层意思，一是点明了统计的核心是数据分析。
即“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图象，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。
”二是点明了数据分析观念的三个重要方面的要求：
“体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。
”
基于这些阐述，为使学生树立数据分析的观念，教师最有效的方法就是让他们投入到数据分析的全过程，掌握数据分析的过程。
使学生在此过程中，不仅学习一些必要的知识和方法，同时还将体会数据中蕴涵着信息，提高自己运用数据分析问题、解决问题的能力。
下面根据《课程标准》在小学二个学段对数据分析过程的相应要求，对数据分析的过程做具体阐述。
1.明确数据分析过程的要求
《课程标准》在小学第一学段提出“经历简单的数据收集和整理过程”。
在第二学段提出“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）”；而在初中第三学段中，提出“经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据”。
从这些要求中不难看出以下几点：
一是数据分析的过程可以概括为收集数据、整理数据、描述数据和分析数据。
二是学段的要求逐步深入，从第一学段到第三学段，随着年龄的增长，学生将逐步经历更加完整的数据分析过程。
三是从第二学段开始使用计算器来处理数据，到第三学段则要求能使用计算器处理较为复杂的数据。
同时在三个学段中，《课程标准》都举了对全班同学的身高进行分析的例子，并且鼓励学生把每年测量身高的数据保留下来，根据不同学段的特点对数据进行整理、描述和分析，提取信息，从而经历数据整理的过程。
具体阐述和要求如下。
学校一般每年都要测量学生的身高，这为学习数据收集提供了很好的资源，因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所不同。
第一学段：
对全班同学的身高进行调查。
主要让学生感悟这些信息，而在提取信息的数量上并不是要求非常高，关键是可以从数据中得到一些信息，如学生会发现，我们班谁最高、谁最矮，谁比谁高多少，最后让学生意识到数据就是信息，并让学生把测量身高的数据保留下来，养成保存数据资料的习惯。
第二学段：
对全班同学的身高的数据能进行整理和简单分析。
如在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的数据进行整理和分析。
在这个学段中，要求小学生结合以前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。
整理的目的是为了便于分析。
如条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。
学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班的什么位置。
显然这个要求又有所提高。
用上面这个例子来说明了不同学段的不同要求，如上面第二学段，随着学生知识丰富，在学了统计图后又学了平均数，在选择代表班级学生身高的时候，就会想到用平均身高来刻画，当然也不排除有的学生会选一些众数中位数来表示，虽然这两个知识放到了第三学段，但不排除有的学生会感悟到哪个身高出现的人数是最多的，或者谁是在班级中间的位置，或者发现两个班学生的平均身高是一样的，但是身高差别比较大，就可能会出现方差等新的知识，教师此时也要恰当引导。
用上面例子可说明，经历数据收集、管理和分析的过程中，要鼓励学生尽可能地运用所学的知识经验去获取信息是非常重要的。
2.设计问题情境体会收集数据。
教学中教师应注重设计贴近学生生活的问题情境，使他们在经历简单收集数据的过程中，逐步体会到现代社会里，充满着大量的数据，了解许多问题解决应当先做调查研究，收集数据，通过数据的收集﹑管理和分析判断做出问题解决的合理决策。
如设计小学生所熟悉的“组织体育比赛”活动,为了更好地组织比赛，需要调查全班同学最喜欢的体育活动和活动方式，由此鼓励学生用收集到的数据作出决定：
“你认为班级最好组织什么体育比赛”“比赛采用什么形式进行”，从而确定班级如何进行体育比赛。
还如《课程标准》中的一个例子：
新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。
一是全班同学讨论决定购买方案的原则，在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果。
二是鼓励学生讨论收集数据的方法,如采用一个同学提案、赞同举手的方法,也可以采取填写调查表的方法,还可以采用全部提案后，同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法等。
三是收集并表示数据，参照事先的约定最后决定购买水果的方案。
在这个例子中不难看出，需要设计合适的问题情境，使学生体会到收集数据、整理数据、分析数据的过程，为作出决策服务。
3.注重数据的收集和积累
无论是在生活中遇到的数学分析例子，还是教科书中的例子，教师在教学中应该鼓励学生注重平时数据的收集和积累，并适时展示交流，使学生体会到数据分析在方方面面的应用。
比如，2008年北京奥运会结束了，奥运会里有哪些数据分析运用的例子？
教师可以鼓励学生以此为情境收集北京奥运会数据。
又如现在商场很多地方都会设计一些摸奖游戏，教师也可以把它们做一些适当的改动，引进到课堂教学中，这不仅为统计与概率的学习提供了现实的素材，还可以引导学生对生活中的一些现象树立正确的认识。
同时，也可以在数据整理以后，培养学生有一个反思的过程，讨论这些数据能解决什么问题。
如教师组织学生调查班级同学的身高情况，把数据调查出以后，进行了整理。
最后教师可鼓励学生思考：
看到这些身高的数据，它能帮助我们解决什么问题？
学生可能就会回答：
“我可以了解到班级同学的身高情况，知道自己的身高在班内处于什么位置。
”“班级有8岁的、有9岁的，我今年8岁，看到9岁同学的身高，我可以先预测一下到9岁时自己大概多高。
”“学校可以根据我班学生的身高情况确定我班课桌椅的高度。
”……尽管学生的想法不一定完全符合实际，但能让学生在这样的过程中再一次认识到数据的作用。
4.注重结合现实生活活动中的案例培养学生数据分析的意识
培养学生数据分析的意识，体会数据中所蕴涵着信息，绝不能仅仅依靠课堂教学，而且课堂教学由于时间和空间的限制，往往也很难完整地展示数据分析全过程，所以，在教学中要适当地设计一些现实实践活动案例，将课程内外结合起来。
以平均数教学为例，有人做过调查，学生学习了平均数会进行计算，但遇到真正的数据需要分析时，他们却很少想到用平均数。
所以说，平均数教学关键之一是培养学生的数据分析观念，使他们想到用平均数，愿意用平均数来刻面数据。
下面是的体会平均数的意义和价值的案例，学生在学习了平均数后，师生共同讨论了以下的三条信息。
1.利用节约用水信息深入理解平均数的意义。
师：
我这也有条信息，我们一起看看。
（l）出示：
节约用水图。
师：
为什么要节约用水？
（根据学生回答评价学生的节能意识）那我们来看看我们国家酌淡水情况。
（2）出示：
我国淡水资源总量为28000亿米3，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第4位。
师：
找一名同学读一读。
看到这条信息你有什么感觉？
（学生可能产生疑问：
水并不少，世界100多个国家，我们排第4名。
）
（3）我们再来看看下面这条信息。
出示：
我国人均水资源只有2300米3，在世界上名列第121位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。
师：
请大家静静地读一读这条信息，你又发现了什么？
（这里让学生通过名次下降再次提出对平均数的理解。
“贫乏”这个词是什么意思？
有那么多水，怎么用“贫乏”来形容我们国家呢？
）
总结：
言之有理，看来同学们对平均数的理解越来越深刻了，光比总量是不行的，还要看我们的人均水资源。
好，那对于我们国家来说，就更应该去节约用水了。
2．出示：
儿童乘车免票线“长个”了的标题。
师：
你知道什么叫“儿童乘车免票线”吗？
没错，就是这条线，我们来看看（图略）。
市发改委与相关部门研究决定，将北京市六岁以下儿童l.1米乘车免票线提高到了1.2米。
师：
为什么要提高？
（学生自然会想到：
孩子们都长高了。
）
师：
怎么去确定这个标准的呢？
（学生可能会回答：
可以调查一下。
）
师：
调查谁？
如果数据来了，有高的、有矮的，如何处理？
（这里要明确调查六岁儿童的身高，渗透抽样调查的想法。
学生结合平均数的理解，回答调查完了可以计算平均数。
）
师：
总结：
你们真了不起，既能准确理解平均数的意义，又能想到可操作的办法。
那我们一起看看实际是怎样做的。
据统计，目前我市六岁男童身高的平均值为119.3厘米，女童身高平均值为118.7厘米。
和你们想的一样，市发改委就是参照了我市六岁儿童的平均身高，才确定了免票线的高度。
看来，这平均数的作用真是不小，连确定免票线的高度都可以参照它。
3．那你们能利用平均数帮我判断一件事情吗？
出示：
据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过1号桥的车辆为1756辆，需要通过2号桥的车辆965辆（两个桥的宽度等条件差不多）。
王老师回家这两条路都可以，并且驾车路程差不多。
你们觉得我走哪好？
那我走那一定快吗？
为什么？
（学生建议教师走2号桥，但偶尔也不一定快。
）
总结：
同学们理解得很好，平均数可以用来作参考，但是它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。
由于理解平均数有三个角度：
算法理解、概念理解、数据理解。
因此，对于数据分析教学，概念理解和数据理解是非常重要的。
在上面的案例中，第一个信息，首先提出我国为什么要节约用水，引发学生思考，然后出示我国的淡水资源情况，使学生体会我国的淡水总量很多，世界排第四位，最后出示我国人均水资源的情况。
使学生体会到在水资源这个问题上，我们光看总量不能说明问题，还要看人均水资源，从而体会了平均数的价值。
第二个信息，儿童乘车免票线问题。
不但使学生能再次体会平均数的价值，而且还渗透了抽样的想法。
第三个信息，走哪条路，学生根据平均需要通过的车辆，帮助老师选择路线并且进行分析。
在这一过程中，学生可以体会到，一方面平均数可以用来作重要依据；另一方面它反映的只是一般情况并不排除某种特殊情况，从而既体会平均数的意义，又体会了数据的随机性。
通过这三个案例不仅说明平均数的使用价值，也说明只有在现实生活中才能有效培养学生数据分析的意识。
专题二统计与概率
（二）
数据分析方法是统计与概率课程的第二个主要内容。
一般数据分析可以分为描述性统计分析和推断性统计分析。
小学数据分析的基本方法主要依据描述性的统计分析，使学生掌握收集数据和整理、描述、分析数据及读统计图的基本方法。
1.收集数据的方法
在收集数据方面，所涉及的数据可能是全体的数据（总体数据），也可能是通过抽样获得的数据（抽样数据）。
《课程标准》指出，在小学第一、第二学段，学生收集的数据，基本上都是总体数据，只有在第三学段中，学生将开始学习抽样数据，体会抽样数据的必要性，并通过实例了解简单的随机抽样。
其中收集数据的来源有两种，一种是现成的数据，另一种是需要自己收集的数据。
在义务教育阶段两种数据来源都应让学生有所体验，特别是对自己收集的数据，常用的数据收集方法包括调查、试验、测量、查阅资料等。
在小学，学生对收集数据的方法初步有一些体验。
为此，《课程标准》在第一学段提出“了解、调查、测量等是收集数据的简单方法”，如让学生去做调查或测量获得一些数据；在第二学段提出“会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”，“能从报纸、杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息”。
学生可以用自己喜欢的方法收集数据，在教学中教师应当引导学生用比较科学合理的方法收集有效的数据。
在经历收集、整理数据的过程中，逐步使学生了解数据的重要性。
2.整理、描述、分析数据的方法
当学生收集了一些数据以后，这些数据往往看起来有些杂乱，这就需要来整理数据，在不损失信息的前提下，对看起来杂乱的数据要进行必要的归纳和整理，然后把整理后的数据运用统计图表等直观地表示出来，并加以适当的分析，为人们作出决策和推断提供依据。
因此整理、描述、分析是数据分析的又一方法。
（1）整理数椐。
整理数椐是指，教师在教学中，首先对看起来有些杂乱的数据进行必要的归纳，然后鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，进行分类。
因为分类是对数据进行整理的重要的手段，也是整理数据的开始，在此基础上，再用自己的方式（文字、图面、表格等）呈现整理数据的结果。
（2）描述数据。
呈现整理数据的结果是描述数据，这里需要指出的是，描述数据的内容不是原来在第一学段要求学生学一些条形统计图和平均数，即不学习正式的统计图表或统计量。
现在《课程标准》中提出，学生在第一学段不用过早地去学习这些描述的方法，而是用自己比较正规的，用自己的方式来把这些数据统计表示出来，这并不代表对统计过程的要求有所降低，它主要是鼓励学生先自己想办法，去呈现自己整理数据的结果，而不是使学生较早地陷入到单纯学习知识中。
这也有助于学生建立进一步学习的经验和兴趣，并在此基础上“通过对数据的简单分析，体会运用数据进行表达与交流的作用，感受数据蕴涵的信息”。
（3）数据分析。
在整理、描述数据的基础上，在第二学段将对数据进行简单的分析，即学习条形统计图、扇形统计图、折线统计图等常见的统计图，并能用它们直观、有效地表示数据。
如《课程标准》中例38的说明中指出：
“条形统计图有利于直观了解不同高度的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。
”因此，需要根据问题的背景选择合适的统计图对对数据进行分析。
3.读统计图的方法
由于学生在第二学段将学习常见的条形统计图、扇形统计图和折线形统计图，并且能够用它们直观有效地来表示出数据，即用图形表示数据的统计方法，这与《课程标准》实验稿相比，在知识上没有什么大的变化，仍然是这三个常见的统计图，但把这些统计的制作内容则放到了第三学段。
这一个简单的变化，可能会使教师出现困惑，好像从一年级就读，四五六还要读，好像读的层次水平也拉不开。
如何解决这个困惑，对于读统计图的学习，教师在教学中不要急于引入对正规统计图的学习，第一学段教师要鼓励学生用自己的方式来描述数据，并在描述数据的过程中，也让学生不断体会自己所用统计图的特点，初步达到能根据实际问题选择合适的统计图来描述数据。
第二学段才让学生学习常见的条形统计图、扇形统计图和折线形统计图，并且用它直观有效地来表示出数据。
Curcio（1987）把学生对数据的“读取”分为三个水平：
①数据本身的读取（readingthedata），即直接能够从统计图中获取有关信息，包括用能够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有明显的答案。
如读一个条形统计图，直接就能看到喜欢红色的有多少人，喜欢蓝色的有多少人。
②数据之间的读取（readingbetweenthedata），即不仅要关注一个一个的数据，还要关注数据之间的关系，包括插入和找到图表中数据的关系。
如做比较（如最多、最少，比较好、最好、最高、最小等）和对数据进行操作（例如，加、减、乘、除）。
③超越数据本身的读取（readingbeyondthedata），包括通过数据来进行推断、预测、推理，并回答具体的问题。
因此，在实际教学中，教师对于第一水平要重视，对于第二水平教师们也要比较关注，对于第三水平，教师也已开始重视鼓励学生尝试由数据信息来进行预测，但不是重点。
教学中也存在一些误区。
如笔者曾经遇到过不止一次这样的案例。
某教师一开始给学生们呈现一个某女生出生到10岁的身高统计图，让学生去预测这个女生18岁时的身高。
学生开始进行预测，答案从170厘米到190厘米的都有，而且都说出道理，如有的学生预测170厘米左右，他说：
“到14岁以后就不怎么长了，我估计她到18岁差不多170厘米”，有的学生（虽然是很少数）脱离了数据去进行“预测”：
“我觉得她应该能长到190厘米，因为8岁到10岁由130厘米长到140厘米，长了10厘米，由10岁到14岁估计能长25厘米，照这个趋势14岁到18岁再长25厘米，就到了190厘米。
”“我估计她到18岁要长到2米。
”……面对五花八门的答案，教师也觉得都有道理，那么如何引导。
于是他说：
“你们的想法都有道理，但是要比较合理地预测，还需要掌握更多的信息，比如，是否收集曾经和她差不多情况的人18岁的身高来帮助预测，或者把她与当地女生平均身高进行对比，看14岁与平均身高的对比情况，由此预测18岁与平均身高的对比情况。
”
当然，无论哪种预测都不能说错的，但也不能完全肯定是正确的，但总会比单纯依靠这个学生以前的情况进行预测要合理。
于是这位教师又做了如下的设计。
给出了这名女生到15岁的身高统计图，让学生思考：
“实际上，该女生今年已经15岁了，她的身高是168厘米”，于是再鼓励学生预测该女生18岁时的身高。
学生会发现12～15岁增长的幅度不大，由此推断15～18岁增长的幅度也会不大。
又有的学生提出可以找一些和该女生情况差不多的女孩，看看她们18岁时的身高。
根据学生的想法，教师呈现了如下三个女生的身高统计图，鼓励学生进行第二次预测。
学生发现虽然她们的身高具体数值不同，但15～18岁变化趋势却比较一致，增长的幅度都不大，由此可以预测该女生到18岁时很可能只比15岁时增长2厘米左右，即她18岁时的身高在170厘米左右。
还有的同学发现该女生的身高值与其中一名女生的统计图比较接近，并且比这个女生略矮一些，由此根据这个女生18岁时身高是171厘米，预测该女生18岁时身高170厘米。
还有的学生提出只有这三个女生的数据是否太少，不能说明一般情况，还可以收集更多的数据。
于是，教师又给出了北京城市女生平均身高统计图，鼓励学生进行第三次预测。
学生发现这组数据也有这个趋势：
15～18岁的身高增长得不多，由此预测该女生的身高是170厘米左右。
有的学生则根据15岁时该女生的身高比平均身高高6厘米，由此估计该女生18岁时也要高6厘米，所以是169厘米左右。
当然，这些预测都是可能性，并不能保证都一定正确。
由这个例子告诉我们，读统计图需要注意三点。
一是预测需要基于数据。
对于脱离数据进行“预测”的学生，要引导他们用数据说话，虽然这个预测也有可能，但可能性不会很大。
二是有时候为了更合理地预测，需要收集更多的数据，获取更多的信息。
三是即使我们有了很多信息，也不是说预测170是对的，190是不对的，也只能这么说在这种情况下，170厘米更加合理一些，190厘米的可能性会小一些。
4.平均数的分析
第二学段还将学习一个重要的刻画数据集中趋势的统计量——平均数。
关于平均数的应用在上一话题已做了介绍，其实平均数是集中趋势的统计量。
在《课程标准》实验稿中，把平均数、中位数、众数都是放在第二学段学习的。
《课程标准》则为了把三个学段的知识层次拉开，降低一、二学段的学习难度，同时也考虑到学生不用过早地学习一些正规统汁量的知识，又考虑平均数相对的重要性，所以在小学阶段，只要求重点是学习平均数，有关中位数众数的学习移入到第三学段。
关于平均数的学习，《课程标准》强调要从三个角度理解平均数。
一个是算法理解，就是计算某些数据的平均值。
二是概念理解，一般情况下是比最小的要大，比最大的要小，是介于两个数值之间的数值。
三是统计理解，即不仅要从概念上理解平均数，更重要的是理解平均数的价值，它在人们获取信息，作出判断决策中起着重要的作用，因此要让学生深刻理解平均数的这个统计意义。
专题三统计与概率（三）
数据的随机性和随机现象及简单随机事件发生的概率是统计与概率的又一重要内容。
《课程标准》调整了对数据的随机性和随机现象及简单随机事件发生概率的教学要求，具体表述为：
“l．结合具体情境，了解简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。
2．通过实验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并和同学交流。
”这对数据的随机性和随机现象提出较为具体的要求。
对于简单随机事件发生的概率的要求是“列出简单随机现象中所有可能发生的结果”，删去了原《课程标准》实验稿中“体验事件发生的可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性；能设计一个方案，符合指定的要求；对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由”的教学要求，这就大大降低了学习要求，同时也使这部分内容更具可操作性，符合小学阶段学生学习的特点。
1.数据的随机性
由于推断性数据分析的目的是要通过数据来推测产生这些数据的背景，因此把它称这个背景为总体。
假定这个总体是未知的，目的是想通过样本来推断总体。
而在调查或者试验之前，不可能知道数据的具体取值。
也就是说，数据可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一样的，这就是数据随机性的由来。
《课程标准》将数据随机性作为数据分析观念的内涵之一，提出数据的随机性主要有两层含义：
一是对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；二是只要有足够的数据就可能从中发现规律。
如《课程标准》中的例子（例40）：
袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到的球的颜色的
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