数学分析试题库计算题解答题答案.docx
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数学分析试题库计算题解答题答案
数学分析试题库--计算题、解答题--答案
数学分析题库（1-22章）
四．计算题、解答题
求下列极限
解：
１.
２．
３．
４.这是
型，而
故原极限＝
5
6
因
，
故原极限＝
.
7．用洛必达法则
8.
9.
;
解法1：
解法2：
10．
解因
，（3分）
故
原式
=
求下列函数的导数
解11
12
13
14.
15
16
17
18
.
19．
；
20.求下列函数的高阶微分：
设
，求
解因为
所以
所以
21.
解：
22.
解：
令
两边对两边对
求导有
两边对
求导有
23.求由参量方程
所确定的函数的二阶导数
解法1：
由含参量方程的求导法则有
求
即求参量方程
的导数
解法2：
由含参量方程的求导法则有
求
即求参量方程
的导数
24．设
试求
.
解基本初等函数导数公式，有
应用莱布尼兹公式（
）得
.
25．试求由摆线方程
所确定的函数
的二阶导数.
解
26.求
到
项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.
解因为
所以
到
项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
.
27．
－２
（－2,－1）
－１
（－1,0）
０
－
０
＋
不存在
＋
０
－
递减，凹
极小值
－３
递增，凹
递增，凹
极大值
１
递减，凹
28．解
（1）
，故对任意正整数m，
在
连续.
（2）
，故当
时，
在
可导.
（3）先计算
的导函数.
，
由
（2）知，
，于是当
时，有
，所以当
时，
在
连续.
29．解因为
，故当
时，
，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1,1]上不能用柯西中值定理.
30．证明
（1）对任何
，有
，故
是极小值点.
（2）当
时，有
，作数列
，
，则
，
.即在
的任何右邻域
内，既有数列
中的点，也有数列
中的点.并且
，
，所以在
内
的符号是变化的，从而
不满足极值的第一充分条件.又因为
，
，所以用极值的第二充分条件也不能确定
的极值.
31．答：
能推出
在
内连续.证明如下：
，取
，于是
，由题设，
在
上连续，从而在
连续.由
的任意性知，
在
内连续.
32.试求函数
在
上的最值和极值.
解
在闭区间
上连续,故必存在最大最小值.
令
得稳定点为
.又因
故
在
处不可导.列表如下
不存在
0
0
递减
极小值
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以
和
为极小值点,极小值分别为
和
为极大值点,极大值为
.
又在端点处有
所以函数在
处取最小值
在
处取最大值
.
33.求函数
在
上的最大最小值：
解：
令
令
解得函数在
的稳定点为
而
，
所以函数在
的最大值和最小值分别为
.
34.确定函数
的凸性区间与拐点:
解：
令
解得
，
当
时，
，从而区间
为函数的凹区间,
当
时，
，从而区间
为函数的凸区间.
并且
，所以
为曲线的拐点.
35.设
则
是有理数列.
点集
非空有界,但在有理数集内无上确界.
数列
递增有上界,但在有理数集内无极限.
36.设
则
是有理数列.
点集
有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.
数列
满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.
37.不能从
中选出有限个开区间覆盖
.因为
中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为
则当
时,这有限个开区间不能覆盖
.
38.
39.令
则
40.
41.
42.令
则有
43.令
则有
.
44.
.
45.
.
46.
.
47.
.其中和式是函数
在
上的一个积分和,所以
.
48.
.于是
.
49.以平面
截椭球面,得一椭圆
.所以截面积函数为
.于是椭球面的体积
.
50.化椭圆为参数方程:
.于是椭圆所围的面积为
.
51.
于是所求摆线的弧长为
.
52.根据旋转曲面的侧面积公式
可得所求旋转曲面的面积为
.
53.因为
.
于是无穷积分
收敛,其值为
.
54.因为
于是无穷积分
收敛,其值为
.
55.因为
从而级数
的部分和为
.
于是该级数收敛,其和为
.
56.因为
且级数
收敛,所以级数
收敛.
57.因为
由根式判别法知级数
收敛.
58.因为
且级数
发散,故原级数不绝对收敛.但
单调递减,且
由莱布尼茨判别法知级数
条件收敛.
59.因为
当
时,
于是.所以级数
的部分和数列
当
时有界,从而由狄利克雷判别法知级数
收敛;
同法可证级数
在
上收敛.
又因为
级数
发散,
收敛,于是级数
发散,由比较判别法知级数
发散.所以级数
在
条件收敛.
60.判断函数项级数
在区间
上的一致收敛性.
解记
.则有ⅰ>级数
收敛;
ⅱ>对每个
↗；ⅲ>
对
和
成立.由Abel判别法,
在区间
上一致收敛.
61.
.讨论函数列{
}的一致收敛性.
解
0,
.|
―0|
.可求得
.
函数列{
}在区间
上非一致收敛.
62.函数列
在
上是否一致收敛？
解：
由于
，故
.当
时，只要
，就有
，故在
上有
.于是函数列（8）在
上的极限函数
，又由于
，
所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛.
63.
在R内是否一致收敛？
解显然有
在点
处取得极大值
.由系2,
不一致收敛.
64.函数列
在
上是否一致收敛？
解
时,只要
就有
.因此,在
上有
.
.于是,在
上有
.但由于
因此,该函数列在
上不一致收敛.
65.求幂级数
的收敛域.
解
是缺项幂级数.
.收敛区间为
.
时,
通项
.因此,该幂级数的收敛域为
.
66.计算积分
精确到
.
解
.
因此,
.
上式最后是Leibniz型级数,其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值.为使
可取
.故从第
项到第
项这前7项之和达到要求的精度.于是
.
67.把函数
展开成
的幂级数.
解
.
而
.
68.求幂级数
的和函数.
解法一收敛域为
设和函数为
则有
.
因此,
=
.
解法二
.
69.展开函数
.
解
.
70.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数
（i）
（ii）
解
（1）（i）函数
及其周期延拓后的图象所示.显然
是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数.由于
.
当
时，有
所以在区间
上
（ii）函数
及其周期延拓后的图象所示.显然
是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数.由于
.
当
时
.
所以在区间
上
.
71.设
是以
为周期的分段连续函数,又设
是奇函数且满足
试求
的Fourier系数
的值，
.
解由
是奇函数，故
是偶函数，再由
，故有
.
作变换
，则
.
所以,
72.设
以
为周期，在区间
内,
试求
的Fourier级数展开式。
解由Fourier系数的计算公式，
.
又
满足Fourier级数收敛的Dirichlet条件，
故
.
73.设
求在
内
的以
为周期的Fourier级数展开式.
解注意到
是奇函数，故
的Fourier系数
.
因此
.
由
在
内分段单调，连续，且
故在
内
.
74.设
是以
为周期的连续函数,其Fourier系数为
.试用
表示函数
的Fourier系数
解由Fourier系数的计算公式，
75.试求极限
解
.
76.试求极限
解由
.
77.试求极限
解由于
又
所以
，
所以
.
78.试讨论
解当点
沿直线
趋于原点时，
.
当点
沿抛物线线
趋于原点时，
.
因为二者不等，所以极限不存在.
79.试求极限
解由
=
.
80.
有连续的偏导数，求
解令
则
81.
求
解由
.
82.求抛物面
在点
处的切平面方程与法线方程。
解由于
在
处
，
所以,切平面方程为
.
即
法线方程为
.
83.求
在
处的泰勒公式.
解由
.
得
.
84.求函数
的极值.
解由于
解得驻点
，
所以
是极小值点,极小值为
85.叙述隐函数的定义.
答:
设
，
，函数
对于方程
若存在集合
与
，使得对于任何
，恒有唯一确定的
，使得
满足方程
则称由方程
确定了一个定义在
上，值域含于
的隐函数。
一般可记为
且成立恒等式
86.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.
答
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