高考理科数学全国2卷含答案.docx

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高考理科数学全国2卷含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国2卷）

一、选择题：

本题共要求的。

12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

3i八

1i

A.12i

B.12i

C.2

2.设集合

1,2,4,x

2x

4xm0.若

D.2i

1，则（）

A.1,3

B.1,0

C.1,3D.1,5

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

请问尖头几盏灯？

”意思是：

一座7层塔共挂了

倍，则塔的顶层共有灯（）

A.1盏B.3盏C.5盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,

该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）

A.90B.63

C.

42

2x

5.设x,y满足约束条件

2x

3y

3y

3（

0

0，则z

"远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八^一,

381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2

D.9盏

2x

D.36

y的最小值是（）

A.15B.

6.安排3名志愿者完成4项工作，则不同的安排方式共有（）

A.12种B.18种

C.

每人至少完成1项,

D.9

每项工作由

1人完成，

C.24种

D.

36种

你们四人中

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：

有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）

A.乙可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的

A.2

B.3

C.

B.丁可以知道四人的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

1，则输出的S（）

D.5

9.若双曲线

0）的一条渐近线被圆

2y2

得的弦长为

2,贝UC的离心率为

（）

A.2

B.3

C.

D.

10•已知直三棱柱

C11C1中,

C120o,

CC1

面直线1与C1所成角的余弦值为（）

A.

B.f

C.卫

D.仝

2

5

5

3

11

若X

2是函数f（x）（x2

ax1）ex1的极值点，贝U

f（x）的极小值为（）

A.

1

B.

2e3

C.5e3

D.1

uuuuuuuuu

12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，贝UPA（PBPC）的最小值是（）

34’

A.2B.C.D.1

23

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二

14.

等品件数，则D•

点，则F

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考

生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

2B

17.（12分）ABC的内角代B,C的对边分别为a,b,c，已知sin（AC）8sin—.

2

（1）求cosB

（2）若ac6,ABC面积为2,求b.

18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网

箱，测量各箱水产品的产量（单位：

kg）其频率分布直方图如下：

频率

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法

的箱产量不低于50kg”估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量v50kg

箱产量＞50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（?

?

>?

?

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

2

K2

n（adbc）

（ab）（cd）（ac）（bd）

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD,

1

ABBC-AD,BADABC90°,E是PD的中点.

2

（1）证明：

直线CE//平面PAB

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为

45°，

求二面角M-AB-D的余弦值

D

C

2

X2

20.（12分）设0为坐标原点，动点M在椭圆C:

y1上，过M做x轴的垂线，垂足为N,点P满

2

uuu_ULU0

足NP,2NM.

（1）求点P的轨迹方程；

UUUUULT

⑵设点Q在直线x=-3上，且OPPQ1.证明：

过点P且垂直于0Q的直线丨过C的左焦点F.

21.（12分）已知函数f（x）

2

axaxxlnx,且f（x）0.

（1）求a；

（2）证明：

f（x）存在唯一的极大值点x0,且e2f（x0）22

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.［选修4-4:

坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为

cos4.

（1）M为曲线G上的动点，点P在线段OM上，且满足|OMI|OP|16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为（2,—），点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值.

3

23.［选修4-5:

不等式选讲］（10分）

已知a0,b0,a3b32，证明：

（1）（ab）（a5b5）4；

（2）ab2.

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（n）试题答案

、选择题

17.解:

（1）由题设及ABC得sinB8sin2—，故2

sinB（1-cosB）

上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0

由题意知PAPBC

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

（0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62

故PB的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

（0.0680.0460.0100.008）5=0.66

故PC的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量50kg

箱产量＞50kg

旧养殖法

62

38

新养殖法

34

66

2

220062663438

K15.705

10010096104

由于15.7056.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

0.0040.0200.04450.340.5,

箱产量低于55kg的直方图面积为

0.0040.0200.044+0.06850.680.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

0.5-0.34=/、

50+~52.35（kg）.

0.068

19.解：

（1）取PA中点F，连结EF,BF.

11因为E为PD的中点，所以EFPAD,EF=§AD,由BADABC90得BC//AD，又BC-AD

所以EF/BC•四边形BCEF为平行四边形，CE/BF.

又BF平面PAB,CE平面PAB，故CE//平面PAB

（2）

一luffuiu

由已知得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直

角坐标系A-xyz则

则A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1,1,0）,P（0,1,.3）

uuu_uuu

PC（1,0,.3）,AB（1,0,0）则

uiuumum_

BM（x1,y,z）,PM（x,y1,z3）

，而n（0,0,1）是底面ABCD的法向量，所以

x,y1,z3、3

因此点P的轨迹方程为

（2）由题意知F（-1,0）•设Q（-3,t）,P（m,n）,则

uur

OQ3,t

uu

PF

uiruur

1

m,n,OQgPF33mtn,

iun

uur

OPm,n

PQ

3

m,t

n,

uuiuuu

由OPgPQ

1得-3m

2m

tn

n21，又由

（1）知m2+n2

=2，故

3+3m-tn=0

uuiruuu

uur

uuu

所以OQgPF

0，即

OQ

PF

又过点P存在唯一直线垂直于

OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线1过C

的左焦点F.

21.解：

（1）fx的定义域为0,+

等价于g

设gx=ax-a-lnx，贝yfx=xg

综上，a=1

（2）

由

（1）知f

2

xxx

xInx

f'（

x）

2x

2Inx

设h

x

2x2

Inx,则h'（x）

2

1

x

当x

0,1时，

h'xv0；当x

1

，+

时，

h'x>0,所以hx

在

0,

1

单调递减，在

1

-，+单

2

2

2

2

调递增

:

曾

又h

e2

1

>0,h-

v0,h10,

所以

hx

在

0,1

有唯一零点X0,

在

1

，+

有唯一零点

1，且当

2

2

2

x

0,

X。

时，h

x>0;当x

X°,1

时，

hx

v0

，当X1,+

时，

h

X

>0.

因为f'xhx，所以x=X0是f（x）的唯一极大值点

由f'x00得Inx02x01）,故fx0=x0（1x0）

1

由x00,1得f'x0v

4

因为x=X0是血）在（0,1）的最大值点，由e10,1,f'e10得

12

fx0>fee

所以e2vfx0v2-2

22•解:

（1）设P的极坐标为

M的极坐标为

1>0，由题设知

OP=,0M

1

cos

由OMgOP

=16得C?

的极坐标方程

=4cos

2

因此C2的直角坐标方程为x2

y24x

（2）设点B的极坐标为b,

B>0,由题设知

OA=2,B=4cos，于是△OAB面积

1

S=OAgBgsin

AOB

4cos

sin

sin2

当=-12时，S取得最大值2+3

所以△OAB面积的最大值为

23•解:

（1）

aba5

b5

ab5

a5bb6

（2）因为

b3

2a3b3

aba4

b4

4ab

b22

a

3

b

a33a2b

3ab2b3

2

3aba+b

2

3

3

a+b

3a+b

2+

a+b

2

4

4

3

所以

a+b

8，因此a+bw2.