既非等差数列又非等比数列题型总结.docx

1、既非等差数列又非等比数列题型总结既非等差数列又非等比数列的题型及解体方法1、累加法：形如 an1anfn例题：已知数列 an满足 a11 ,an 1an1，求 an2n2n解析：由题可得： an 1 an1112nn1n nan anan -1an 1an 2.a2a1a11111)11.11() ()(1)n 1 nn 2 n 1n 3 n 22 23- 12n2、累乘法：形如 an 1f nan例题：已知数列 an满足 a12 ,an 1nan ，求 an3n1解析：由题可得： an 1nann1an a2 a3 a4 . ana1123 .n122a1 a2 a3an 12 3 4n3

2、3n3、递推法：公式为 Sn 和 an 的关系式，解题方法：S1 n1anSn 1 n 2Sn例题：已知数列 an的前 n 项和 Sn2n23n1, a16，求 an解析：由题可得： Sn 12 n1 23 n 11 2n2n n2n 2时， anSnSn 14n 1n 1 时， a164 11，此时数列不满足 an4n1综上所述： an6 n14n1 n214、裂项相消法 ：数列的通项公式为关于项数 n 的分数，并且分子分母相差为定值。111mm11常见的几种裂项： （1）变形：k n n kn n 1 n n 1n n k（ ）11112n n 1 n 2 2 n n 1 n 1 n 23

3、 2n1n2122nn1nn 1nnn1（4）111111n2n2 1 n 1 n 1 2 n 1 n 1511111n n 1 n 1 nn n 1 n2例题：已知数列 an的通项公式为 an2n1，且 bn1，Tn 为数列 bnan an 1的前 n 项和，求 Tn 并证明Tn124解析：由题可得 : bn11112n1 2n 322n1 2n3Tnb1b2b3.bn111111123-.12n35572n1111111111111111-6 2 2n 3 6 2 2n 2 6 4 n 1 6 4 2 242 3 2n 35、错位相减法 ：适用于一个等差数列乘以一个等比数列或者等差数列除以

4、一个等比数列题型，即 bn an cnan（ an 为等差数列， cn 为cn等比数列）2例题：已知数列 an的通项公式为 ann2n ，求数列 an 前 n 项和 Tn解析：由题可得： Tna1a2a3.an1an121222323.n1 2n 1n 2n .(1)等式左右两边同时乘以2 可得：2Tn 1 222 23324. n22n1n12nn2n 1 .(2)(1)-(2)式得： - Tn1223.2n)n2n 11 2nn 2n 1(2 212222n1nn 11nn1222Tn n 12n 126.分组求和法 ：适用于通项公式由等差数列、等比数列以及常数列线性组合而成的数列例题：已

5、知数列 an 的通项公式为 an 3n 2n 1 ，求它的前 n 项和 Sn解析：Sna1a2a3.an3 120322133 22. 3n 2n 131 323 3.3n202122. 2n 133n n12n3n n12n1212127. 待定系数法 ：题型一： an 1panq （ p.q 均为常数且 pq 1p0）处理方法 ：假设 an 1p an，即 an 1pan1p1- pq ，即q ，令 bn 1an 1，则 bn 1p1- pbn即数列 bn 是以 a1为首项， p 为公比的等比数列3例题：已知数列an 满足 a1 1, an 12an3 ，求数列 an 的通项公式解析：设

6、an 12 an，即 an 12an-3令 bn 1 an 1 3 ，则 bn 12 ， b1 a13 4bn故数列 bn 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列bn4 2n 12n 1 ， anbn3 2n 1 3题型二： an 1pan rqn （ p, q, r 为常数， pqr0 且 pq ）处理方法 ：等式左右两边同时除以qn1得：an 1panrn 1qqnqq令 bn 1an1prk （ m,k 均为常数），则 bn1mbnk （ m, k 为常数qn1,m,qq且 mk 1 m0 ）即变为形式一，再用待定系数法处理5 , ann1例题 :已知数列 an 满足 a111an1，

7、求数列 an的通项公式632解析：由题可得： 2n1 an 122nan13令 bn2nan ，则 bn 12 bn12 bn32 bn1设 bn 1，即 bn 13333令 cnbn3 ，则 cn 12 ， c1b1 3 2a134 ， ancn3cn332n故数列 cn是以 - 4 为首项， 2 为公比的等比数列332nn1n3 2nn4cn331cn222， an313332n2n2234题型三：形如 an 1 pan r （ p, r 为实数， an 0, p 0，r 0且 r 1）处理方法：等式左右两边同时取常用对数得：lg alg pa rlg p r lg a，令 blg am

8、lg pbrbnm （ m, rn 1nnnn ，则 n 1为实数且 mr 1 r 0 ）即变为形式一，再用待定系数法处理例题：已知数列 an 满足 a11, an 110an2 ，求数列 an的通项公式解析：由题可得： lg an 1 lg 10an22 lg an lg 10 2 lg an1令 bnlg an ，则 bn 12bn 1设 bn 12 bn，即 bn 12bn-1令 cnbn 1，则 cn 12 ， c1b11 lg a1 1 1cn故数列 cn 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列cn2n 1 ， bncn1 2n 1 1 ，又 bnlg anan2 n 1 110题

9、型四：形如 an 1m an（ m, p, q 为常数， mpq0且mq ）pa nq处理方法 ：等式左右两边同时取倒数得：1pan qq 1pan 1manm anm令 bn1 , qr , pt ，则 bn 1 rb nt （ rt 1 r0 ），即变为形式一，再a1 mm采用待定系数法5例题：已知数列 an满足： a13 ,anan 11，求数列 an 的通项公式23an 1解析：等式左右两边同时取倒数得：113，即 113anan1anan 1令 bn1 ，则 bnbn 13 ， b11 2ana1 3故数列 bn 是以 2 为首项， 3 为公差的等差数列3bn23 n 1 3n7 ，

10、 an13733bn9n8. 特征根法 ：形如 an1panqan 1 （ p,q 为常数），其特征根方程为：x2pxq ，即 x2pxq0处 理 方 法 ： 假 设 an 1mank anman1（ m,k 为 常 数 ）， 即an 1mk an mkan 1m k pmk q故 m,k 为一元二次方程 x2 px q 0 的两个根若 此 方 程 有 两 个 相 等 的 实 根 x1 x2 ， 则 我 们 可 以 得 到an 1 x1an x1 an x1an 1 ，求出 an 1 x1an 的通项公式，再利用待定系数法求出 an ；若此方程有 两个不 等的实根 x1 , x2 ，则我们 可

11、以得到an 1 x1an x2 an an 1 和 an 1 x2 an x1 an x2an 1 两个等比数列，分别求出 an 1 x1an 和 an 1 x2 an 的通项公式，然后两式相减可以得到 x2 x1 an6例题 1：已知数列 an 满足 a1 a2 5 ，且 an 1 an 6an 1 ，求数列 an 的通项公式解析：由题可得：数列的特征根方程为 x2 x 6 0 ,方程有两个不等的实根 x13, x22an 13an2 an 3an 1 ， an 1 2an 3 an 2an 1a23a110,a22a115故数列 an 1 3an 是以 - 10 为首项， - 2 为公比的

12、等比数列；数列 an 12an是以 15 为首项， 3 为公比的等比数列an13an102n 1 .(1)an12an153n 1 .(2)(2) -(1)式得： 5an153n 1 10n 12an3 3n 122 n 13n2 n例题2：已知数列an满足 a11, a2 6 ， an 14an 4an 1 ，求数列 an 的通项公式解析：由题可得：数列 an 的特征根方程为 x2 4x 4 ，即 x2 4x 4 0方程有两个相等的实根 x1 x2 2an 1 - 2an2 an2an 1 ， a22a14故数列 an12an是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列an 1 2an4 2n

13、12n 1 ，即 an 12an2n 1等式左右两边同时除以2n 1得：an1an12n122令 bn an ，则 bn 1bn1， b1a11n222故数列 bn是以 1 为首项，1为公差的等差数列27bn11n1n22anbn 2n2nn1n 2n2n 129. 不动点法 ：形如 anman 1k （ m, k , p,q 均为常数）pan 1q不动点定义：一般地，设函数f x 的定义域为 D ，若存在 x0D ,使f x0 x0 成立，则称 x0 为 f x 的不动点。即若函数 f x 在定义域范围内与直线 y x 有交点，则函数 f x 存在不动点。处理方法 ：设 fxmxk （ p

14、0, mqpk0 ）pxq（1）若 fx 有 2 个相同的不动点 x0 ，则11h（ h2 p），an x0an 1x0m q即数列1为等差数列anx0（2）若 fx 有 2 个 相 异 的 不 动 点 x1, x2， 则 anx1tan 1x1anx2an 1x2（ tmpx1 ），即数列anx1 为等比数列mpx2anx2证明：（ 1）当fx有 2 个相同的不动点 x0 时f x0mx0kx0 有唯一解，即 px02qm x0k 0 有唯一解px0qx0m q ， kx0q px02mx0 ， m px0m pm q m q2 p2 p2px0qpmqmq2 pq28anx0man 1kx0m px0 an 1pan 1qpan 1mpx0 an 1 x0 pan 1 q( k x0 q) m px0 an 1px0 2mx0qpan 1q1pan 1 q1p an 1 x0px0 q1an x0m px0an 1x0m px0an 1x0