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线性代数练习进步册附规范标准答案

第1章矩阵

X1xcos⑵

y1xsin

ysinycos

1.写出下列从变量X,y到变量xi,yi的线性变换的系数矩阵:

X1X

⑴y10；

2.（通路矩阵）a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线

上的数字表示联结这两城市的不同通路总数

.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况

4^。

b1兀门二＞。

b2a2七b3

3.设A

24，求3AB-2A和ATB.

4.计算

（1）3

aii

⑵（X,y,i）ai2

a12

a22

5.已知两个线性变换

2yi

4yi

3y22y3,

y25y3

示式,并求从z-,,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.

3zi

2zi

z3,写出它们的矩阵表

3z3

6.设f（x）=aoxm+aixm-1+…+am,A是n阶方阵，定义f（A）=aoAm+aiAm'1+…+amE.

当f（x）=x2-5x+3,A21时，求f（A）.

7.举出反例说明下列命题是错误的

（1）若A2=0,则A=O.

（2）若A2=a，贝UA=O或A=E.

7.设方阵A满足A2-3A-2E=O,证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵.

8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:

（1）A2

9.对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及

B和A之间的关系式.

1002

0332=B.

1121

「22r1

C3C1

10.设PAP

A,其中

11.设A0

0，求A9.

，矩阵B满足AB=A+2B，求

12.设A2

2,利用初等行变换求A-1.

D）P2PiA=B.

复习题一

（A）ACB=E；（

B）CBA=E；

（C）

）BAC=E；

（D）BCA=E.

311

312313

321

322

2.设A321

322323,B

3ii

3i2'

a31

332333

331311

332312333

010

P100

P201

，则必有

（）.

001

1.设A,B,C均为n阶矩阵，且ABC=E,则必有（

）.

323

ai3

（A）APiP2=B；

（B）

AP2Pi=B；

（C）PiP2A=B;（

ai3

B,再把B的第2列与第3列交

3.设A为4阶可逆矩阵，将A的第1列与第4列交换得

换得C,设

Pi0

，P2

0，则C-1=（

（A）A-1PiP2；

（B）P1A-1P2；

（C）P2P1A-1；（D）P2A-1Pi.

4.设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的是（

（A）A-E不可逆;（B）A-2E不可逆;（C）A-3E可逆；（D）A-E和A-2E都可逆.

5.设A=（i,2,3）,B=（i,i/2,i⑶，令C=AtB，求Cn.

6.证明：

如果Ak=O，则（E-Ay^E+A+AJ…+Ak",k为正整数.

0，且A-1BA=6A+BA，求B.

8.设n阶矩阵A及s阶矩阵

B都可逆，求

9.设X

（a®an0）,求X-1.

an1

第2章行列式

习题

1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组

xi2X2X32

2x1x23x31

XiX2X30

2.当x取何值时,

4x0

10x

3.求下列排列的逆序数:

（1）315624；

（2）13…（2n-1）24…（2n）.

4.证明:

a3.

2ab

2bc

5.已知四阶行列式Al中第

2列元素依次为

12-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0,求|A|.

（1）

6.计算下列行列式：

0111

1011

1101

（5）Dn

其中a132a*0

1an

7.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：

|A*|=|A|n-1,（n列.

8.设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A=2,|B|=1,计算|-2A*B-1|.

9.设A2

0，利用公式求A-1.

复习题二

1.设A,B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*,证明：

（AB）*=B*A*.

2.设A

3.已知Ai,A2,Bi,B2都是31矩阵，设A=（Ai,A2,Bi,）,B=（Ai,A2,B2）,|A|=2,|B|=3,求|A+2B|.

4•设a,B都是n阶方阵，试证:

EAB.

第3章向量空间

习题

1.设a1=（1,-1,1）T,a=（0,1,2）T,a=（2,1,3）T,计算3a-2a+a.

2.设a=（2,5,1,3）T,a=（10,1,5,10）T,a=（4,1,-1,1）丁，且3（a-x）+2（a+x）=5（a+x）,求向量x.

3.判别下列向量组的线性相关性：

（1）ai=（-1,3,1）T,a=（2,-6,-2）T,a=（5,4,1）T

⑵Bi=（2,3,0）t,M-1,4,0）T,33=（O,O,2）t.

4.设01=ai,3=01+a,03=ai+a+a3，且向量组a,a,a线性无关，证明向量组0,3,0线性无关.

5.设有两个向量组ai,a,a和0=ai-a+a3,32=01+a-a,俊=-ai+a+a,证明这两个向量

组等价.

6.求向量组a=（1,2,-1）T,a=（0,1,3）T,a=（-2,-4,2）T,a=（0,3,9）T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.

7.设al,a,…,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量£1,龟…,31能由它们线性表示,证明：

a1,a,…,an线性无关.

8.设有向量组a,02,03,a4,a,其中a1,a,a线性无关，a4=aa1+ba,a5=Ca+da3（a,b,c,d

均为不为零的实数），求向量组a,a,a,a的秩.

9.设矩阵A=（1,2,…,n）,B=（n,n-1,…,1）,求秩R（ATB）.

10.设矩阵A

11.已知矩阵A

，求A的秩，并写出A的一个最高阶非零子式.

，若A的秩R（A）=2，求参数t的值.

12.设A0

，求a的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组

13.设A为n阶矩阵,

阶单位矩阵，证明：

如果A2=A,则

E为

R（A）+R（A-E）=n.

14.已知向量空间

R的两组基为

-1

求由基a1,02,a到基

复习题三

1.设矩阵A1

，已知A的秩为3,求k的值.

2.设向量组A:

a,…,a与B:

仏…,9，若A组线性无关且B组能由A组线性表示为

（9,…,9）=（a,…,as）K,其中K为Sr矩阵，试证：

B组线性无关的充分必要条件是矩阵K

的秩R（K）=r.

3.设有三个n维向量组A:

a,a,a;B:

a,a,a,a;C:

a,a,a,a.若A组禾口C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组a,a,a,aa线性无关.

4.设向量组A：

ai=（1,1,0）T,a=（1,0,1）T,a=（0,1,1）T和B：

3=（-1,1,0）T,色=（1,1,1）T,色=（0,1,-1）丁

证明：

A组和B组都是三维向量空间R的基;

求由A组基到B组基的过渡矩阵；

已知向量a在B组基下的坐标为（1,2,-1）T,求a在A组基下的坐标.

第4章线性方程组

习题

x1x25

1.写出方程组2x1x2x32x41的矩阵表示形式及向量表示形式

5x13x22x32x43

2.用克朗姆法则解下列线性方程组

bxay2ab

2cy3bzbe,其中abc0

exaz0

3.问，取何值时，齐次线性方程组

2X2

4.设有线性方程组

多解？

⑶无解?

-Xi

kX2

kX3

2x3

，讨论当

0有非零解?

k为何值时，

（1）有唯一解？

（2）有无穷

x18X210X32X4

5.求齐次线性方程组2x14x25x3x4

3xi8x26x32x4

的一个基础解系.

6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为

ni=（2,3,4,5）T,n+n=（1,2,3,4）T，求此方程组的的通解.

已知ni,n,n是它的三个解向量，且

7.求下列非齐次线性方程组的通解:

x1X25

2x1x2x32x41

5x13x22x32x4

8.设有向量组A:

0（3

1及向量

问向量3能否由向量组A线性表示?

9.设

证明：

（1）

（2）

n*是非齐次线性方程组AX=b的一个解，&,…，知是它的导出组的一个基础解系,

n*,Ei,②…,印-r线性无关；

n*,n*+&,n*+匕,…,n*+Hr线性无关.

1.设A0

复习题四

a，且方程组AX=0的解空间的维数为2,贝Ua=

aixi+a2X2+…+anXn=O,且ai,a2,…,an不全为零，则它的基础解系所含向

设齐次线性方程组

量个数为.

n线性表示；

B能由向量组n线性表示，且表示式唯一；

B能由向量组n线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.

设有向量组na1=（a,2,10）T,a=（-2,1,5）T,%3=（-1,1,4）丁及向量3=（1,b,-1）T,问a,b为何值时，

（1）向量B不能由向量组

（2）向量

（3）向量

设四元齐次线性方程组

x1x20

x2x40

x1x2x30

（n）123

X2X3X40

方程组（I）与（n）的基础解系；

（2）方程组（I）与（n）的公共解.

求非齐次线性方程组Ax=B的通解.

设矩阵A=（ai,a,03,a）,其中a,a,a线性无关，ai=2a-a,向量护ai+a2+as+a,

6.设

a2-

b2-

证明-

「直线

11:

a1x

b1y

l2:

a2x

b2y

I3：

a3X

b3y

bi20,i1,2,3

相交于一点的充分必要条件是向量组

线性无关，且向量组，，线性相关.

第5章矩阵的特征值和特征向量

习题

1.已知向量ai=（1,-1,1）T，试求两个向量a,a,使ai,a,a为R3的一组正交基.

2.设A,B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.

3.设A是n阶正交矩阵，且AF-1，证明：

-1是A的一个特征值.

212

4.求矩阵533的特征值和特征向量.

5.已知三阶矩阵

6.设矩阵a

的特征值为1,2,3，计算行列式|A3-5A2+7E|.

0相似，求x,y；并求一个正交矩阵P，

使p-1ap=a.

7.将下列对称矩阵相似对角化:

（1）2

（2）0

8.设入是可逆矩阵A的特征值，证明：

（1）—是A*的特征值.

（2）当1,-2,3是3阶矩阵A的特征值时，求A*的特征值.

9.设三阶实对称矩阵A的特征值为入1=6,炉启=3，属于特征值入1=6的特征向量为

pi=（1,1,1）T，求矩阵A.

复习题五

1.设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是

则行列式|A+E|=

已知3阶矩阵A,A-E,E+2A都不可逆,

3.设Aa

，已知A与B相似，则a,b满足

4.设A为2阶矩阵,征值为.

a为线性无关的

2维列向量，A01=0,Aa=2a+,a,贝UA的非零特

5.已知矩阵A3

x可相似对角化，求x.

6.设矩阵A满足A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能是1或2.

3的特征值的一个特征向量.

7.已知P1=（1,1,-1）T是对应矩阵A5

（1）求参数a,b及特征值

;

（2）问A能否相似对角化？

说明理由.

8•设A32

，求（^（A）=A10-5A9.

1.写出下列二次型的矩阵表示形式:

x1x|x：

x42x1x2

2.写出对称矩阵A1

3.已知二次型f（Xi,X2,X3）

第6章二次型

习题

4x1x32x1x46X2X34X2X4

2所对应的二次型.

x；ax；4x1X26X2X3的秩为2,求a的值.

222

4.求一个正交变换将f（Xi,X2,X3）2xi3x23x34X2X3化成标准形.

222

5.用配方法将二次型fXi3x25X32x1x24x1X3化成标准形，并写出所用的可逆

线性变换.

6.设二次型f2x23x23x32ax2X3（a0），若通过正交变换xPy化成标准形

fy12y25yl，求a的值.

7.判别下列二次型的正定性:

（1）f

2x16x14x32x1x22x1x3

（2）f

222

3x29X319X42x1x24x1x36X2X412X3X4

8.设f

X；5x32ax1x22X4X34X2X3为正定二次型，求a的取值范围.

复习题六

1.设A为m

n矩阵，B=?

E+AtA，试证：

入＞0时，矩阵B为正定矩阵.

2.设a

0，写出以a,a-1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型化成标准形.

3.已知二次曲面方程xi

柱面方程y2

2y2

a,b的值.

22--__

X2ax32bx1X22x1X35，通过正交变换X=PY化为椭圆

4.设矩阵

0，B（kEA）2，其中k为实数，求对角矩阵A使B

与A相似，并讨论

k为何值时，B为正定矩阵.

测试题一

一、计算题:

1.计算行列式

，计算A3Bt.

设A、B都是四阶正交矩阵,

设三阶矩阵

A与B相似，且

A*为A的伴随矩阵,计算行列式

，计算行列式

B22E.

2BAA*.

，且A的秩为2,求常数a,b的值.

二、解答题:

6.设i（1,ti，ti2,ti3）Ti1,2,3,4，其中

t1,t2,t3,t4是各不相同的数，问4维非零向量能

否由

2x2

7.求齐次线性方程组

3x1

6x2

3x4

5x1

10x2

5x4

kx3

8.问k取何值时，线性方程组

kx2

kx1

（1）有唯一解；

⑵有无穷多解；（3）无解.

9.已知四阶方阵

A=（1,

2,3

4）

，其中

的一个基础解系.

4线性表示？

说明理由.

1,2,3,

3线性无关，4233，求方

程组Ax12

34的通解.

10.三阶实对称矩阵

A的特征值是1,2,3.矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是

1（1,1,1）T，2

（1,2,

1）T,求A的属于特征值3的所有特征向量,并求A的一个相似

变换矩阵P和对角矩阵

使得

三、证明题：

11.设

223,34331，且

3线性无关，证明:

3也线性无关.

12.设

A为实对称矩阵,

且满足

A2A2EO，证明A2E为正定矩阵.

测试题二

一、填空题：

1、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列

134782695的逆序数为

2、已知A为三阶正交矩阵，且

3、设方阵A=

4、设P1AP

，其中

5、“若向量组

线性表示”.

、计算下列各题

1、计算行列式

2、设A2,

A<0,则

AA*=

，若A不可逆，则

0，则a6=

3线性无关,

该命题正确吗?

3、利用初等行变换求矩阵

极大线性无关组.

三、设非齐次线性方程组

向量组

4线性相关，则4一定能由

，且C

，求C5•

的秩，并写出矩阵A的列向量组的一个

X1X2

3x1x2

x15x2

3X3

11X3

9x4

13X4

（1）求它相应的齐次线性方程组的一个基础解系;

（2）求原方程组的通解.

四、求一个可逆变换将二次型

2xi2

3x2

3x14X2X3化为标准形，并判别其正定性.

五、设11,

问a为何值时，可由

3线性表示,

且表示式不唯一？

并说明不唯一的理由.

六、已知矩阵A与B相似，其中

2，计算行列式2B

七、证明题：

1、已知1,2,

3是齐次线性方程组Ax

0的一个基础解系，证明1

也是它的一个基础解系.

AEA,证明

2、设A、B均为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且BE

BE1铲

测试题三

一、填空题：

.已知齐次线性方程组

.已知A为三阶矩阵，且

•已知两个线性变换X1

2x1

4x1

3x2

9x2

A=2，则

¥12y2

¥25y3

从Zi,Z2到Xi,X2的线性变换为

.若二次型f（x1,x2,x3）2x12x2

k的取值范围是

.设A为实对称矩阵,

二、计算下列各题

1.计算行列式

2.设P1AP

，其中

三、解答题:

设向量组

（1）求向量组

的秩,

X30

ax30有非零解，则a应满足的条件是

a2x30

AA*=

3y3

为非零向量，且

¥1

和¥2

2z1

3乙

2z1

3z2

4z2，则

2xiX2

kX2X3是正定的，则

，则T

，计算

A11.

并写出它的一个极大无关组;

5的通解.

（2）令A（1,2,3,4）,求方程组Ax

四、解答或证明下列各题

1.命题一：

“若方阵A满足AA，则AO或A

命题二：

“若方阵A满足A2A，则IA

以上两个命题是否正确？

若正确给出证明，若不正确举例说明之.

2是对应的齐次线性方程组的解空

2.设是四元非齐次线性方程组Axb的一个解,

间的一组基，证明

2线性无关.

（2）令BA22A3E

求一个对角矩阵，使B与相似;

（3）求以A为矩阵的二次型.

测试题四

一、填空题：

1.设A=（-1,0,1）

B=（1,2,3），则（AtB）6=

2.行列式

5.设矩阵A1

（A）{（X1，…,Xn）T

Xi€R且X什…+Xn=1}；

（B）{（X1，…,Xn）T1Xi€R且X什-

{（0,X2，…,Xn）T1Xi€R}；

（D）

-1a=力a1+••-+?

sas,入€R,a为

n维向量｝.

a11

a12

a13

a21

a22a23a23

2.设A

a21

a22

a23

a11

a12a13a13，

a31

a32

a33

a31

a32a33a33

则A=（）.

（A）

Q-1BP'1

（B）

P-1

-1.

（C）QBp；（D）

pbq.

2a线性无关的充分必要条件是（

）.

二、选择题：

1.下列集合中不能构成向量空间的是（）.

•+Xn=0}；（C）

3.n（n>3）维向量

a,aa中任意两个向量线性无关；

a,aa全是非零向量；

对于任何一组不全为零的数k1,k2,k3,都有k1a1+k2a+k30;

a1,aa能由单位坐标向量£1,2,◎线性表示.

n阶方阵A、B满足AB=O,则下列命题中错误的是（）.

（A）

（B）

（C）

（D）

4.设

3.设四阶方阵A、B满足AB+2B+E=O，且|A+2E|=2,贝U|B|=;

4.设A为n阶方阵，且IA|=2,|3E—A|=0,则A的伴随矩阵A*必有一个特征值是

x,已知齐次线性方程组AX=0的解空间的维数为2,则x=

（A）若|A|丰0,贝UB=O;（B）若R（A）=r，则R（B）

（C）|A|、|B|中至少有一个为零；（D）若B丰0,则A=O.

5•设A是mxn矩阵，非齐次线性方程组AX=b的导出组为AX=0.如果mvn,则（）..

（A）AX=b必有无穷多解；（B）AX=b必有唯一解；

（C）AX=0必有非零解；（D）AX=

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