《相似三角形应用举例》习题.docx

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《相似三角形应用举例》习题

《相似三角形应用举例》习题

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于（　　）

A．60mB．40mC．30mD．20m

第1题图第2题图

2．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（　　）

A．6米B．8米C．18米D．24米

3．身高1.6米的小芳站在一棵树下照了一张照片，小明量得照片上小芳的高度是1.2厘米，树的高度为6厘米，则树的实际高度大约是（　　）

A．8米B．4.5米C．8厘米D．4.5厘米

4．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（　　）

A．5.5mB．6.2mC．11mD．2.2m

5．如图，身高1.6m的小华站在距路灯5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为（　　）

A．5mB．4.9mC．4.8mD．4.7m

第4题图第5题图

二、填空题（每小题5分，共25分）

6．在同一时刻太阳光下，身高1.5m的小强影长是0.9m，旗杆的影长是10.8m，则旗杆的高为m．

7．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC、BC分别取其三等分点M、N量得MN＝28m．则AB的长为m．

8．如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7m

1.6m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则BF的长度为m．

第7题图第8题图

9．如图，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）测量零件的内孔直径AB．若OC:

OA＝1:

2，且量得CD＝12mm，则零件的厚度x＝_______mm．

10．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A标杆顶端F树的顶端E同一直线上，此同学眼睛距地面1.6m标杆长为3.3m且BC＝1m，CD＝4m，则ED＝m．

第9题图第10题图

三、解答题（共50分）

11．（10分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，求木竿PQ的长度．

12．（10分）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：

甲组：

如图

（1），测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．

乙组：

如图

（2），测得学校旗杆的影长为900cm．

丙组：

如图（3），测得校园景灯的灯罩部分影长HQ为90cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长40cm，未被照射到的部分KP长24cm．（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计且穿过灯罩中轴线）

（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度是多少米；

（2）请根据甲、丙两组得到的信息，求：

①灯罩底面半径MK的长；②灯罩的高度KK′的长．

13．（10分）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动.小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．

14．（10分）为了加强视力保护意识，小明想在长为4.3米，宽为3.2米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计的方案新颖，构思巧妙．

（1）甲生的方案：

如图1，将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处，被测试人站立在对角线AC上，问：

甲生的设计方案是否可行？

请说明理由．

（2）乙生的方案：

如图2，将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理课计算得到：

测试线应画在距离墙ABEF的　米处．

（3）丙生的方案：

如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．图中的△ADF∽△ABC，如果大视力表中“E”的长是多少cm？

15．（10分）为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度．

参考答案

1．B

【解析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．

∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴△BAE∽△CDE，

∴

，

∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，

∴

，

解得：

AB＝40．

故选B．

2．B

【解析】∵△ABP∽△CDP，

∴

．

∴

（米）．

故选B．

3．A

【解析】设树的高度是x米，根据题意得，

，

解得x＝8米．

故选A．

4．A

【解析】作DE∥BC交FC于点E，得到△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边的比相等得到比例式即可求得两层楼之间的距离：

如图，作DE∥BC交FC于点E，

∴△ABC∽△CED，∴

．

设AB＝x米，由题意得：

DE＝10－4＝6，EC＝x－2.2，

∴

，解得：

x＝5.5．

故选A．

5．C

【解析】∵CE∥AB，∴△ADB∽△EDC，∴AB：

CE＝BD：

CD，即AB：

1.6＝7.5：

2.5，解得：

AB＝4.8m．即路灯的高度为4.8米．故答案为：

4.8．

故选C．

6．18

【解析】根据题意得：

小强的身高：

小强的影长＝旗杆的高度：

旗杆的影长，然后将数字代入进行求解．

7．84

【解析】因为M、N分别为AC，BC的三等分点，∴设MC＝x，则AC＝3x，又∵△CMN∽△CAB，

∴MN：

AB＝MC：

AC．即28：

AB＝x：

3x．解得：

AB＝84m．故答案为：

84．

8．0.9．

【解析】根据题意得出△EBF∽△DCF，进而利用相似三角形的性质得出比例式求出即可：

由题意可得出：

∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD，

∴△EBF∽△DCF，

∴

．

∴

，解得：

BF＝0.9．

9．3．

【解析】要求零件的厚度，由题可知只需求出AB即可．因为CD和AB平行，可得△AOB∽△COD，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答：

∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB．

∵OC：

OA＝1：

2，∴OD：

OB＝OC：

OA＝1：

2．

∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD．∴CD：

AB＝OC：

OA＝1：

2．

∵CD＝12mm，∴AB＝24mm

∴2x＋24＝30.

∴x＝3mm．

10．10.1．

【解析】首先做出辅助线，得出△AHF∽△AGE，进而求出GE的长，进而求出ED的长：

如图，过点A作AG⊥DE于点G，交CF于点H．

由题意可得四边形ABCH、ABDG、CDGH都是矩形，AB∥CF∥DE．

∴△AHF∽△AGE．

∴

．

由题意可得AH＝BC＝1，AG＝BD＝5，FH＝FC－HC＝FC－AB＝3.3－1.6＝1.7．

∴

．

∴ED＝GE＋DG＝GE＋AB＝8.5＋1.6＝10.1．

11．木竿PQ的长度为2.3米．

【解析】

解：

过N点作ND⊥PQ于D，

可得△ABC∽△QDN，

∴

，

又∵AB＝2，BC＝1.6，PM＝1.2，NM＝0.8，

∴QD＝

∴PQ＝QD＋DP＝QD＋NM＝1.5＋0.8＝2.3（米）．

答：

木竿PQ的长度为2.3米．

12．

（1）DE＝12m

（2）①MK＝18cm②KK′＝72cm．

【解析】

（1）根据同一时刻时在阳光下的物高与影长成比例可求出DE的长；

（2）①根据条件可证Rt△PGH∽Rt△PKM∽Rt△ABC，然后利用相似三角形的对应边成比例可求出MK的长；②根据条件可证Rt△PKM≌Rt△LK′N，Rt△ABC∽Rt△LGQ，然后利用相似三角形的性质可求出KK’的长．

解：

（1）因为同一时刻时在阳光下的物高与影长成比例，所以

所以

解得DE＝1200cm＝12m；

（2）①根据条件可得Rt△PGH∽Rt△PKM∽Rt△ABC，所以

所以

解得GH＝30cm，MK＝18cm，②Rt△PKM≌Rt△LK′N，由KP长24cm，得出LK′＝24cm，Rt△ABC∽Rt△LGQ，所以

所以KK′＝72cm．

13．5米．

【解析】根据已知得出旗杆高度，进而得出GM＝MH，再利用勾股定理求出半径即可．

解：

∵海涛身高1.6米，测得其影长为2.4米，

∴8米高旗杆DE的影子为：

12m，

∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，

∴GH＝12－3－1＝8（m），

∴GM＝MH＝4m．

如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．

设小桥所在圆的半径为r，

∵MN＝2m，

∴OM＝（r－2）m．

在Rt△OGM中，由勾股定理得：

∴OG2＝OM2＋42，

∴r2＝（r－2）2＋16，

解得：

r＝5．

答：

小桥所在圆的半径为5m．

14．

（1）甲生的方案可行见解析

（2）1.8

（3）2.1cm

【解析】

（1）由勾股定理求得对角线的长与5米比较．

（2）根据平面镜成像原理知，视力表与它的像关于镜子成对称图形，故EF距AB的距离＝5﹣3.2＝1.8米．

（3）由相似三角形的性质可求解．

解：

（1）甲生的方案可行．理由如下：

根据勾股定理得，

AC2＝AD2＋CD2

＝3.22＋4.32

∵3.22＋4.32＞52

∴AC2＞52

即AC＞5

∴甲生的方案可行．

（2）设：

测试线应画在距离墙ABEF的x米处，

根据平面镜成像，可得：

x＋3.2＝5，

∴x＝1.8，

∴测试线应画在距离墙ABEF的1.8米处．

故答案为：

1.8．

（3）∵△ADF∽△ABC，

∴

 即

∴FD＝2.1（cm）．

答：

小视力表中相应“E”的长是2.1cm．

15．路灯离地面的高度是9米

【解析】先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值．

解：

∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，

∴SO∥AB，

∴△ABC∽△SOC，

∴

＝

，即

，

解得OB＝

h﹣1①，

同理，∵A′B′⊥OC′，

∴△A′B′C′∽△SOC′，

∴

②，

把①代入②得，

，

解得h＝9（米）．

答：

路灯离地面的高度是9米．