角为20度的等腰三角形常见结论.docx
《角为20度的等腰三角形常见结论.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《角为20度的等腰三角形常见结论.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
角为20度的等腰三角形常见结论
角为20度的等腰三角形常见结论
给一种 相对完整统一的共圆证明供参考。
题1 △ABC中，AB=AC,∠A=20∘，D,E分别在AB,AC上，∠DCB=50∘,∠EBC=60∘。
求∠BED的度数。
题2 △ABC中，AB=AC,∠A=20∘，D,E分别在AB,AC上，∠DCB=60∘,∠EBC=70∘。
求∠BED的度数。
题3 △ABC中，AB=AC,∠A=20∘，D,E分别在AB,AC上，∠DCB=50∘,∠EBC=70∘。
求∠BED的度数。
题1解答
题2解答及题3解答
如上图，若记圆EDC与AE的交点为F，则∠ADF=10∘⇒DF⊥BC！
这便是1998年加拿大数学奥林匹克，第4题，总共5题：
在△ABC中,∠BAC=40∘,∠ABC=60∘。
D和E分别是边AC和AB上的点，使得∠CBD=40∘,∠BCE=70∘。
F是直线BD和CE的交点。
证明直线AF和直线BC垂直。
最后，指出再上面的证明过程中，已经证明了第3题。
必须说明的是：
这些玩意，中高考不考，竞赛考，也是翻新加花的。
茶余饭后八封八封还是有意思的，介绍性的，给大家，个个经典，非常的难。
所以，第一次见，不会，特别的正常；真的会解后，有无数后不同的解法。
这些解法，为个人随笔，如果与xx相同，纯是偶然，故绝对不是最简的解法，只是，将这些结论串在一起，方便些。
2014年5月5日，海淀上午数学一模已经考完，来看看第8题，先。
圆实际上没有用的，连接，PA，PB即为最常见的45度角旋转模型了。
如果不用旋转+勾股定理计算外，可以用相似：
△DAP∽△DPC，及△CPB∽△CBP，
由这两组相似，可得
x/sqrt
（2）=PD/PC;
y/sqrt
（2）=PC/PD,
这两式一乘便有
xy＝2.
故结果是C，这个在模拟试卷中的确有好几年没见了，估计好多人都忘记了吧。
第12题？
玩递推式？
先不管。
看后面，先。
——回头看了，原来只是循环，难怪后面大题难的。
呵，第21题还是等腰三角形以一腰为直径作圆类；第22题也是折叠啊，与西城同类型。
第24题，求角度类，这个竞赛类的了，而且顶角是100度的等腰三角形，这个不熟悉者，难上手的。
正好，以前写过这类求角题，大家一会参观一下咯：
顶角为20度的等腰三角形常见结论，与角有关的几何题——从2010年北京中考压轴题说开，数学就是这样，和时尚的东东一样，周而复始。
思路就是：
轴对称+构造等边三角形，构造全等，（当然可以共圆），解法很多了。
写一下第
（2）问两种具体过程吧，（解法具有一般性，解法应该和标答不一样），先——
示例1：
以下度全部省略，80－20＝60，故将△CAD沿AD折叠，得等边△C'BA，
即有圆C'（半径为C'A），圆周与圆心角之间的关系，立刻有角ABD＝10，于是角CBD为30度。
示例2：
（这应该是学生最喜欢的了）
以BC向上作等边三角形，阴影全等可。
翻了一下标答，以AC为边向下作等边，也是常见的。
而第（3）是这个的变式（外圈的等边为辅助线的一种方法）：
（西城某一年八年级下期末统考也考过）
标答给了三个答案，这个怕是在考场是不容易写全了。
海淀第25题，数据出得巧，将直线变换成为双曲线。
题——
第若用柯西不等式，即为：
此题坑人的地方是，很容易将A与B的关系弄反，哈哈~，本人就上当了，开始，取不到等号嘛~
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
2014年4月西城中考数学一模的第8题，背景是Simason松。
也叫西摩松线，具体是指（在中高考范围内，此定理基本无用处）：
西姆松定理：
从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线（这条直线叫西姆松线）。
先看2014年西城九年级下数学一模，第8题：
1二维形式编辑
等号成立条件：
当且仅当
（即
）时，取"=”
扩展：
等号成立条件：
当且仅当
时取等号。
2其他形式编辑
向量形式
证明：
推广：
三角形式
等号成立条件：
（即
）
n维形式
等号成立条件：
，或ai、bi中有一为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：
在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均
不小于各列元素之和的几何平均之积。
（应为之积的几何平均之和）
概率论形式
积分形式
一般形式
设V是一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记做
，它具有以下性质：
1、
2、
3、
4、
当且仅当
定义α的长度
柯西不等式
3证明编辑
二维形式的证明
（a^2+b^2）（c^2+d^2） （a,b,c,d∈R）
=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2
=（ac+bd）^2+（ad－bc）^2
≥（ac+bd）^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
三角形式的证明
√（a^2+b^2）+√（c^2+d^2）≥√[（a+c）^2+（b+d）^2]
证明：
[√（a^2+b^2）+√（c^2+d^2）]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√（a^2+b^2）·√（c^2+d^2）
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2（ac+bd）
=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2
=（a+c）^2+（b+d）^2
两边开根号即得√（a^2+b^2）+√（c^2+d^2）≥√[（a+c）^2+（b+d）^2]
注：
||表示绝对值。
一般形式的证明
剩余几种情形都是一般情形的特例，完全可以用一般情形的证明方法来证。
【柯西不等式的应用】
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数证不等式
例：
设a、b、c为正数且互不相等。
求证：
2/（a+b）+2/（b+c）+2/（c+a）>9/（a+b+c）
证明如果了解柯西不等式,那么很简单
（a+b+b+c+c+a）*[1/（a+b）+1/（b+c）+1/（c+a）]>9
<==>2/（a+b）+2/（b+c）+2/（c+a）>9/（a+b+c）.
附证设2x=a+b,2y=b+c,2z=c+a,则所证不等式等价于
1/x+1/y+1/z>9/（x+y+z）
<==>（x+y+z）/x+（x+y+z）/y+（x+y+z）/z>9
<==>y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6
<==>（y/x+x/y）+（z/x+x/z）+（y/z+z/y）>6.
因为y/x+x/y>2,z/x+x/z>2,y/z+z/y>2.所以上式显然成立.
求某些函数最值
例：
求函数y=3√（x－5）+4√（9－x）的最大值。
（注：
“√”表示平方根）
函数的定义域为[5,9]，y>0
y=3√（x－5）+4√（9－x）≤√（3^2;+4^2;）×√{[√（x－5）]^2;+[√（9－x）]^2;}=5×2=10
函数仅在4√（x－5）=3√（9－x），即x=6.44时取到。
以上只是柯西不等式的部分示例。
更多示例请参考有关文献。
4柯西简介编辑
柯西（CauchyAugustin-Louis，1789－1857），法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。
由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。
他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。
在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以《分析教程》（1821年）和《关于定积分理论的报告》（1827年）最为著名。
不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评“高产而轻率”，这点倒是与数学王子相反。
据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。
柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。
柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。
特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为力学奠定了严格的理论基础。
5其他不等式编辑
卡尔松不等式
琴生不等式
均值不等式
绝对值不等式
权方和不等式
赫尔德不等式
闵可夫斯基不等式
贝努利不等式
排序不等式
基本不等式
6复变编辑
复变中的柯西不等式见右图
内容
词条标签：
数学不等式函数数学公式数学理论 高等数学
柯西不等式图册
词条统计
浏览次数：
469077次
编辑次数：
138次 历史版本
最近更新：
2014-05-03
创建者：
imachina2001
百科消息：
“二维马”知识行大挑战
XX票务好福利——80元看孙燕姿！
母亲节为妈妈的健康加分只需9.9元
【XX百科八周年】百科八年蝌蚪有我
升级会员 