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统计概率知识点

第二章：

统计

1、抽样方法：

1简单随机抽样（总体个数较少）

2系统抽样（总体个数较多）

3分层抽样（总体中差异明显）

（概

注意：

在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会率）均为-o

2、总体分布的估计：

⑴一表二图：

1频率分布表——数据详实

2频率分布直方图分布直观

3频率分布折线图——便于观察总体分布趋势

注：

总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1o

⑵茎叶图：

1茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位

数等。

2个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

3、总体特征数的估计：

⑴平均数：

XX1X2X3——皿；

取值为Xi，X2，X的频率分别为Pi，P2，,Pn，则其平均数为XiPiX2P2XnPn；注意：

频率分布表计算平均数要取组中值。

⑵方差与标准差：

一组样本数据

Xl,X2,,Xn

方差：

S2-（XiX）；

nii

标准差：

（XiX）

ni1

注：

方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

⑶线性回归方程

1变量之间的两类关系：

函数关系与相关关系;

2制作散点图，判断线性相关关系

3线性回归方程：

ybxa（最小二乘法）注意：

线性回归直线经过定点（X,y）。

第三章：

概率

1、随机事件及其概率：

⑴事件：

试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示;

⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；

⑶随机事件A的概率：

P（A）m,0P（A）1.

2、古典概型：

⑴基本事件：

一次试验中可能出现的每一个基本结果；

⑵古典概型的特点：

1所有的基本事件只有有限个；

2每个基本事件都是等可能发生。

n个，事件A包含了

⑶古典概型概率计算公式：

一次试验的等可能基本事件共有其中的m个基本事件，则事件A发生的概率p（a）巴.

3、几何概型：

⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个;

②每个基本事件都是等可能发生

⑵几何概型概率计算公式：

d的测度;

（AD的测度'

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。

4、互斥事件：

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；

⑵如果事件A，A2，，An任意两个都是互斥事件，则称事件A，A2，,An彼此互斥。

⑶如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A,B发生的概率的和，

即:

P（AB）P（A）P（B）

⑷如果事件AA,,A彼此互斥，则有：

⑸对立事件：

两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。

①事件A的对立事件记作A②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

专题六：

排列组合与二项式定理

1、基本计数原理

⑴分类加法计数原理：

（分类相加）

做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有口!

种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有Ngm2mn种不同的方法.

⑵分步乘法计数原理：

（分步相乘）

做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m!

种不同的方法，做第二个

步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有mm2mn种不同的方法•

2、排列与组合

⑴排列定义：

一般地，从n个不同的元素中任取mmn个元素，按照一定的顺序

排成一列，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.

⑵组合定义：

一般地，从n个不同的元素中任取mmn个元素并成一组，叫做从

n个不同的元素中任取m个元素的一个组合.

⑶排列数：

从n个不同的元素中任取mmn个元素的所有排列的个数，叫做从n个

不同的元素中任取m个元素的排列数，记作Am.

⑷组合数：

从n个不同的元素中任取mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的组合数，记作cm.

⑸排列数公式：

1Amnn1n2nm1

Am_

nnm!

2An!

，规定0!

⑹组合数公式：

①cm

nn1n2

nm1或Cm

nm!

②cmc；m，规定c：

⑺排列与组合的区别：

排列有顺序，组合无顺序.

⑻排列与组合的联系：

AnmCnmA：

，即排列就是先组合再全排列.

富电也伸（nm1世（mn）⑼排列与组合的两个性质性质Am（m1）L21m!

nm!

排列Anm1AnmmAm1；组合c：

;cmcm1.

⑽解排列组合问题的方法

1特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：

先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：

先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.

2间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.

3相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与

其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）•

4不相邻（相间）问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可

采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）•

5有序问题组合法.

6选取问题先选后排法.

7至多至少问题间接法.

8相同元素分组可采用隔板法.

9分组问题：

要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除

以n!

3、二项式定理

⑴二项展幵公式：

abnC紂C：

an1bC2an2b2LC；anrbr

LCnnbnnN.

⑵二项展幵式的通项公式：

TriC；anrbrOrn,rN,nN.主要用途是求指定的项.

⑶项的系数与二项式系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1

时，系数就是二项式系数.如

在（axb）n的展幵式中，第r1项的二项式系数为C，第r1项的系数为

C：

anrbr;而（x-）n的展幵式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而

项的系数不一定为正•

⑷1xn的展幵式：

1xnc0xnC：

xn1C

2n2

C：

x°,

若令x1，则有

11n2nC0C：

二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即Cocn

⑸二项式系数的性质：

两端“等距离”的两个二项式系数相等，即cmc：

m；

（2）增减性与最大值：

当r2」时，二项式系数cn的值逐渐增大，当r

时,Cn的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

当n为偶数时，中间一项（第耳+1

项）的二项式系数cf取得最大值.当n为奇数时，中间两项（第-―1和-_1+1

n1n1

项）的二项式系数C^C石相等并同时取最大值

⑹系数最大项的求法

设第r项的系数Ar最大，由不等式组“r1

ArA1可确定r.

⑺赋值法

若（ax

b）1

a0a1x

a2x2

anX,

则设

f（x）

（

axb）n.

有：

①ao

f（0）;

②ao

...an

（1）；

③ao

a3...

（1）na

（1）;

④ao

a6...

（1）

f（

1）;

⑤a1

a；

a7...

（1）

f（

1）

专题七：

随机变量及其分布

1、基本概念

⑴互斥事件：

不可能同时发生的两个事件•

如果事件AB、C，其中任何两个都是互斥事件，则说事件ABC彼此互斥•

当AB是互斥事件时，那么事件AB发生（即A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即

P（AB）P（A）P（B）.

⑵对立事件：

其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A的对立事件通常记着A.

对立事件的概率和等于1.P（A）1P（A）.

特别提醒：

“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事

件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件

⑶相互独立事件：

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.

当AB是相互独立事件时，那么事件AB发生（即A、B同时发生）的概率，等于事件A、B分别发生的概率的积.即

P（AB）P（A）P（B）.____

若A、B两事件相互独立，则A与B、A与BA与B也都是相互独立的.

⑷独立重复试验

1一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.

2独立重复试验的概率公式

如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的

概率

⑸条件概率：

对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作P（B|A），读作A发生的条件下B发生的概率.

公式：

P（BA）P（AB）,P（A）0.

P（A）

2、离散型随机变量

⑴随机变量：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量•随机变量常用字母X,Y,,等表示.

⑵离散型随机变量：

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量•

⑶连续型随机变量：

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，

这样的变量就叫做连续型随机变量•

⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：

离散型随机变量与连续

型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序列出，而连续性随机变量的结果不可以列出

若X是随机变量，YaXb（a,b是常数）则丫也是随机变量+并且不改变其

属性（离散型、连续型）•

3、离散型随机变量的分布列⑴概率分布（分布歹V）

设离散型随机变量X可能取的不同值为Xi,X2，…，x，…，Xn，X）p，则称表

⑵两点分布

如果随机变量X的分布列为

则称X服从两点分布，并称pP（X1）为成功概率.

⑶二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事

件恰好发生k次的概率是

其中k0,1,2,...,n,q1p，于是得到随机变量X的概率分布如下：

我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作X~Bn,p，并称P为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：

1对立性：

即一次试验中事件发生与否二者必居其一；

2重复性：

即试验是独立重复地进行了n次；

3等概率性：

在每次试验中事件发生的概率均相等.

注：

⑴二项分布的模型是有放回抽样;

⑵二项分布中的参数是p,k,n.

⑷超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件,其中恰有X件次品数，则Ckcnk

事件Xk发生的概率为P（Xk）CMCNM（k0,1,2,L,m）,于是得到随机变量Cn

X的概率分布如下：

其中

mminM,n,n

我们称这样的随机变量X的分布列为超几

・・・

何分布列，且称随机变量X服从超几何分布.

注:

⑴超几何分布的模型是不放回抽样;

⑵超几何分布中的参数是M,N,n.其意义分别是

总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量

4、离散型随机变量的均值与方差

⑴离散型随机变量的均值

则称

EXXiPiX2P2LXiPiLXnPn为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称

期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

性质：

①|E（aXb）aE（X）b.

2若X服从两点分布，则E（X）p.

3若X~Bn,p，贝VE（X）__np.

⑵离散型随机变量的方差

则称

D（X）（XiE（X））2pi为离散型随机变量X的方差，并称其算术平方根、、D（X）为

随机变量X的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

D（X）越小，X的稳定性越高，波动越小，取值越集中；D（X）越大，X的稳定

性越差，波动越大，取值越分散

性质：

①D（aXb）a2D（X）.

②若X服从两点分布，则D（X）p（1P）.

③若X~Bn,p，贝9D（X）np（1P）.

5、正态分布

正态变量概率密度曲线函数表达式：

xR，其中，是参数,

且o,

专题八：

统计案例

1、回归分析

回归直线方程?

其中b

人x

ybx

2—2

人nx

xyiy