中考数学第一轮复习专题第21课二次函数含答案.docx

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中考数学第一轮复习专题第21课二次函数含答案

第 21 课二次函数

本节内容考纲要求考查二次函数概念、图象、性质及应用，能根据具体问题求二次函数

的解析式，二次函数的应用。

广东省近 5 年试题规律：

二次函数是必考内容，选择题形式一

般考查二次函数的图象与性质，解答题形式一般与三角形、四边形等问题结合起来，难度较

大，通常是压轴题，要么以函数为背景引出动态几何问题，要么以动态图形为背景，渗透二

次函数问题，是数形结合思想的典例。

知识清单

知识点一二次函数的概念

概念

一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中 x 是

自变量，a、b、c 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数

知识点二二次函数的图象和性质

函数

二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 为常数，a≠0）

a＞0 a＜0

图象

开口方向

抛物线开口向上

抛物线开口向下

对称轴

直线 x＝－

顶点坐标

最值

b 4ac－b2

2a 4a

b 4ac－b2

2a 4a

在对称轴的左侧，即当 x＜－2a时，y

b 4ac－b2

2a 4a

b 4ac－b2

2a 4a

增减性

知识点三

随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，

b b

即当 x＞－2a时，随 x 的增大而增大，即当 x＞－2a时，随 x 的增大而减小，

简记左减右增．简记左增右减.

抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c 是常数）的位置与 a，b，c 的关系

字母或

代数式

字母的符号

a＞0 开口向上

图象的特征

|a|越大开口越小.

a＜0

b＝0

bab＞0（b 与 a 同号）

ab＜0（b 与 a 异号）

c＝0

cc＞0

c＜0

b2－4ac＝0

b2－4acb2－4ac＞0

b2－4ac＜0

开口向下

对称轴为 y 轴.

对称轴在 y 轴左侧.

对称轴在 y 轴右侧.

经过原点.

与 y 轴正半轴相交.

与 y 轴负半轴相交.

与 x 轴有一个交点（顶点）.

与 x 轴有两个交点.

与 x 轴没有交点.

特殊

关系

当 x＝1 时，y＝a+b+c.

当 x＝－1 时，y＝a－ b+c.

若 a＋b＋c＞0，即当 x＝1 时，y＞0.

若 a＋b＋c＜0，即当 x＝1 时，y＜0.

知识点四二次函数平移规律

形如 y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a（x－h）2＋k 形式的函数图象可以相互平移得到，自变量加减左

右移，函数值加减上下移，简单记为：

上加下减，左加右减.

知识点五确定二次函数的解析式

方法

一般式

顶点式

交点式

适用条件及求法

若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次

函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c.

若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（最小值），可设所求二次

函数为 y＝a（x－h）2＋k.

若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0），可设所求的二

次函数为 y＝a（x－x1）（x－x2）.

知识点六二次函数与方程

二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根.

知识点七二次函数的实际应用

（1）通过阅读理解题意；

（2）分析题目中的变量与常量，以及它们之间的关系；

步骤

（3）依据数量关系或图形的有关性质，列出函数关系式；

（4）根据问题的实际意义或具体要求确定自变量的取值范围；

（5）利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定函数的最大（小）值；

（6）检验结果的合理性，获得问题的答案.

1．（顶点坐标）抛物线 y=（x﹣2）2+3 的顶点坐标是（）

A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）

2．（对称轴）抛物线 y=x2﹣2x﹣1 的对称轴是（）

A．x=1B．x=﹣1C．x=2D．x=﹣2

3．（最值）抛物线 y=（x﹣1）2+3（）

A．有最大值 1B．有最小值 1C．有最大值 3D．有最小值 3

4．（最值）二次函数 y=﹣x2﹣4x+5 的最大值是（）

A．﹣7B．5C．0D．9

5．（平移规律）将抛物线 y=3x2 平移得到抛物线 y=3（x+2）2，则这个平移过程

正确的是（）

A．向左平移 2 个单位

C．向上平移 2 个单位

B．向右平移 2 个单位

D．向下平移 2 个单位

经典回顾

考点一二次函数的图象与性质

【例 1】（2019•重庆）抛物线 y＝﹣3x2+6x+2 的对称轴是（）

A．直线 x＝2B．直线 x＝﹣2C．直线 x＝1D．直线 x＝﹣1

【点拔】本题考查了二次函数的性质．抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 的顶点坐标为

（h，k），对称轴为 x＝h．

【例 2】（2019•遂宁）二次函数 y＝x2﹣ax+b 的图象如图所示，对称轴为直线 x

＝2，下列结论不正确的是（）

A．a＝4

B．当 b＝﹣4 时，顶点的坐标为（2，﹣8）

C．当 x＝﹣1 时，b＞﹣5

D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大

【点拔】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数

的图象与系数的关系，本题属于基础题型．

考点二二次函数与一次函数综合

【例 3】（2018•广东）如图，已知顶点为 C（0，﹣3）的抛物线 y＝ax2+b（a≠0）

与 x 轴交于 A，B 两点，直线 y＝x+m 过顶点 C 和点 B．

（1）求 m 的值；

（2）求函数 y＝ax2+b（a≠0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点 M，使得∠MCB＝15°？

若存在，求出点 M 的坐标；

若不存在，请说明理由．

【点拔】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解

析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．

对应训练

1．（2019•衢州）二次函数 y＝（x﹣1）2+3 图象的顶点坐标是（）

A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）

2．（2019•温州）已知二次函数 y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3 的取值范

围内，下列说法正确的是（）

A．有最大值﹣1，有最小值﹣2

B．有最大值 0，有最小值﹣1

C．有最大值 7，有最小值﹣1

D．有最大值 7，有最小值﹣2

3．（2019•荆门）抛物线 y＝﹣x2+4x﹣4 与坐标轴的交点个数为（）

A．0B．1C．2D．3

4．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为直线 x＝1，则下列结论中，错误的是

（）

A．ac＜0B．b2﹣4ac＞0C．2a﹣b＝0D．a﹣b+c＝0

5．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点 A（﹣3，0），B（0，3），且其对称

轴为直线 x＝﹣1．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点

），求PAB

的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标．

夯实基础

1．（2019•益阳）下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是（）

A．y＝4xB．y＝﹣4xC．y＝x﹣4D．y＝x2

2．（2019•哈尔滨）将抛物线 y＝2x2 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单

位长度，所得到的抛物线为（）

A．y＝2（x+2）2+3

C．y＝2（x﹣2）2﹣3

B．y＝2（x﹣2）2+3

D．y＝2（x+2）2﹣3

3．（2019•兰州）已知点 A（1，y1），B（2，y2）在抛物线 y＝﹣（x+1）2+2 上，

则下列结论正确的是（）

A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2

4．（2019•河南）已知抛物线 y＝﹣x2+bx+4 经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则

n 的值为（）

A．﹣2B．﹣4C．2D．4

5．（2019•哈尔滨）二次函数 y＝﹣（x﹣6）2+8 的最大值是

6．（2019•荆州）二次函数 y＝﹣2x2﹣4x+5 的最大值是．

．

7．（2019•天门）矩形的周长等于 40，则此矩形面积的最大值是

．

（

8． 2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度 h（单位：

m）与飞行时间 t（单

位：

s）之间具有的关系为 h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为

s．

能力提升

9．（2019•阜新）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象过点（﹣1，0）和点（3，

0），则下列说法正确的是（）

A．bc＜0B．a+b+c＞oC．2a+b＝0D．4ac＞b2

10．（2019•益阳）已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：

①ac

＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（）

A．①②B．①④C．②③D．②④

11．（2019•安顺）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴分别交于 A、B

两点，与 y 轴交于 C 点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：

①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．

其中正确的个数是（）

A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个

（

12． 2019•宁洱县模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（3，0）

两点，且与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴 DE 交 x 轴于

点 E，连接 BD．

（1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；

（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE＝PC 时，求点 P 的坐标．

第 21 课二次函数

课前小测

1．A．

2．A．

3．D．

4．D．

5．A．

经典回顾

考点一二次函数的图象与性质

【例 1】C．

【例 2】C．

考点二二次函数与一次函数综合

【例 3】解：

（1）将（0，﹣3）代入 y＝x+m，得：

m＝﹣3；

（2）将 y＝0 时，x＝3，

∴B 的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入 y＝ax2+b 中，得：

⎧b = -3⎧ a = 1

⎨3 ，

⎪b = -3

（3）存在，分以下两种情况：

①若 M 在 B 上方，设 MC 交 x 轴于点 D，则∠ ODC＝45°+15°＝60°，

∴OD＝OC•tan30°＝ 3 ，

设 DC 为 y＝kx﹣3，代入（，0），可得：

k＝ 3 ，

⎧ y = 3x - 3

，

所以 M1（3 3 ，6）；

②若 M 在 B 下方，设 MC 交 x 轴于点 E，则∠ OEC＝45°﹣15°＝30°，

∴∠OCE＝60°，

∴OE＝OC•tan60°＝3 3 ，

设 EC 为 y＝kx﹣3，代入（3 3 ，0）可得：

k＝3

⎧

x - 3

解方程组 ⎨3

⎪ y = 1 x2 - 3

⎪3

，得：

⎨ 1

，

⎩b = 3 ，解得：

⎨b = 3 ，

所以 M2（ 3 ，﹣2），

综上所述 M 的坐标为（3 3 ，6）或（ 3 ，﹣2）．

对应训练

1．A．

2．D．

3．C．

4．C．

5．解：

（1）∵抛物线对称轴是直线 x＝﹣1 且经过点 A（﹣3，0）

由抛物线的对称性可知：

抛物线还经过点（1，0）

设抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c，得

⎧c = 3⎧a = -1

⎪⎪

⎩⎩

∴抛物线的解析式为：

y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b，得

⎧-3k + b = 0⎧k = 1

⎨

∴直线 AB 的解析式为 y＝x+3，

作 PQ⊥x 轴于 Q，交直线 AB 于 M，

设 P（x，﹣x2﹣2x+3），则 M（x，x+3），

∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，

∴S＝ 1

当 x＝﹣ 3

最大

此时，y＝﹣（﹣ 3

∴△PAB 的面积的最大值为 27

3 15

c = 3 ，

夯实基础

1．B．

2．B．

3．A．

4．B．

5．8．

6．7．

7．100．

8．4．

能力提升

9．C．

10．A．

11．B．

12．解：

（1）∵钭 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝﹣x2+bx+c，得：

⎧-1 - b + c = 0⎧b = 2

⎨，解得 ⎨

⎩ -9 + 3b + c = 0⎩

∴y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图，连接 PC，PE．

抛物线的对称轴为 x＝﹣2

当 x＝1 时，y＝4，

∴点 D 的坐标为（1，4）．

设直线 BD 的解析式为 y＝kx+b，得：

⎧k + b = 4⎧k = -2

⎨，解得 ⎨．

⎩3k + b = 0⎩b = 6

∴y＝﹣2x+6，

设点 P 的坐标为（x，﹣2x+6），

又 C（0，3），E（1，0），

∴PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，

PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

∵PC＝PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

解得，x＝2，

则 y＝﹣2×2+6＝2，

∴点 P 的坐标为（2，2）．

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