等腰三角形存在性讲义+练习含答案.docx
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等腰三角形存在性讲义+练习含答案
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一次函数与等腰三角形存在性问题
重点内容梳理
一、等腰三角形存在
核心思想:
——分类讨论(顶点未知,讨论顶点即可)
1.A为顶点:
AP=AB→以A为圆心B为半径画圆(E为共线点)
为顶点:
BP=BA→以B为圆心A为半径画圆(F为共线点)
为顶点:
PA=PB→AB的中垂线(o为共线点)
:
求取方法:
1.采用两圆一线找到特殊位置点——找交点
2.两点之间距离公式表示等长线段,求取点坐标
3.最终结论
注:
该类问题相对较综合,点坐标的求取方法较灵活,需综合运用几何与代数相关定理。
引例:
已知,平面内点A(0,2),B(2,0)
(1)(
(2)求,AB所在直线解析式
(3)若坐标轴上存在一点,使△ABC
1A为顶点,AB=AC,A为圆心,AB为半径画圆,
2B为顶点,AB=BC,B为圆心,AB为半径画圆
3C为圆心,AB中垂线
~
例题
例题1.——x轴上的点
1.(2019秋•金水区校级月考)如图,直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A,B,且OA=8,OB=6.
(1)求直线AB的解析式.
(2)在x轴上是否有在点Q,使以A,B,Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(1)∵OA=8,OB=6,
∴A(8,0)、B(0,6),
[
把点A、B的坐标代入一次函数表达式:
y=kx+b,
∴b=6,k=﹣
,
∴直线AB的表达式为:
y=﹣
x+6;
(2)设点Q(s,0),
则AB2=100,AQ2=(8﹣s)2,BQ2=s2+36,
①当AB=AQ时,100=(8﹣s)2,解得:
s=18或s=﹣2;
②当AB=BQ时,100=s2+36,可得:
s=±8(舍去8);
③当AQ=BQ时,(8﹣s)2=s2+36,可得:
s=
,
—
综上,点Q的坐标为:
(18,0)或(﹣2,0)或(﹣8,0)或(
,0).
易错:
1.两圆一线找交点,看清点的位置保证不重不漏
2.求取点的坐标,注意舍根
练习
(2019秋•昌江区校级期末)如图,长方形AOBC,以O为坐标原点,OB、OA分别在x轴、y轴上,点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(10,0),点E是BC边上一点,把长方形AOBC沿AE翻折后,C点恰好落在x轴上点F处.
~
(1)求点E、F的坐标;
(2)求AF所在直线的函数关系式;
(3)在x轴上求一点P,使△PAF成为以AF为腰的等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
|
练习
(2019秋•金牛区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:
y=kx+b与x轴交于点A(﹣6,0),与y轴交于点B(0,4),与直线l2:
y=
x相交于点C.
(1)求直线l1的函数表达式;
(2)求△COB的面积;
(3)在x轴上是否存在一点P,使△POC是等腰三角形.若不存在,请说明理由;若存在,请直接写出点P的坐标.
…
例题2.——y轴上的点
(2019秋•普宁市期末)一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,9),并与直线y=
x相交于点B,与x轴相交于点C,其中点B的横坐标为3.
(1)求B点的坐标和k,b的值;
(2)在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形若存在,请直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.
(
【解答】解:
(1)y=
x相交于点B,则点B(3,5),
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得:
k=﹣
,b=9;
(2)设点P(0,m),而点A、B的坐标分别为:
(0,9)、(3,5),
则AB2=25,AP2=(m﹣9)2,BP2=9+(m﹣5)2,
当AB=AP时,25=(m﹣9)2,解得:
m=14或4;
当AB=BP时,同理可得:
m=9(舍去)或﹣1;
当AP=BP时,同理可得:
m=
;
综上点P的坐标为:
(0,4)或(0,14)或(0,﹣1)或(0,
)
|
练习
如图,一次函数y=﹣
x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B,再将△AOB沿直线CD对折,使点A与点B重合,直线CD与x轴交于点C,与AB交于点D.连接BC.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)求S△BOC;
—
(3)在y轴上有一点P,且△PAB是等腰三角形,求出点P的坐标.
@
练习
(2017秋•金华期末)如图,已知直线l:
y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴交于A、B两点,A(﹣2,0),B(0,1).
(1)求直线l的函数表达式;
(2)若P是x轴上的一个动点,请直接写出当△PAB是等腰三角形时P的坐标;
(3)在y轴上有点C(0,3),点D在直线l上,若△ACD面积等于4,求点D的坐标.
"
例题3——平行于坐标轴的点
23.(2018秋•景德镇期末)如图,已知直线y=2x+b交x轴于点A(﹣2,0),交y轴于点B,直线y=2交AB于点C,交y轴于点D,P是直线y=2上一动点,设P(m,2).
(1)求直线AB的解析式和点B,点C的坐标;
(2)直接写出m为何值时,△ABP是等腰三角形;
。
【解答】解:
(1)将点A的坐标代入y=2x+b得:
0=2×(﹣2)+b,解得:
b=4,
故直线AB的表达式为:
y=2x+4,
则点B(0,4),
当y=2时,x=﹣1,即点C(﹣1,2);
(2)点A(﹣2,0)、点B(0,4),点P(m,2),
则AB2=20,AP2=(m+2)2+4,PB2=m2+4,
)
①当AB=AP时,即20=(m+2)2+4,解得:
m=2或﹣6,
②当AB=BP时,同理可得:
m=4或﹣4,
③当AP=BP时,同理可得:
m=﹣1,
综上,m=﹣4或﹣6或2或4或﹣1;
练习
(2019秋•太仓市期末)如图,平面直角坐标系中,直线AB:
y=kx+3(k≠0)交x轴于点A(4,0),交y轴正半轴于点B,过点C(0,2)作y轴的垂线CD交AB于点E,点P从E出发,沿着射线ED向右运动,设PE=n.
…
(1)求直线AB的表达式;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求n的值;
练习
¥
(2015秋•上城区期末)A(0,4)是直角坐标系y轴上一点,P是x轴上一动点,从原点O出发,沿正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB.设P点的运动时间为t秒.
(1)若AB∥x轴,求t的值;
(2)当t=3时,平面直角坐标系内有一点M(3,a),请直接写出使△APM为等腰三角形的点M的坐标.
例题4——动点相关
《
(2014秋•屏南县校级期末)直线AB:
y=﹣x+b分别与x,y轴交于A(8、0)、B两点,过点B的直线交x轴负半轴于C,且OB:
OC=4:
3
(1)求点B的坐标为 ;
(2)求直线BC的解析式;
(3)动点M从C出发沿CA方向运动,运动的速度为每秒1个单位长度.设M运动t秒时,当t为何值时△BCM为等腰三角形.
【解答】解:
(1)y=﹣x+b分别与x轴交于A(8、0),得
﹣8+b=0.解得b=8,
)
即函数解析式为y=﹣x+8,
当x=0时,y=8,
B点坐标是(0,8);
(2)由OB:
OC=4:
3,BC=8,得
8:
BC=4:
3,解得BC=6,即C(﹣6,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,图象经过点B,C,得
,解得
,
直线BC的解析式为y=
x+8;
。
(3)设M点坐标(a,0),由勾股定理,得BC=
=10,
①当MC=BC=10时,由路程处以速度等于时间,得10÷1=10(秒),
即M运动10秒,△BCM为等腰三角形;
②当MC=MB时,MC2=MB2,即(a+6)2=a2+82,
化简,得12a=28,
解得a=
即M(
,0).
MC=
﹣(﹣6)=
+6=
,
由路程除以速度等于时间,得
÷1=
(秒),
[
即M运动
秒时,△BCM为等腰三角形;
③当BC=BM时,得OC=OM=6,
即MC=6﹣(﹣6)=6+6=12,
由路程除以速度等于时间,得12÷1=12(秒),
即M运动12秒时,△BCM为等腰三角形,
综上所述:
t=10(秒),t=
(秒),t=12(秒)时,△BCM为等腰三角形.
&
练习
(2017秋•平阴县期末)如图,直线L1:
y1=﹣x+2与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P(m,3)为直线L1上一点,另一直线L2:
y2=
x+b经过点P.
(1)求点P坐标和b的值:
(2)若点C是直线L2与x轴的交点,动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动,设点Q的运动时间为t秒.
①请写出当点Q运动过程中,△APQ的面积S与t的函数关系式;
②求出t为何值时,△APQ的面积等于3;
③是否存在t的值,使△APQ为等腰三角形若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
<
练习
(2018春•新田县期末)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣
分别交x,y轴于A,B两点,C为线段AB的中点,D(t,0)是线段OA上一动点(不与A点重合),射线BF∥x轴,延长DC交BF于点E.
(1)求证:
AD=BE;
(2)连接BD,记△BDE的面积为S,求S关于t的函数关系式;
(3)是否存在t的值,使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形若存在,求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
…
练习
(2019秋•顺德区期末)如图,在平面直角坐标系中,点D是边长为4cm的正方形ABCO的边AB的中点,直线y=
x交BC于点E,连接DE并延长交x轴于点F.
(1)求出点E的坐标;
(2)求证:
△ODE是直角三角形;
(3)过D作DH⊥x轴于点H,动点P以2cm/s的速度从点D出发,沿着D→H→F方向运动,设运动时间为t,当t为何值时,△PEH是等腰三角形
]
提升1.
如图,直线y=﹣x+6与坐标轴交于A、B两点,与直线y=2x交于C点,直线是过A点且垂直x轴的直线,点P是直线l上的一动点.
(1)求C点的坐标;
(2)当△APC是等腰三角形时,直接写出P点的坐标;
(3)当PC⊥OC时,求四边形OAPC的面积.
提升2.
如图,直线y=kx﹣2与x轴,y轴分别交于点B,C,且OC=2OB,A为直线BC上一动点.
(1)求B点的坐标和k的值;
(2)当△AOB的面积是4时,求A点在第一象限的坐标;
(3)在
(2)的条件下,在x轴上是否存在一点P,使△POA是等腰三角形若存在,请直接写出满足条件的所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.
提升3.
(2012•沙坪坝区校级模拟)如图,已知平行于y轴的动直线a的解析式为x=t,直线b的解析式为y=x,直线c的解析式为y=﹣
x+2,且动直线a分别交直线b、c于点D、E(E在D的上方),P是y轴上一个动点,且满足△PDE是等腰直角三角形,则点P的坐标是 .
提升4.
(2018秋•吴江区期末)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A,与x轴交于点B(﹣2,0),△ABO的面积为2.动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度在射线BO上运动,动点Q从O出发,沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动,过P作PM⊥X轴交直线AB于M.
(1)求直线AB的解析式.
(2)当点P在线段OB上运动时,设△MPQ的面积为S,点P运动的时间为t秒,求S与t的函数关系式(直接写出自变量的取值范围).
(3)过点Q作QN⊥x轴交直线AB于N,在运动过程中(P不与B重合),是否存在某一时刻t(秒),使△MNQ是等腰三角形若存在,求出时间t值.