小学四年级奥数知识点.docx

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小学四年级奥数知识点

标红：

难点或常考

标蓝：

基础

小学四年级奥数知识点总复习

1.常用特殊数的乘积

25×4＝100125×8＝1000625×16＝1000025×8＝200125×4＝500

125×3＝3757×11×13＝100137×3=111

2.加减法运算性质：

同级运算时，如果交换数的位置，应注意符号搬家。

加、去括号时要注意以下几点：

括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号。

100+（21+58）=100+21+58

100-（21+58）=100-21-58

3.乘除法运算性质

乘法中性质：

（1）乘法交换律

（2）乘法结合律（3）乘法分配律（4）乘法性质（5）积的变化规律：

一扩一缩法。

除法中性质：

当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法分配律。

积的变化规律：

同扩同缩法。

同级运算时，如果有交换数的位置，应该注意符号搬家。

加、去括号时注意以下几点：

括号前面是乘号，去掉或加上括号不变号；括号前面是除号，去掉或加上括号要变号。

100×（4×5）=100×4×5

100÷（4÷5）=100÷4÷5

4.最大最小

1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。

在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。

2、运用规律。

（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。

3、考虑极端情况。

如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。

5.比较大小

估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的“放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：

一是分组（分段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种方法是按近似数乘除法计算法则，比要求的精确度多保留一位，进行计算。

6.平均数

求平均数必须知道总数和份数，常用公式：

平均数=总数÷份数

份数=总数÷平均数

总数=平均数×份数（总数=所有数之和）

7.余数问题（周期问题，个位数是几）闰年日期周期

一个带余数除法算式包含4个数：

被除数÷除数=商……余数。

相互关系还有：

被除数=除数×商＋余数，或（被除数－余数）÷除数=商。

余数小于除数。

周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

问题类型：

找图形（图形计数），找字符，找数字（统计），年月日、星期几问题，个位数是几。

关键问题：

确定循环周期。

闰年：

一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除。

平年：

一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除。

例题1小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。

那么该题的余数是多少？

解析：

被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。

又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。

例题2：

1991年1月1日是星期二，

（1）该月的22日是星期几？

该月28日是星期几？

（2）1994年1月1日是星期几？

解析：

（1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算头”的方法。

（22－1）÷7=3，没有余数，该月22日仍是星期二；（28－1）÷7=3…6，从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一。

（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年，从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，1096÷7=156…4，从星期三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。

8.奇数与偶数

加法：

偶数＋偶数=偶数奇数＋奇数=偶数偶数＋奇数=奇数

减法：

偶数－偶数=偶数奇数－奇数=偶数偶数－奇数=奇数

乘法：

偶数×偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数

9.等差数列（简算数列金字塔找规律）

数列是指按一定规律顺序排列成一列数。

如果一个数列中从第二个数开始，相邻两个数的差都相等，我们就把这样的一列数叫做等差数列，等差数列中的每一个数都叫做项，第一个数叫第一项，通常也叫“首项”，第二个数叫第二项，第三个数叫第三项……最后一项叫做“末项”。

等差数列中相邻两项的差叫做“公差”，等差数列中项的个数叫做“项数”。

公式：

和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1

第n项=首项+（n-1）×公差an=a1+（n－1）d

关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式；

例题1：

有一个数列：

4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?

解析：

仔细观察可以发现这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。

由等差数列的项数公式:

项数=（末项-首项）÷公差+1,可得出答案。

例题2：

有一等差数列：

2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？

解析：

仔细观察可以发现这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答，由等差数列的通项公式:

第几项=首项+（项数-1）×公差,可得出答案。

例题3：

计算2+4+6+8+…+98的和。

解析：

仔细观察该数列，公差为2，首项是2,末项是100,所以可以用等差数列的求和公式来求。

总和=（首项+末项）×项数÷2

10.和倍问题

己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫和倍问题。

解答和倍问题，一般是先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定总和相当于标准数的多少倍，然后用除法求出标准数，再求出其他各数，最好采用画线段图的方法。

和倍公式：

和÷（倍数＋1）=小数

11.差倍问题

己知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数的应用题叫差倍问题。

解答差倍问题，一般以较小数作为标准数（一倍数），再根据大小两数之间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍，然后用除法先求出较小数，再求出较大数。

解答这类问题，先画线段图，帮助分析数量关系。

差倍公式：

差÷（倍数－1）=小数

12.和差问题

和差问题是根据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用题。

解答和差问题的基本公式是：

（和－差）÷2=较小数（和＋差）÷2=较大数

13.年龄问题

己知两个人或几个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系；或己知某些人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这种题称为年龄问题。

年龄问题的特点是：

一般用和差或者和倍问题的方法解答。

（1）两人的年龄之差是不变的，称为定差。

（2）两个人的年龄同时都增加同样的数量。

（3）两个年龄之间的倍数关系，年龄增长，倍数缩小。

年龄问题的解题方法是：

几年后=大小年龄之差÷倍数差－小年龄几年前=小年龄－大小年龄差÷倍数差

14.植树问题（排方阵）周期

在首尾不相接的路线上植树，段数与棵数关系可分为4类：

（1）两端都种树：

段数=棵数－1

（2）一端种一端不种：

段数=棵数

（3）两端都不种：

段数=棵数＋1

（4）在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）：

段数=棵

棵距×段数=总长

关键问题：

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

15.盈亏问题（可以直接套公式，注意理解题目即可）

一盈一亏一盈一正好一亏一正好两盈两亏

通常是比较法和对应法结合使用。

公式是：

（同盈同亏用减法，一亏一盈用加法）即：

两次分配结果差÷两次分配数差=人数（份数）

基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：

分析差量关系，确定对象总量和总的组数。

16.还原问题（逆推问题）

还原问题又叫逆推问题。

己知一个数的结果，再经过逆运算反求原数，叫做还原问题。

解决这类题要从结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算（即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）。

解题关键：

在从后往前推算的过程中，每一步都是做同原来相反的运算，原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘。

17.鸡兔同笼问题

基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：

鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

②把所有兔子假设成鸡：

兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：

找出总量的差与单位量的差。

18.归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量。

19.定义新运算

基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

20.加法乘法原理和几何计数（排列组合）

加法原理：

如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：

m1+m2.......+mn种不同的方法。

关键问题：

确定工作的分类方法。

基本特征：

每一种方法都可完成任务。

乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：

m1×m2.......×mn种不同的方法。

关键问题：

确定工作的完成步骤。

基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。

①数线段规律：

总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；

③数长方形规律：

个数=长的线段数×宽的线段数：

④数长方形规律：

个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数。

例题1：

从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有

3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。

那么从天津到上海共有多少种不同的走法？

解析：

我们把坐火车看成第一类走法，有2种不同的选法；乘飞机是第二类走法，有3种不同的选法；坐轮船为第三类走法，只有1种选法。

无论哪一种选法，都可以直接完成这件事。

例题2：

用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1

元钱，有多少种方法？

解析：

运用加法原理，把组成方法分成三大类：

①只取一种人民币组成1元，有3种方法：

10张1角；5张2角；2张5角。

 ②取两种人民币组成1元，有5种方法：

1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。

③取三种人民币组成1元，有2种方法：

1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。

21.逻辑推理（举例子倒推列表）

基本方法简介：

①条件分析—假设法：

假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。

例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。

②条件分析—列表法：

当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。

列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。

③条件分析——图表法：

当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。

例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。

④逻辑计算：

在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。

⑤简单归纳与推理：

根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。

1．等价条件的转换

2．列表法

3．对阵图：

竞赛问题，涉及体育比赛常识

4．假设问题

假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。

所谓“假设法”就是依据题目中的己知条件或结论作出某种设想，然后按照己知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。

例1：

公路上按一路纵队排列着五辆大客车.每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志.每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志.调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断.他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的.这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”.第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道.第一个司机也很聪明，他根据第二、三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，说出了自己的目的地。

请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的；他又是怎样分析出来的？

解析：

根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往A市，说明第一、二辆车不可能都开往A市.（否则，如果第一、二辆车都开往A市的，那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市）。

  再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往A市的.（否则，如果第一辆车开往A市，则第二辆车即可推断他一定开往B市）。

  运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B市。

例题2：

李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。

   第一盘，李明和小华对张虎和小红；   第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。

   请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。

解析：

因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。

   第一种可能是：

李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；   第二种可能是：

李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。

22.方阵问题

很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件求总人数，这类题叫方阵问题。

在解决方阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最外层人数，最里层人数，总人数）之间的关系。

方阵问题的基本特点是：

（1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2，每一层就少8。

（2）每层人数=（每边人数－1）×4

（3）每边人数=每层人数÷4＋1

（4）外层边长数-2=内层边长数

（5）实心方阵人数=每边人数×每边人数

23.相遇与追及问题（学校同步提高）

路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间。

追及问题运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发的，这样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。

追及问题的公式是：

追及时间=追及路程÷速度差追及路程=速度差×追及时间速度差=追及路程÷追及时间

相遇问题它的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而行，或同时同地相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系：

速度和×相遇时间=路程路程÷速度和=相遇时间速度÷相遇时间=速度和

24.幻方与数阵

幻方的特点：

一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。

这相相等的和叫“幻和”。

两种方法：

奇阶：

1、九子排列法2、罗伯法，3、巴舍法。

偶阶：

1、对称交换法2、圆心方阵法。

数阵有三种基本类型：

（1）封闭型，

（2）辐射型（3）综合型解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答解数阵类型题的解题关键。

一般答案不唯一。

例题1：

把1~6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于9。

解析：

每边上三个数的和都等于9，三条边上数的和等于9×3=27，27－（1＋2＋3＋4＋5＋6）=6。

所以，三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6。

在1~6，只有1＋2＋3=6，故三个顶点只能填1、2、3。

这样就得到一组解：

1、5、3；1、6、2；3、4、2。

例题2：

三阶幻方解法 

“萝卜”法 

一居上行正中央 

依次填在右上角 

上出框时下边填 

右出框时左边放 

斜出框时下边放（出角重复一个样） 

排重便在下格填

25.剪纸问题

公式：

2对折后剪的次数+1=段数。

26.一笔画和多笔画

（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后能以这个点为终点画完此图。

（2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

（3）多笔画定理有2n（n＞1）个奇点的连通图形，可以用n笔画完（彼此无公共线），而且至少要n次画完。

27.100内质数：

2357111317192329313741434753596167717379838997

28.行船问题

船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。

船在流水中行程问题，叫做行船问题（也叫流水问题），船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：

顺水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速由于顺水速度是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和差问题，所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。

船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2水速=（顺水速度－逆水速度）÷2

因为行船问题也是行程问题，所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。

顺水路程=顺水速度×时间逆水路程=逆水速度×时间

例：

某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。

已知水速为每小时3千米。

此船从乙港返回甲港需要多少时？

解：

此船顺水的速度是：

15+3=18（千米/小时）   

甲乙两港之间的路程是：

18×8=144（千米） 

  此船逆水航行的速度是：

15-3=12（千米/小时） 

  此船从乙港返回甲港需要的时间是：

144÷12=12（小时）   

综合算式：

  （15+3）×8÷（15-3）=144÷12=12（小时）

29.过桥问题

过桥问题的一般数量关系是：

路程=桥长＋车长车速=（桥长＋车长）÷通过时间通过时间=（桥长＋车长）÷车速车长=车速×通过时间－桥长桥长=车速×通过时间－车长

例：

一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行400米，这列火车通过长江大桥需要多少分钟？

解析：

这道题求的是通过时间。

根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程和速度。

路程是用桥长加上车长。

火车的速度是已件。

总路程：

6700+140=6840 （米）     

通过时间：

6840÷400=17.1 （分钟）     

答：

这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。

30.抽屉原理

抽屉原则一：

把n+1（或更多）个苹果放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。

抽屉原则二：

把（m×n+1）个（或更多个）苹果放进n个抽屉里，必须一个抽屉里有（m+1）个（或更多的）苹果。

说明：

应用抽屉原则解题，要从最坏的情况去思考。

例题：

 黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的2双筷子（每双筷子两根的颜色应一样），问至少要取材多少根才能保证达到要求？

解析：

这道题并不是品种单一，不能够容易地找到抽屉和苹果，由于有三种颜色的筷子，而且又混杂在一起，为了确保取出的筷子中有2双不同颜色的筷子，可以分两步进行。

第一步先确保取出的筷子中有1双同色的；第二步再从余下的筷子中取出若干根保证第二双筷子同色。

 首先，要确保取出的筷子中至少有1双是同色的，我们把黑色、白色、黄色三种颜色看作3个抽屉，把筷子当作苹果，根据抽屉原则，只需取出4根筷子即可。

其次，再考虑从余下的20根筷子中取多少根筷子才能确保又有1双同色筷子，我们从最不利的情况出发，假设第一次取出的4根筷子中，有2根黑色，1根白色，1根黄色。

这样，余下的20根筷子，有6根黑色的，7根白色的，7根黄色的，因此，只要再取出7根筷子，必有1根是白色或黄色的，能与第一次取出的1根白色筷子或黄色筷子配对，从而保证有2双筷子颜色不同，总之，在最不利的情况下，只要取出4+7=11根筷子，就能保证达到目的。

解题方法

（结合杂题的处理）

（1）假设法（尝试、尝试尝试）

（2）推理法（推导、找关系）

（3）代换法（替换）

（4）画图法（画线段、列表格）

（5）列表法

（6）消元法

（7）倒推法

（8）极值法

（9）设数法

（10）整体法

（11）排除法