高中数学 第1章 计数原理 11 两个基本计数原理教学案 苏教版选修23.docx
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高中数学第1章计数原理11两个基本计数原理教学案苏教版选修23
学习资料专题
1.1两个基本计数原理
第1课时 分类计数原理与分步计数原理
1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，每天有7次航班，5列火车．
问题1：
该志愿者从北京到南京可乘的交通工具可分为几类？
提示：
两类，即乘飞机、乘火车．
问题2：
这几类方法相同吗？
提示：
不同．
问题3：
该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？
提示：
7＋5＝12（种）．
2．甲盒中有3个不同的红球，乙盒中有5个不同的白球，某同学要从甲盒或乙盒中摸出一球．
问题4：
不同的摸法有多少种？
提示：
3＋5＝8（种）．
3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为生活委员．
问题5：
不同选法的种数为多少？
提示：
26＋24＝50.
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
1．2016年世界速度轮滑锦标赛期间，一名志愿者从北京赶赴南京为游客提供导游服务，但需在天津停留，已知从北京到天津有7次航班，从天津到南京有5列火车．
问题1：
该志愿者从北京到南京需要经历几个步骤？
提示：
两个，即从北京到天津、从天津到南京．
问题2：
这几个步骤之间相互有影响吗？
提示：
没有，第一个步骤采取什么方式完成与第二个步骤采用的方式没有任何关系．
问题3：
该志愿者从北京到南京共有多少种不同的方法？
提示：
7×5＝35种．
2．若x∈{2，3，5}，y∈{6，7，8}．
问题4：
能组成的集合{x，y}的个数为多少？
提示：
3×3＝9（个）．
3．某班有男生26人，女生24人，从中选一位男同学和一位女同学担任生活委员．
问题5：
不同的选法的种数为多少？
提示：
26×24＝624种．
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
1．分类计数原理中的每一种方法都可以完成这件事情，而分步计数原理的每一个步骤只是完成这件事情的中间环节，不能独立完成这件事情．
2．分类计数原理考虑的是完成这件事情的方法被分成不同的类别，求各类方法之和；而分步计数原理考虑的是完成这件事情的过程被分成不同的步骤，求各步骤方法之积．
[例1] 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有29人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的选法？
[思路点拨] 先按血型分类，再求每一类的选法，然后求和．
[精解详析] 从中选1人去献血的方法共有4类：
第一类：
从O型血的人中选1人去献血共有29种不同的方法；
第二类：
从A型血的人中选1人去献血共有7种不同的方法；
第三类：
从B型血的人中选1人去献血共有9种不同的方法；
第四类：
从AB型血的人中选1人去献血共有3种不同的方法．
利用分类计数原理，可得选1人去献血共有29＋7＋9＋3＝48种不同的选法．
[一点通] 利用分类计数原理，首先搞清要完成的“一件事”是什么，其次确定一个合理的分类标准，将完成“这件事”的方法进行分类；然后，对每一类中的方法进行计数，最后由分类计数原理计算总方法数．
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出1种种植，不同的种植方法有________种．
解析：
分4种品种种植，根据分类计数原理可知，共有4种不同的种植方法．
答案：
4
2．所有边长均为整数，且最大边长均为11的三角形的个数为________．
解析：
假设另两边长分别为a，b（a，b∈Z），不妨设a≤b≤11，要构成三角形，必有a＋b≥12，因此b≥6.当b＝11时，a可取1，2，3，…11；当b＝10时，a可取2，3，…，10；当b＝6时，a只能是6.
故所有三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.
答案：
36
3．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
数学
化学
会计学
数学
信息技术学
物理学
法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
解：
这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，因此根据分类计数原理，这名同学可能的专业选择共有5＋4＝9（种）.
[例2] 要安排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人值多天或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，此值班表共有多少种不同的排法？
[思路点拨] 该问题是计数问题，完成一件事是排值班表，因而需一天一天的排，用分步计数原理，分步进行．
[精解详析] 先排第一天，可排5人中任一人，有5种排法；
再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；
再排第三天，此时不能排第二天已排的人，有4种排法；
同理，第四、五天各有4种排法．
由分步计数原理可得值班表不同的排法共有：
N＝5×4×4×4×4＝1280（种）．
[一点通] 利用分步计数原理解决问题应注意：
（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；
（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．
4.用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要“眼睛”（如图A，B所示区域）用相同颜色，则不同的涂色方法共有________种．
解析：
第1步涂眼睛有6种涂法，第2步涂鼻子有6种涂法，第三步涂嘴有6种涂法，所以共有63＝216种涂法．
答案：
216
5．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为________．
解析：
要完成长裤与上衣配成一套，分两步：
第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；
第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．
故共有4×3＝12种不同的配法．
答案：
12
6．已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P（a，b）（a，b∈M）表示平面上的点，问：
（1）点P可表示平面上多少个不同的点？
（2）点P可表示平面上多少个第二象限内的点？
解：
（1）确定平面上的点P（a，b），可分两步完成：
第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.
（2）确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：
第一步确定a的值，由于a<0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b>0，所以有2种不同方法．由分步计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.
[例3] 有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加．
（1）若只需一人参加，有多少种不同选法？
（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？
（3）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？
[思路点拨]
（1）从老师、男、女同学中选1人，用分类计数原理．
（2）从老师、男、女同学中各选1人，用分步计数原理．
（3）分类计数原理与分步计数原理的综合．
[精解详析]
（1）有三类选人的方法：
3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类计数原理，共有3＋8＋5＝16种选法．
（2）分三步选人：
第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步计数原理，共有3×8×5＝120种选法．
（3）可分两类，每一类又分两步．第一类：
选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；第二类：
选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．
由分类计数原理，共有24＋15＝39种选法．
[一点通] 用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时要做到“不重不漏”，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性．
7．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的直线共有________条．
解析：
解决这件事分两类完成：
第1类，当A或B中有一个为0时，表示直线为y＝0或x＝0，共2条；
第2类，当A，B都不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法．
由分步计数原理，共可确定4×3＝12（条）直线．
所以由分类计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14（条）．
答案：
14
8．从5名医生和8名护士中选出1名医生和1名护士组成一个两人医疗组，共有________种不同的选法．
解析：
完成这件事需分两步：
第一步，从5名医生中选一名，有5种不同的选法；第二步，从8名护士中选一名，有8种不同的选法，故共有5×8＝40种不同的选法．
答案：
40
9．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．
（1）若小明的爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有几种坐法？
（2）若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？
解：
（1）小明的爸爸选凳子可以分两类：
第一类：
选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类：
选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类计数原理，小明的爸爸共有8＋6＝14种坐法．
（2）小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：
第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；
第二步，小明的爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，（小明坐下后，空闲凳子数变成13）共13种坐法．
由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．
1．利用分类计数原理解题的步骤
（1）分类：
理解题意，确定分类标准，做到不重不漏；
（2）计数：
求出每一类中的方法数；
（3）结论：
将每一类中的方法数相加得最终结果．
2．利用分步计数原理解题的步骤
（1）分步：
将完成这件事的过程分成若干步；
（2）计数：
求出每一步中的方法数；
（3）结论：
将每一步中的方法数相乘得最终结果．
课下能力提升
（一）
一、填空题
1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．
解析：
由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．
答案：
8
2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种．
解析：
分四步完成：
第一步：
第1位教师有3种选法；第二步：
由第一步教师监考班的数学老师选有3种选法；第三步：
第3位教师有1种选法；第四步：
第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．
答案：
9
3．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有________种．
解析：
第1名学生有4种选报方法；第2、3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.
答案：
64
4．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．（用数字作答）
解析：
分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48（种）；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48（种），根据分类计数原理得：
共有方案48＋48＝96（种）．
答案：
96
5．从集合A＝{1，2，3，4}中任取2个数作为二次函数y＝x2＋bx＋c的系数b，c，且b≠c，则可构成________个不同的二次函数．
解析：
分成两个步骤完成：
第一步选出b，有4种方法；第二步选出c，由于b≠c，则有3种方法．根据分步计数原理得：
共有4×3＝12个不同的二次函数．
答案：
12
二、解答题
6．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？
解：
当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为
时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个．
7．已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示多少个不同的圆？
解：
按a，b，r取值顺序分步考虑：
第一步：
a从3，4，6中任取一个数，有3种取法；
第二步：
b从1，2，7，8中任取一个数，有4种取法；
第三步：
r从8、9中任取一个数，有2种取法；
由分步计数原理知，表示的不同圆有
N＝3×4×2＝24（个）．
8．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
（1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
解：
（1）从书架上任取一本书，有两类方法：
第一类方法是从上层取一本数学书，有6种方法；第二类方法是从下层取一本语文书，有5种方法．根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是6＋5＝11.
答：
从书架上任取一本书，有11种不同的取法．
（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：
第一步取一本数学书，有6种取法；第二步取一本语文书，有5种取法．根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是6×5＝30.
答：
从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的取法．
第2课时 分类计数原理与分步计数原理的应用
[例1] 从0，1，2，3，4，5这些数字中选出4个，能组成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？
[思路点拨] 能被5整除的数分为末位数字为0及末位数字为5两类．
[精解详析] 满足条件的四位数可分为两类：
第一类是0在末位的，需确定前三位数，分三步完成，第一步：
确定首位有5种方法；第二步，确定百位有4种方法；第三步，确定十位有3种方法．
所以第一类共有5×4×3＝60（个）．
第二类是5在末位，前三位数也分三步完成．第一步确定首位有4种方法，第二步，确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．
第二类共有4×4×3＝48（个）．
所以，满足条件的四位数共有60＋48＝108（个）．
[一点通] 对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）由谁占领分类，分类中再按特殊位置（或者特殊元素）优先的方法分步完成．如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．
1.将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有________种．
1
2
3
3
1
2
2
3
1
解析：
由于3×3方格中，每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起．如图中的△，当△全为1时，有2种（即第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定），当△全为2或3时，分别有2种，共有6种；当△分别为1，2，3时，也共有6种，共12种．
△
△
△
答案：
12
2．由0，1，2，3，…，9十个数字和一个虚数单位可以组成虚数的个数为________．
解析：
复数a＋bi（a，b∈R）为虚数，则a有10种选法，b有9种选法，根据分步计数原理，共计90种选法．
答案：
90
3．从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，问：
满足下列条件的数有多少个？
（1）三位数；
（2）三位偶数．
解：
（1）三位数有三个数位
，故可分三个步骤完成：
第一步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；
第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，可以从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．
根据分步计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
（2）分三个步骤完成：
第一步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；
第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
故共有2×3×2＝12个三位偶数.
[例2] 如图，要给地图A，B，C，D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
[思路点拨] 根据地图的特点确定涂色的顺序，再进行计算，注意分类讨论．
[精解详析] 按地图A，B，C，D四个区域依次涂色，分四步完成：
第一步，涂A区域，有3种选择；
第二步，涂B区域，有2种选择；
第三步，涂C区域，由于它与A，B区域颜色不同，有1种选择；
第四步，涂D区域，由于它与B，C区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步计数原理，得到不同的涂色方案种数共有3×2×1×1＝6.
[一点通] 给区域涂色（种植）问题的一般思路：
为了便于分析问题，先给区域（种植的品种）标上相应序号，然后按涂色（种植）的顺序分步或颜色（种植的品种）当选情况分类，最后利用两个原理计数．
4．如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同种法的种数为________种．
解析：
先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种．D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法的种数为N＝4×3×（1×3＋2×2）＝84.
答案：
84
5．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型（每次旋转90°仍为L型图案），那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是________．
解析：
因为每四个小方格（2×2型）中有L型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有L型图案4×12＝48（个）．
答案：
48
6.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图所示的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
解：
①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种不同的涂色方法；
②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种不同的涂色方法．
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法.
[例3] 有四位同学参加三项不同的竞赛．
（1）每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？
（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同结果？
[思路点拨]
（1）分四步，让每一位同学都选择一项竞赛；
（2）分三步，每一项竞赛都有一名同学参加．
[精解详析]
（1）学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会．要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步．而每位学生均有3个不同机会，所以用分步计数原理可得3×3×3×3＝34＝81种不同结果．
（2）竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位不同学生中的一位．
要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步计数原理可得4×4×4＝43＝64种不同结果．
[一点通] 解答此题，每位学生选定竞赛或每项竞赛选定学生对完成整个事件的影响至关重要，否则容易把两问结果混淆，其原因是对题意的理解不清，对事情完成的方式有错误的认识．
7．保持例题条件不变，若每位学生只能参加一项竞赛，且每项竞赛只许一位学生参加，则有________种不同结果．
解析：
第一个项目可挑选4位学生中的一位，有4种不同的选法；第二个项目可从剩余的3位学生中选一位，有3种不同的选法；第三个项目可从剩余的2位学生中选一位，有2种不同的选法．故共有4×3×2＝24种不同结果．
答案：
24
8．
（1）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？
（2）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？
（3）3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？
解：
（1）分三步，每位同学取书一本，第1，2，3个同学分别有8，7，6种取法，因而由分步计数原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336（种）．
（2）完成这件事情可以分作四步，第一步，投第一封信，可以在3个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步，投第二封信，同样有3种投法；第三步，投第三封信，也同样有3种投法；第四步，投第四封信，仍然有3种投法．由分步计数原理，可得出不同的投法共有N＝3×3×3×3＝81种．
（3）分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64种．
两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法
课下能力提升
（二）
一、填空题
1．用1，2，3，4可组成________个三位数．
解析：
组成三位数这件事可分为三步完成：
第一步，确定百位，共有4种选择方法；第二步，确定十位，共有4种选择方法；第三步，确定个位，共有4种选择方法，由分步计数原理可知，可组成4×4×4＝64个三位数．
答案：
64
2．若在登录某网站时弹出一个4位的验证码：
XXXX（如2a8t），第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个，第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码共有________个．
解析：
要完成这件事可分四步：
第一步，确定验证码的第一位，共有10种方法；第二步，确定验证码的第二位，共有26种方法；第三步，确定验证码的第三位，共有10种方法；第四步，确定验证码的第四位，共有26种方法．由分步计数原理可得，这样的验证码共有10×26×10×26＝67600个．
答案：
67600
3．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对（x，y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．
解析：
当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点．
答案：
14
4．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，不同发送方法的种数为________．
解析：
每封电子邮件都有3种不同的发法，由分步计数原理可得，共有35＝243种不同的发送方法．
答案：
243
5.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．
解析：
从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，故不同涂法有6×5×4×（1＋3）＝480（种）．
答案：
480
二、解答题
6．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
（1）选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？
（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
解：
（1）分三类：
第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类
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