《2.1.1 曲线与方程》教学设计.docx

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课题：

2.1.1曲线与方程（第1课时）

（人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节）

一、内容和内容解析

1．教学内容

《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程．本课时为第一小节内容．

2．地位与作用

本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意义．其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用．

二、目标和目标解析

本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下：

1．通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与方程的对应关系；

2．初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义；

3．通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力；

4．能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．

三、教学问题诊断分析

1．问题诊断

学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：

（1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线）的概念时不规范，不全面；

（2）难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用．

2．重难点

重点：

曲线的方程（方程的曲线）的概念

难点：

曲线的方程（方程的曲线）概念的生成和理解

-12-

3.突出重点、突破难点的策略

本节课的教学，根据“问题引导，任务驱动”的设计思路，遵循概念学习的规律，使学生在过程中感受数形结合，从特殊到一般，化归与转化的数学思想．具体表现在：

（1）用蕴含数学文化的广告创设情境，并将“章头图”、“章导言”融入其中，产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性；

（2）让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程，感知方程的变化带来曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写—交流讨论

—互动修正”生成概念；

（3）学生自主举例，辨析概念，联系已学知识，完成对概念的“结构化”．

四、教学支持条件分析

1．学情分析

本课授课对象是成都石室中学高二理科实验班的学生，数学基础扎实，思维较活跃，具有较为丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和语言的规范表达上还有待进一步提升．

2．教学策略与教法、学法

本课采取“探究—发现”教学模式．

教师的教法注重活动的安排和问题的引导，通过问题引导学生从特殊到一般进行探索发现，并归纳概括．

学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构．

教具：

多媒体PPT课件，平板电脑，三角板，彩色粉笔学具：

教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔

五、教学过程设计

结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：

教学内容 师生活动（预设） 设计说明

一、创设情景，引入概念

播放一段和笛卡尔的传说有关的广告视频．

师：

不知大家有没有看过下面这则广告？

生（齐）：

（观看视频）

师：

其实，这则广告的创意源自于一位伟大数学家的爱情传说，大家知道他是谁吗？

生（齐）：

笛卡尔．

师：

是的．那你了解笛卡尔



优美的画面和音乐吸引学生注意力，富于文化的广告创意调动学生的积极性，暗藏其中的故事情节激发学生的思考和好奇心，情景创设为引

通过层层设问，将学生从视频逐步转移到对解析几何用代数方法研究直线、圆的回顾．

问题1：

诸如圆锥曲线这类曲线能否像直线、圆一样用代数的方法进行研究呢？

研究清楚曲线与方程之间的关系，将为我们用代数方法研究几何图形提供可能．

二、作图探究，形成概念

探究活动:

对数学的贡献吗？

生1：

他发明了直角坐标系，创立了解析几何．

师：

解析几何研究几何图形的方法有何特点呢？

你能结合所学知识谈一谈吗？

生2：

我们在《必修2》中曾经学习了直线、圆与方程，在直角坐标系中用方程表示直线、圆，然后使用代数的方法对他们进行研究．

师：

大千世界，千奇百态！

直线，圆都只是其中的一种曲线

（直线也可称之为特殊的曲线），生活中我们还会遇到很多其他的曲线，比如下面动画中的截口曲线．

（教师通过PPT展示截口曲线生成动画）

师：

在这个动画中，你观察到哪些曲线？

生（齐）：

椭圆，抛物线，双曲线．

师：

是的，它们统称为圆锥曲线．公元前，古希腊数学家阿波罗尼在他的《圆锥曲线》一书中便记载了他对圆锥曲线的几何性质的研究，后来一千多年里人类对其的认识止步于此．当时，这些研究都是用的纯几何的方法，那么诸如圆锥曲线之类的曲线能否像直线、圆一样用代数的方法来研究呢？

生（齐）：

可以．

师：

怎样展开对圆锥曲线的研究呢？

生（齐）：

在坐标系中找到圆锥曲线的方程．

师：

那就让我们先来研究曲线与方程之间的关系吧！

师：

请大家按照要求作图．师：

请你说说你的作图过程．

入概念铺垫了良好的氛围．

通过“问题引导”将学生从视频，转到解析几何研究问题的方法上来，再延伸到其他曲线（如圆锥曲线）的研究方法上来，形成认知冲突，让曲线与方程的学习满足合理性和必要性．

通过情景创设浸润数学文化教育，同时回顾了学生已有相关知识和方法，链接了本章章导言和章头图，形成了学生学习上的认知冲突，自然引出本课主题．

探究活动的素材较好地

请分别作出以下列方程的

生3：

先化简为y

2x，它表

起到了“先行组织者”的作用．

解为坐标的点构成的图形:

示直线，取出直线上两点

1．yx

2 2 0；

1

（0,0），（1,2），连线作出这条直线．

师：

有不同意见吗？

生4：

应该去掉直线上的点

（1,2）才对．

师：

为什么呢？

问题2：

两位同学作出的图 生4：

因为点（1,2）的坐标不满

形之间的差异是什么原因引起的？

足方程y

x

2 2 0．

1

师：

好！

你关注到了点的坐标，那么点（1,2）的坐标和方程

y 2x是什么关系？

这个坐

标和方程y

x

2 2 0是什么

1

关系呢？

生4：

点（1,2）的坐标是方程

问题3：

改变图形，图形上点的坐标满足的关系会发生变化吗？

请你对刚才的曲线与方程之间的关系做一个总结．

y2x的解；不是方程

y220的解．

x1

（学生回答，教师板书）

师：

刚才两位同学的图形不一样是什么原因造成的？

生（齐）：

方程．

师：

方程的区别在哪里？

生（齐）：

方程的解．

师：

那么如果我将这支曲线擦除部分，新得到的曲线上的点又满足怎样的关系式呢？

（教师在黑板上将点（1,2）左下方下方抹去）

学生已具有识别直线方

程、圆的方程的知识基础．在此认知基础上，通过引导学生作图、观察、分析已有两个事例，感受和体会从特殊到一般，数形结合的思想方法．

生（齐）：

y

2x（x 1）



通过教师的引导让学生

探究活动:

请分别作出以下列方程的

师：

改变图形，方程发生了怎样的变化．

生（齐）：

范围改变．

师：

你根据刚才的探究进行总结．

生5：

方程改变，曲线也在改变．

师：

大家做得非常好！

接下来请完成第二个方程．

（学生独立完成，时间2分钟

感知方程的不同导致曲线的不同，教师再适时地改编曲线，导致方程的不同．让学生多角度体验曲线与方程之间的关系．

解为坐标的点构成的图形:

左右）

1．yx

2．x

2 2 0；

1

1 y20．

师：

请看这位同学的图形，正确吗？

为什么？

生6：

不正确，因为圆的左半部分不符合要求

师：

什么原因导致产生了两个不同的图形呢？

生6：

x的取值范围，方程的

圆的方程的学习使得学生在独立完成作图有了基础，但是对于方程的变化没有保证同解导致的曲线差异这一现象的本质，学生上不太明白，教师引导学生继续感知曲线与方程之间的关系．

问题4：

为什么你作出来的

图形是一个半圆？

引起作出图形有差异的原因是什么？

解．

师：

方程的解的不同直接导致曲线的不同．

教师适当小结，请学生根据自己感受书写曲线与方程（方程与曲线）的概念．

曲线的方程（方程的曲线）的概念：

师：

（指着黑板说）如果曲线与方程满足类似的对应关系，我们就称曲线是方程的曲线，这个方程就是曲线的方程．你能归纳出曲线的方程

（方程的曲线）这一概念的要点吗？

请把它写在草稿本上．生：

（先独立书写，再小组讨论归纳2-3分钟．）

师：

请说一说你对曲线的方程

（方程的曲线）下的定义．



概念属性的归纳——在两则事例的基础上进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征．引导学生通过刚才对具体事例观察、分析，抽象概括共同的本质属性，归纳得出数学概念．

一般地，在直角坐标系中，生7：

我认为要满足曲线的方 用代数、几何的语言刻画

如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x,y） 0的实数解

建立了如下的关系：

⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

⑵以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）

问题5：

结合今天所学知识，你是如何认识直线的方程，圆的方程这两个已学概念？

程（方程的曲线），必须满足以下两条：

1．曲线上的点的坐标都是方程的解；2．以方程的解为坐标的点都在曲线上．

师：

很准确！

（板书学生所述内容，并作适当规范）

师：

你能举例说明为什么要用两个限制条件呢？

可以缺某一个吗？

生8（：

预设学生会在刚刚的例子中选择）

师：

能举一个不满足第二个限制条件的例子吗？

生9（：

预设学生会在刚刚的例子中选择）

师：

直线的方程，圆的方程这些概念用今天所学知识该如

和表达一种数学现象，是数学学习的基本任务．

概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述；

对概念的辨析，通过学生举反例来达成对概念的深入理解．

概念的“结构化”，对概念生成并做了适当辨析和理解后，需要将概念与以前的学习进行联系．

何理解？

生10：

我认为直线的方程，圆的方程的概念和曲线的方程这一概念是一致的，直线也算特殊的曲线，圆也算曲线的一种．

师：

是的．你能举例说明吗？

生 10：

比如说“直线

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