既非等差数列又非等比数列题型总结.docx
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既非等差数列又非等比数列题型总结
既非等差数列又非等比数列的题型及解体方法
1、累加法：
形如an
1an
f
n
例题：
已知数列an
满足a1
1,an1
an
1
，求an
2
n2
n
解析：
由题可得：
an1an
1
1
1
2
n
n
1
nn
anan
an-1
an1
an2
....
a2
a1
a1
1
1
1
1
）
1
1
...
1
1
（
）（
（
）
（1
）
n1n
n2n1
n3n2
22
3-1
2n
2、累乘法：
形如an1
fn
an
例题：
已知数列an
满足a1
2,an1
n
an，求an
3
n
1
解析：
由题可得：
an1
n
an
n
1
ana2a3a4....an
a1
1
2
3....
n
1
2
2
a1a2a3
an1
234
n
33n
3、递推法：
公式为Sn和an的关系式，解题方法：
S1n
1
an
Sn1n2
Sn
例题：
已知数列an
的前n项和Sn
2n2
3n
1,a1
6
，求an
解析：
由题可得：
Sn1
2n
12
3n1
12
n2
nn
2
n2时，an
Sn
Sn1
4n1
n1时，a1
6
41
1
，此时数列不满足an
4n
1
综上所述：
an
6n
1
4n
1n
2
1
4、裂项相消法：
数列的通项公式为关于项数n的分数，并且分子分
母相差为定值。
1
1
1
m
m
1
1
常见的几种裂项：
（1）
变形：
knnk
nn1nn1
nnk
（）
1
1
1
1
2
nn1n22nn1n1n2
32
n
1
n
2
1
2
2
n
n
1
n
n1
n
n
n
1
（4）1
1
1
1
1
1
n2
n21n1n12n1n1
5
1
1
1
1
1
nn1n1n
nn1n2
例题：
已知数列an
的通项公式为an
2n
1，且bn
1
，Tn为数列bn
anan1
的前n项和，求Tn并证明
Tn
1
24
解析：
由题可得:
bn
1
1
1
1
2n
12n3
2
2n
12n
3
Tn
b1
b2
b3
....
bn
1
1
1
1
1
1
1
2
3
-
-....
1
2n
3
5
5
7
2n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-
622n3622n264n164224
232n3
5、错位相减法：
适用于一个等差数列乘以一个等比数列或者等差数
列除以一个等比数列题型，即bnancn
an
（an为等差数列，cn为
cn
等比数列）
2
例题：
已知数列an
的通项公式为an
n
2n，求数列an前n项和Tn
解析：
由题可得：
Tn
a1
a2
a3
.....
an
1
an
1
21
2
22
3
23
....
n
12n1
n2n...
（1）
等式左右两边同时乘以
2可得：
2Tn122
223
3
24
...n
2
2n
1
n
1
2n
n
2n1...
（2）
（1）-
（2）式得：
-Tn
1
2
2
3
....
2
n
）
n
2
n1
12n
n2
n1
（22
1
2
2
2
2
n
1
n
n1
1
n
n
1
2
2
2
Tnn1
2n1
2
6.分组求和法：
适用于通项公式由等差数列、等比数列以及常数列线性组合而成的数列
例题：
已知数列an的通项公式为an3n2n1，求它的前n项和Sn
解析：
Sn
a1
a2
a3
....
an
31
20
3
2
21
3
322
....3n2n1
3
13
2
33
....
3n
20
21
22
....2n1
3
3nn
1
2n
3
nn
1
2
n
1
2
1
2
1
2
7.待定系数法：
题型一：
an1
pan
q（p.q均为常数且pq1
p
0
）
处理方法：
假设an1
pan
，即an1
pan
1
p
1-p
q，即
q，令bn1
an1
，则bn1
p
1-p
bn
即数列bn是以a1
为首项，p为公比的等比数列
3
例题：
已知数列
an满足a11,an1
2an
3，求数列an的通项公式
解析：
设an1
2an
，即an1
2an
-3
令bn1an13，则bn1
2，b1a1
34
bn
故数列bn是以4为首项，2为公比的等比数列
bn
42n1
2n1，an
bn
32n13
题型二：
an1
panr
qn（p,q,r为常数，pqr
0且p
q）
处理方法：
等式左右两边同时除以
q
n
1
得：
an1
p
an
r
n1
q
q
n
q
q
令bn1
an
1
p
r
k（m,k均为常数），则bn
1mbn
k（m,k为常数
q
n
1
m,
q
q
且mk1m
0）即变为形式一，再用待定系数法处理
5,an
n
1
例题:
已知数列an满足a1
1
1
an
1
，求数列an
的通项公式
6
3
2
解析：
由题可得：
2n
1an1
2
2n
an
1
3
令bn
2n
an，则bn1
2bn
1
2bn
3
2bn
1
设bn1
，即bn1
3
3
3
3
令cn
bn
3，则cn1
2，c1
b132a1
3
4，an
cn
3
cn
3
3
2n
故数列cn
是以-4为首项，2为公比的等比数列
3
3
2
n
n
1
n
32
n
n
4
cn
3
3
1
cn
2
2
2
，an
3
1
3
3
3
2n
2n
2
2
3
4
题型三：
形如an1panr（p,r为实数，an0,p0，r0且r1）
处理方法：
等式左右两边同时取常用对数得：
lga
lgpar
lgprlga
，令b
lga
mlgp
b
rb
n
m（m,r
n1
n
n
n
n，
，则n1
为实数且mr1r0）即变为形式一，再用待定系数法处理
例题：
已知数列an满足a1
1,an1
10an
2，求数列an
的通项公式
解析：
由题可得：
lgan1lg10an
2
2lganlg102lgan
1
令bn
lgan，则bn1
2bn1
设bn1
2bn，即bn1
2bn
-1
令cn
bn1，则cn1
2，c1
b1
1lga111
cn
故数列cn是以1为首项，2为公比的等比数列
cn
2n1，bn
cn
12n11，又bn
lgan
an
2n11
10
题型四：
形如an1
man
（m,p,q为常数，mpq
0且m
q）
pan
q
处理方法：
等式左右两边同时取倒数得：
1
panq
q1
p
an1
man
man
m
令bn
1,q
r,p
t，则bn1rbn
t（rt1r
0），即变为形式一，再
a1m
m
采用待定系数法
5
例题：
已知数列an
满足：
a1
3,an
an1
1
，求数列an的通项公式
2
3an1
解析：
等式左右两边同时取倒数得：
1
1
3，即1
1
3
an
an
1
an
an1
令bn
1，则bn
bn1
3，b1
12
an
a13
故数列bn是以2为首项，3为公差的等差数列
3
bn
2
3n13n
7，an
1
3
7
3
3
bn
9n
8.特征根法：
形如an
1
pan
qan1（p,q为常数），其特征根方程为：
x2
px
q，即x2
px
q
0
处理方法：
假设an1
man
kan
man
1
（m,k为常数），即
an1
m
kanmkan1
mkp
mkq
故m,k为一元二次方程x2pxq0的两个根
若此方程有两个相等的实根x1x2，则我们可以得到
an1x1anx1anx1an1，求出an1x1an的通项公式，再利用待定系数法求出an；若此方程有两个不等的实根x1,x2，则我们可以得到
an1x1anx2anan1和an1x2anx1anx2an1两个等比数列，分别求
出an1x1an和an1x2an的通项公式，然后两式相减可以得到x2x1an
6
例题1：
已知数列an满足a1a25，且an1an6an1，求数列an的
通项公式
解析：
由题可得：
数列的特征根方程为x2x60,方程有两个不等的
实根x1
3,x2
2
an1
3an
2an3an1，an12an3an2an1
a2
3a1
10,a2
2a1
15
故数列an13an是以-10为首项，-2为公比的等比数列；
数列an1
2an
是以15为首项，3为公比的等比数列
an
1
3an
10
2
n1......
（1）
an
1
2an
15
3n1........
（2）
（2）-
（1）式得：
5an
15
3n110
n1
2
an
33n1
2
2n1
3n
2n
例题
2：
已知数列
an
满足a1
1,a26，an1
4an4an1，求数列an的
通项公式
解析：
由题可得：
数列an的特征根方程为x24x4，即x24x40
方程有两个相等的实根x1x22
an1-2an
2an
2an1，a2
2a1
4
故数列an
12an
是以4为首项，2为公比的等比数列
an12an
42n1
2n1，即an1
2an
2n1
等式左右两边同时除以
2
n1
得：
an
1
an
1
2
n
1
2
2
令bnan，则bn1
bn
1，b1
a1
1
n
2
2
2
故数列bn
是以1为首项，
1
为公差的等差数列
2
7
bn
1
1
n
1
n
2
2
an
bn2n
2n
n
1
n2n
2n1
2
9.不动点法：
形如an
man1
k（m,k,p,q均为常数）
pan1
q
不动点定义：
一般地，设函数
fx的定义域为D，若存在x0
D,使
fx0x0成立，则称x0为fx的不动点。
即若函数fx在定义域范围
内与直线yx有交点，则函数fx存在不动点。
处理方法：
设f
x
mx
k（p0,mq
pk
0）
px
q
（1）若f
x有2个相同的不动点x0，则
1
1
h（h
2p
），
anx0
an1x0
mq
即数列
1
为等差数列
an
x0
（2）若f
x有2个相异的不动点x1,x2
，则an
x1
t
an1
x1
an
x2
an1
x2
（t
m
px1），即数列
an
x1为等比数列
m
px2
an
x2
证明：
（1）当
f
x
有2个相同的不动点x0时
fx0
mx0
k
x0有唯一解，即px0
2
q
mx0
k0有唯一解
px0
q
x0
mq，k
x0qpx02
mx0，mpx0
mp
mqmq
2p
2p
2
px0
q
p
m
q
m
q
2p
q
2
8
an
x0
man1
k
x0
mpx0an1
pan1
q
pan1
mpx0an1x0pan1q
（kx0q）mpx0an1
px02
mx0
q
pan1
q
1
pan1q
1
pan1x0
px0q
1
anx0
mpx0
an1x0
mpx0
an1x0
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